programmazione lineare: un esempio Mix produttivo ottimo con risorse vincolate

Modello A Modello B 2 modelli in produzione

Disponibilita’ dei componenti 18 MODULI di MEMORIA 10 MODULI DISPLAY 12 MODULI di TRASMISSIONE 9 TASTIERE di NAVIGAZIONE 21 TASTIERINE 10 MICROCAMERE Disponibilita’ dei componenti

Utilizzo dei componenti Display Tast navigazione Tastiere a 6 tasti Trasmissione Memoria MicroCamera GUADAGNO Modello A 1 2 3 Modello B 2 - 3 8

Modello di PL Max 3 xA + 8 xB: xA + 2 xB  10 a1 2 xA + 2 xB  18 a2 xA  9 a5 xA  10 a6 xA, xB  0 In forma matriciale compatta Max cx: Ax  b x  0

Rappresentazione geometrica della regione ammissibile xB 5 a1: xA+2 xB 10 a6: xA10 a4: 2xA+3 xB 21 4 a5: xA9 a3: xA+3 xB 12 3 2 1 xA0 xB0 a2: 2xA+2xB  18 1 2 3 4 5 xA 6 7 8 9 10

Curve di iso-costo xB xA A1: xA+2 xB  10 5 A3: xA+3 xB  12 4 cx=33 3 3,3 cx=24 cx=34 2 cx=16 cx=32 1 c 1 2 3 4 5 6 7 8 xA 9 10 cx=0

Gradiente: vettore ortogonale all’iperpiano tangente alla curva di livello (se la funzione c(x) e’ lineare coincide con il vettore dei coefficienti  non dipende dal punto in cui viene calcolato). Curva di isocosto: insieme dei punti che hanno lo stesso valore della funzione obiettivo (se la funzione c(x) e’ lineare, la curva di isocosto e’ un iperpiano)

Condizione di ottimo: c = y1a1+y3a3, y0 xB 5 a1: xA+2 xB  10 4 a3: xA+3 xB  12 3 2 1 C = [ 3, 8 ] 1 2 3 4 5 6 7 8 xA 9 10

c appartiene al cono generato dai gradienti dei vincoli a1 e a3 y R2, y0, tale che cT = yT dove a1=[1, 2], a3=[1,3] y risolve il sistema 1 1 y1 3 con y0 2 3 y2 8 y = a1 a2 -1 c = = = 3 -1 -2 1 3 8 1 2

Vertici (punti estremi) del politopo xB (0,5) 5 a1: xA+2 xB  10 a2: 2xA+2xB  18 4 (0,4) (6,3) 3 a3: xA+3 xB  12 2 (6,2) (7.5, 1.5) (9,1) 1 (8,1) (9,½) (0,0) (9,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 xA 9 10

Idee base dell’algoritmo L’ottimo (se esiste finito) coincide con (almeno) un vertice del politopo Possiamo definire delle condizioni di ottimalita’ in base alla geometria dei vettori Per implementare un algoritmo dobbiamo fornire una descrizione algebrica dei vertici. Forniamo un supporto teorico a queste intuizioni

Programmazione convessa richiami di Combinazione convessa di due punti x, y z=lx + (1-l)y, con l[0,..1] combinazione convessa stretta per l(0,..,1)

Generalizzando a n punti Dati k punti x1,..,xk  Rn, il punto z in Rn e’ combinazione convessa di x1,..,xk se esistono k scalari  0, l1,..,lk tali che i=1,k li xi = z

Altri tipi di combinazioni Combinazione affine (l1+l2=1, l1,l2R) Combinazione conica (l1,l20, in R) Combinazione lineare (l1,l2R)

 di insiemi convessi e’ convessa Un insieme si dice convesso se contiene tutte le combinazioni convesse dei propri punti x x y y  di insiemi convessi e’ convessa

Le funzioni lineari sono funzioni convesse Una funzione f:X→R si dice convessa se x,yX, l[0,1], chiamando z = lx + (1-l)y la combinazione convessa di x e y, allora f (z)  l f(x) +(1-l) f(y) Le funzioni lineari sono funzioni convesse lf(x) + (1-l)f(y) f(y) f(x) f(z) x z y

risultati TH: Sia X = {x Rn: gi(x) 0, i=1,..,m} e gi(x) sia convessa i, allora l’insieme X e’ convesso (la regione ammissibile definita dalle soluzioni di un sistema di funzioni convesse e’ convessa) Def: problema di programmazione convessa min {f(x) : xX} dove XRn e’ convesso, f:X→R e’ convessa Dato un problema di programmazione convessa, ogni punto di ottimo locale e’ un punto di ottimo globale

Richiami di algebra lineare Dato un vettore aRn e uno scalare a0R, si dice semispazio affine indotto da (a,a0) l’insieme X={xRn : axa0} iperpiano indotto da (a,a0) l’insieme X={xRn : ax=a0} Poliedro PRn:  di semispazi e iperpiani (politopo se limitato) Un punto xP si dice vertice o punto estremo di P se non e’ esprimibile come combinazione convessa stretta di nessuna coppia di punti di P.

Faccia: HPP dove HP e’ un iperpiano tangente a P e PRn. Faccetta: faccia di dimensione n-1. Spigolo (lato): faccia di dimensione 1. Vertice (punto estremo): faccia di dimensione 0

Facce, vertici e spigoli di un politopo

Si puo’ dimostrare che … Th di Minkowski-Weyl: Un politopo P e’ esprimibile come combinazione convessa dei suoi vertici (+ la combinazione conica dei suoi raggi estremi per poliedri non limitati) Se P e’ limitato, allora esiste almeno un vertice di P che e’ soluzione ottima del problema di programmazione lineare min {cx : xP} / max {cx : xP}

In breve P e’ un insieme convesso, esprimibile come combinazione convessa dei suoi vertici Th: il problema min {cx : xP} ha ottimo (se esiste finito) su di un vertice Th: e’ sufficiente l’ottimalita’ locale del punto per dimostrarne l’ottimalita’ globale

Per implementare un algoritmo occorre fornire una caratterizzazione algebrica dei vertici delle condizioni di ottimalita’ una regola per spostarsi su un vertice (adiacente) con miglior valore della funzione obiettivo