Teoria della relatività-2 7 gennaio 2013 Conseguenze cinematiche delle TdL Dilatazione del tempo, muoni atmosferici Contrazione delle lunghezze Grandezze proprie Relativita` della simultaneita` (approccio quantitativo)

Conseguenze cinematiche Dilatazione del tempo: supponiamo che un orologio a riposo nel sistema S’ in un punto di coordinata x’ misuri un intervallo di tempo Per trovare il corrispondente intervallo di tempo T in S, applichiamo l’eq. di trasformazione del tempo, ricordando che x’2 = x’1 Sottraendo membro a membro 2 2

Dilatazione del tempo Quindi si ha cioè una dilatazione del tempo Questo significa che se misuriamo il tempo caratteristico di un sistema fisico (o biologico) che non sia in quiete nel nostro sistema di riferimento inerziale (SRI), la misura produce un valore maggiore di quella effettuata nel SRI in cui il sistema fisico (o biologico) e` in quiete Ovvero il ritmo del nostro orologio e` maggiore di quello dell’orologio nel sistema in moto, fatto che si esprime dicendo che l’orologio in moto ritarda A differenza degli orologi di uno stesso SRI, che hanno lo stesso ritmo, orologi in diversi SRI in moto relativo hanno ritmi diversi 3 3

Dilatazione del tempo x’ y’ h’ S’ h l v S Dx Consideriamo un orologio in quiete in S’, il cui ritmo e` dato dal tempo di andata e ritorno T’ tra due specchi paralleli distanti h’ x’ y’ h’ S’ Nel sistema S, rispetto a cui S’ e gli specchi si muovono con velocita` v, i due specchi distano h=h’ e il cammino ottico del raggio luminoso e` ove Dx e` lo spazio percorso dagli specchi nel tempo in cui il raggio percorre l h l v S 4 Dx

Dilatazione del tempo Dx h l v S Valgono le relazioni Risolvendo per h e quindi T , il ritmo dell’orologio misurato nel sistema S, risulta Ma poiche’ Ne concludiamo che 5

Muoni atmosferici I raggi cosmici sono formati da particelle che, provenienti dallo spazio, interagiscono con i nuclei delle molecole d’aria dell’atmosfera, dando origine a sciami di particelle, alcune delle quali raggiungono terra Tra queste c’è il muone, una particella instabile di massa pari a 106 MeV e vita media ’ = 2.2 s I muoni vengono prodotti ad un’altezza di circa 15 km da terra, con un’energia media di 4 GeV Qual è la distanza che un muone percorre in media prima di decadere? Siccome a questa energia la velocità del muone è circa c, la risposta sembrerebbe semplicemente 6

Muoni atmosferici Ma se così fosse, come potremmo osservare muoni a terra? Il punto è che ’ è la vita media nel sistema di riferimento S’ in cui il muone è a riposo, non nel sistema S in cui si trova l’osservatore Noi osserviamo una vita media dilatata del fattore  e quindi lo spazio percorso dai muoni è Per muoni di 4 GeV di energia il fattore  vale circa 40, per cui la vita media nel sistema S risulta e la lunghezza di decadimento è più che sufficiente per raggiungere terra 7

Conseguenze cinematiche Contrazione delle lunghezze: siano x1’ , x2’ le estremità di un regolo disposto lungo x’ fermo nel sistema S’, la cui lunghezza in S’ vale Per trovare la corrispondente lunghezza L in S, applichiamo l’eq. di trasformazione di x, x’ tenendo conto che t2 = t1 Sottraendo membro a membro e invertendo 8 8

Contrazione delle lunghezze Quindi si ha cioè una contrazione della lunghezza Ovvero: se misuriamo la lunghezza di un oggetto che non sia in quiete nel nostro sistema di riferimento, la misura produce un valore minore di quella effettuata nel sistema di riferimento in cui l’oggetto e` in quiete 9 9

