Elettrodinamica 4 9 novembre 2012 Equazione di continuita` Limiti della legge di Ampère Corrente di spostamento Equazioni di Maxwell

Equazione di continuita` E` un’altro modo di esprimere la conservazione della carica elettrica Consideriamo una superficie chiusa S attraverso cui puo` transitare carica elettrica Al tempo t la carica contenuta entro S sia Q(t) e al tempo successivo t+dt sia Q(t+dt) Per la conservazione della carica elettrica la variazione della carica entro S dev’essere dovuta a corrente che attraversa S

Equazione di continuita` Il segno negativo davanti a i e` dovuto alla relazione tra carica e corrente: corrente entrante porta ad un aumento di carica, corrente uscente ad una sua diminuzione Ma d’altronde, essendo per correnti entranti che quindi risultano negative per correnti uscenti che quindi risultano positive Da qui la necessita` del segno negativo J n

Equazione di continuita` Possiamo quindi scrivere l’equazione di continuita` in forma integrale Riscriviamo carica e corrente in termini delle loro definizioni integrali Possiamo invertire la derivata a primo membro con l’integrale di volume e usare il teorema della divergenza a secondo membro per passare ad un integrale di volume

Equazione di continuita` Siccome la superficie S e` arbitraria, l’uguaglianza degli integrali implica quella degli integrandi Si ottiene cosi’ l’eq. di continuita` in forma differenziale

Lemma La divergenza della rotazione di un campo vettoriale e` identicamente nulla Per dimostrarlo poniamoci in un sistema cartesiano e calcoliamo la divergenza Il primo termine e`

Lemma Gli altri due termini si ottengono per permutazione ciclica degli indici, avremo quindi Siccome l’ordine di derivazione e` irrilevante, i termini si elidono a due a due e il lemma rimane dimostrato

Limiti della legge di Ampère Non è applicabile a correnti non stazionarie (ad es. un condensatore) Data una curva C, che contorna il filo, la circuitazione del campo B è La corrente concatenata a C risulterebbe attraverso S1 : i attraverso S2 : zero Per cui la legge di Ampère dà due risultati diversi a seconda che sia applicata a S1 o a S2 C S1 S2

Maxwell Si può vedere anche in forma differenziale: Se facciamo la divergenza di entrambi i membri otteniamo che il primo membro si annulla, mentre il secondo, per l’eq. di continuita`, in generale è diverso da zero: Maxwell propose di aggiungere un termine alla legge di Ampere, in modo da renderla sempre verificata L’obiettivo e` arrivare all’eq.

Maxwell Usando la legge di Gauss, esprimiamo la densità di carica in termini della divergenza del campo E: Invertendo le operazioni di derivata temporale e di divergenza, e poi raccogliendo questo operatore: L’equazione riformulata che Maxwell propose è dunque

Maxwell In forma integrale: Il nuovo termine è proporzionale alla derivata del flusso del campo E rispetto al tempo Per il condensatore il nuovo termine dà: attraverso S1 : zero attraverso S2 : Esattamente quel che serve per rendere uguali i conti su S1 e S2 C S1 S2

Corrente di spostamento Il termine vien detto corrente di spostamento L’equazione di Ampère-Maxwell è la 4a equazione dell’e.m. nella sua forma completa

Equazioni di Maxwell Legge di Gauss per il campo E Assenza di monopoli magnetici Legge di Faraday-Neumann Legge di Ampère-Maxwell