Da qui è nato il mio interesse per la simmetria Dall’altra parte dello specchio Tutto è nato quando la nostra prof. di matematica mi ha permesso di prendere un libro dalla biblioteca della scuola. Ho scelto un libro dove sullo sfondo vi era una piccola immagine di una carta francese. Incuriosito da tutti i segreti che vi si potevano nascondere, decisi di leggerlo Da qui è nato il mio interesse per la simmetria

Il mondo dello specchio Se noi mettiamo davanti ad uno specchio un oggetto, potremo vedere nello specchio il suo “riflesso” ovvero un altro oggetto opposto a quello dato. Questo non è altro che un tipo di simmetria nello spazio: la riflessione

La simmetria In natura possiamo vedere oggetti simmetrici! Ad esempio, se noi prendiamo un fiore e lo tagliamo: è simmetrico se le parti tagliate sono tra loro congruenti Lo stesso vale per una farfalla, un fiocco di neve, ecc

Definizione e Tipi di simmetrie Un oggetto ha una simmetria quando la sua mediana lo taglia in due parti congruenti Alcuni tipi di simmetrie sono le seguenti Simmetria assiale: avendo un asse r ad ogni punto P del piano corrisponde un punto Q in modo tale che P e Q siano equidistanti rispetto a r e il segmento PQ sia perpendicolare alla retta r. Simmetria centrale: fissato un punto O, la simmetria centrale di centro O è la trasformazione geometrica che ad ogni punto P fa corrispondere il punto Q tale che PQ abbia O come punto medio

Quanto è simmetrico un oggetto? Ma è possibile quantificare quanto un oggetto sia simmetrico? Misuriamo quante rotazioni è possibile applicare all’oggetto lasciandolo invariato e quanti assi di riflessione ha. L’insieme delle simmetrie di un oggetto è appunto l’unione delle rotazioni e riflessioni possibili per esso.

Triangolo equilatero Rotazione “g” Riflessione “c” Se ruotiamo il triangolo di 120° rispetto al baricentro, oppure di 240° o di 360°, il triangolo rimane invariato. Le rotazioni saranno rispettivamente le simmetrie “g1”, “g2” e “g3”. Se riflettiamo il nostro triangolo attorno agli assi che passano per i vertici e i punti medi dei lati opposti otteniamo tre nuove simmetrie (e1, e2, e3) che lasciano il triangolo invariato

Simmetrie triangolo L’insieme delle simmetrie del triangolo equilatero è composto da 6 elementi, le 3 rotazioni e le 3 riflessioni precedentemente viste. Combinando tra loro 2 delle simmetrie (ad es. una rotazione e una riflessione) il triangolo equilatero risulterà ancora invariato.

Tabella dei movimenti Questa è la tabella delle varie simmetrie nel triangolo ● Posizione iniziale g1 g2 e1 e2 e3

Quadrato Rotazione “g” Riflessione “e” Se ruotiamo un quadrato a 90° otteniamo la simmetria “g1”, se lo ruotiamo a 180° otteniamo “g2”, se lo ruotiamo a 270° otteniamo “g3”, se lo ruotiamo a 360° otteniamo lo stesso quadrato da cui siamo partiti. In tutte le rotazioni il quadrato rimane invariato. Se ruotiamo il quadrato attorno agli assi che passano per i vertici ed i punti medi otteniamo nuove quattro simmetrie (e1,e2,e3,e4) che lasciano il quadrato invariato.

Simmetria Quadrato L’insieme delle simmetrie del quadrato è composto da 8 elementi, le 4 rotazioni e le 4 riflessioni precedentemente viste. Rispetto al triangolo equilatero, il quadrato ha un insieme delle simmetrie più numeroso. Possiamo quindi dedurne che è «più simmetrico» rispetto al triangolo equilatero. Anche per il quadrato possiamo combinare tra loro delle simmetrie (es. una riflessione e una rotazione) lasciando ancora invariato il quadrato.

Tabella dei movimenti Questa è la tabella delle varie simmetrie nel quadrato. ● fermo g1 g2 g3 e1 e2 e3 e4

Circonferenza La figura piana che presenta maggiori simmetrie (infinite, per la precisione…) è la circonferenza. Infatti ci sono infinite rotazioni rispetto al centro che la lasciano invariata e infinite possibili riflessioni rispetto ai suoi diametri. Per capire meglio le riflessioni in una circonferenza consideriamo solo un parte di esse: il gruppo orario delle 12 ore.

Gruppo delle 12 ore In qualsiasi orologio che usiamo nella nostra vita quotidiana vi è nascosta una complessità algebrica notevole. Come sappiamo le 5 del pomeriggio si possono anche dire 17, questo è perché le lancette hanno compiuto un giro completo (è come se la circonferenza avesse compiuto una rotazione). Se la rotazione avvenisse in senso antiorario potremmo far corrispondere alle 5 anche -7. Infatti per ogni numero dell’orologio possono corrispondere infiniti numeri quindi infinite rotazioni della circonferenza

Simmetrie nello spazio Gli stessi concetti (rotazioni, riflessioni, etc.) applicati alla geometria piana si possono verificare nello spazio. Ad esempio proviamo a definire l’insieme delle simmetrie di un cubo. Tetraedro Sfera

Cubo Trovare le simmetrie di un cubo e molto semplice, il cubo si tratta di un poliedro meglio “visualizzabile”. Presenta 24 rotazioni proprie attorno agli assi (4 ad ampiezza 120°, 3 di ampiezza 90°, 6 di ampiezza 180°. Con le riflessioni e le fotoriflessioni arriviamo ad un ammontare di 48 simmetrie.

Per chiudere… I concetti di rotazioni applicati a un cubo (sebbene non propriamente attinenti alle rotazioni viste precedentemente) sono alla base del gioco matematico di maggior successo nella storia…. Il cubo di Rubik non è altro che un oggetto che permette di vedere tutte le simmetrie in un cubo.Esse sono:43.252.003.274.489.856.000 ma esistono algoritmi che permettono di risolverlo molto velocemente.