Grandezze proprie La lunghezza di un regolo nel sistema in cui è fermo si dice lunghezza propria L0 La misura di una lunghezza e` sempre minore o uguale alla lunghezza propria L<L0 Il tempo segnato da un orologio nel sistema in cui è a riposo si dice tempo proprio T0 La misura di un tempo e` sempre maggiore o uguale al tempo proprio T>T0 10 10

Contrazione delle lunghezze (2) Un altro modo di ottenere il risultato si basa sulla dilatazione del tempo Supponiamo di essere solidali al sistema S’ in moto con velocita` v rispetto al sistema S Sia L0 la lunghezza propria di un oggetto in quiete in S (cioe` quella misurata in S) Ora, invece di misurare le due estremita` dell’oggetto in moto allo stesso tempo, le misuriamo nello stesso luogo x’ in due istanti diversi t1’, t2’ corrispondenti al nostro passaggio davanti alle estremita` dell’oggetto v (x’, t1’) S’ v (x’, t2’) S’ 11 11

Contrazione delle lunghezze (2) Noi transitiamo da un’estremita` all’altra nell’intervallo Ove L’ e` la lunghezza da determinare e Dt’ e` un intervallo di tempo proprio, in quanto misurato con un solo orologio Un osservatore in S, solidale con l’oggetto, ci vede transitare da un’estremita` all’altra in un intervallo di tempo Intervallo non proprio, in quanto misurato con due orologi, uno per ciascuna estremita` 12 12

Contrazione delle lunghezze (2) La relazione tra gli intervalli di tempo nei due sistemi e` E per conseguenza la lunghezza misurata in S’ vale 13 13

Relatività della simultaneità (2) Riprendiamo la discussione: ricordiamo che (in S) e AB=L e` una lunghezza propria S giudica che per S’ i due fulmini non siano simultanei ma siano separati temporalmente da un intervallo di tempo che in S vale v S’ O’ S O A B t1 v S’ O’ S O A B t2 14

Relatività della simultaneità (2) Ove t1 e` il tempo che la luce impiega (in S) per andare da B=B’ a O’ e t2 quello per andare da A=A’ a O’ t1 e` tale per cui mentre la luce percorre lo spazio BO’=ct1, O’ si muove a destra di O della quantita` vt1 ovvero e quindi v S’ O’ S O A B t1 v S’ O’ S O A B t2 15

Relatività della simultaneità (2) Similmente t2 e` tale per cui mentre la luce percorre lo spazio AO’=ct2, O’ si muove a destra di O della quantita` vt2 ovvero E quindi v S’ O’ S O A B t2 16

Relatività della simultaneità (2) Tra i due fulmini intercorre dunque il tempo Questo tempo non e` proprio, in quanto in S gli istanti di tempo vengono registrati da due orologi diversi: ciascuno in corrispondenza della posizione occupata dal punto O’ rispetto ad S quando O’ riceve i due segnali 17

Relatività della simultaneità (2) Come descrive i fatti l’osservatore in S’? Innanzitutto se per S allora S’, a causa della contrazione delle lunghezze, concludera` che la lunghezza di A’B’ (propria in S’) vale mentre per AB misurera` la lunghezza 18

Relatività della simultaneità (2) L’intervallo di tempo tra i due fulmini (in S’) si puo` calcolare notando che esso e` uguale al tempo impiegato dal regolo in S per spostarsi dalla posizione in cui B=B’ a quella in cui A=A’ e quindi O’ S O A B B’ A’ v t’1 S’ v O’ O A B B’ A’ S t’2 S’ 19

Relatività della simultaneità (2) Questo intervallo e` proprio perche’ gli istanti di tempo in cui i segnali dei fulmini arrivano in O’ vengono registrati da un solo orologio, quello in O’ La relazione tra gli intervalli di tempo nei due sistemi deve dunque essere Che, riscrivendo le formule trovate, e` proprio quel che accade 20