Un esempio di maximum likelihood

Retta e Poisson Ricordiamo la statistica di Poisson Useremo dati abbastanza consistenti da poter usare Stirling Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Retta e Poisson Altrimenti conviene eliminare il fattoriale, passando al continuo Prima o poi dovremo fare delle derivate... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Retta e Poisson Con questo... Adesso supponiamo di avere dei dati ...e di far l’ipotesi che derivino da una retta Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Retta e Poisson Quindi la variata k diviene Il valore atteso diviene La distribuzione diviene Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

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Retta e Poisson Questa ci dà la probabilità ... ... di osservare ... supponendo che il valore medio sia ... e che la statistica sia poissoniana Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Retta e Poisson Costruiamo ora il prodotto di tutte le probabilità È la probabilità di osservare il set di dati nelle ipotesi date ...sempre che i dati siano indipendenti! Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

che sia valida la statistica di Poisson per ogni dato e Annullando la derivata di questa funzione rispetto ad m e q si ottengono i valori che rendono massima la probabilità di osservare il campione dato nelle ipotesi che sia valida la statistica di Poisson per ogni dato e che il modello sia una retta Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Retta e Poisson La derivata è tremenda È la somma di N termini Ognuno fatto da un prodotto di N fattori Del quale uno per volta viene derivato... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Retta e Poisson Allora si passa al logaritmo... ...e si sviluppa con pazienza.... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Retta e Poisson Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Retta e Poisson Attenzione: la parte verde non entrerà nel successivo gioco delle derivate Conterà ai fini della minimizzazione solo la parte rossa ...che –finalmente- è la funzione della Maximum Likelihood! Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Retta e Poisson Attenzione! la costante va calcolata se alla fine del processo vogliamo calcolarci la probabilità del fit! Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Retta e Poisson Attenzione! Nella Maximum Likelihood la probabilità del fit tiene il posto del livello di confidenza nel fit col c2 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Retta e Poisson Ora deriviamo... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Retta e Poisson Le equazioni divengono a questo punto NON LINEARI in m e q Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Retta e Poisson Nel caso della G di Euler... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Retta e Poisson ...e la funzione cambia solo rispetto alla costante! Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy

Retta e Poisson Di solito conviene cercare direttamente il minimo di Poi si calcola la probabilità del fit Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy