Algebra di Boole ?

Insieme Prodotto cartesiano Relazione Funzione Operatore Binario

Prodotto Cartesiano Un insieme di coppie A X B = { (A,B) : aA, bB}

Relazione Siano A,B due insiemi e G=A x B La coppia R=(AxB,G) è detta RELAZIONE (o corrispondenza) tra A e B avente per grafico G Se x Є A e y Є B sono tali che (x,y) Є G x R y

Relazione Binaria Una relazione tra A e A si dice RELAZIONE BINARIA e si dice: riflessiva xRx x Є A antiriflessiva xRx x Є A simmetrica xRy => yRx x,y Є A antisimmetrica xRy => yRx x,y Є A asimmetrica xRy , yRx => x=y x,y Є A transitiva xRy, yRz => xRz x,y,z Є A

Relazione di equivalenza Relazione d’ordine x y x  y Relazione di equivalenza Relazione d’ordine

Valgono le seguenti proprietà Relazione di Equivalenza Valgono le seguenti proprietà Riflessiva (a,a)R aA Simmetrica (a,b)R  (b,a)R a,bA Transitiva (a,b)R, (b,c)R  (a,c)R a,b,cA

Relazione d’Ordine Un insieme ORDINATO è una coppia (S,R) dove S è un insieme ed R una Relazione binaria in S riflessiva asimmetrica e transitiva asimmetrica xRy , yRx => x=y x,y Є A Riflessiva (a,a)R aA Transitiva (a,b)R, (b,c)R  (a,c)R a,b,cA

Relazione d’Ordine Non vale la proprietà simmetrica ma quella asimmetrica (a,b)R,(b,a)R => a=b a,bA Riflessiva (a,a)R aA Transitiva (a,b)R, (b,c)R  (a,c)R a,b,cA

 x S Esiste ed è unico un Y  T Funzioni Una corrispondenza f=(S x T,G) tra S e T si dice Funzione di S in T se  x S Esiste ed è unico un Y  T tale che x f y

Funzioni Una funzione è una relazione Una relazione non è sempre una funzione

Operatori Binari Particolari funzioni… f:AxB  C Es. f(x,y) = x+y x,yR è un operatore binario f:RxR  R Possiedono le proprietà: Associativa Commutativa

Se Possiede le proprietà: Operatori Binari Es. detto f:(a,b) = ab Se Possiede le proprietà: (ab)c = a(bc) Associativa (ab) = (ba) Commutativa  è un operatore binario

È una particolare struttura algebrica A è dotato di struttura algebrica se su esso sono definiti uno o più operatori binari Algebra È una particolare struttura algebrica Si ha un’algebra quando su A sono definiti 2 operatori OR (+) AND (.)

È un’algebra dove gli operatori binari godono di 8 proprietà: Reticolo È un’algebra dove gli operatori binari godono di 8 proprietà: P1) x+y=y+x Commutativa x.y = y.x P2) x+(y+z)=(x+y)+z Associativa x.(x.z)=(x.y).z P3) x+x=x Idempotenza x. x=x P4) x+(x . y)=x Assorbimento x . (x + y)=x

L’insieme A di sostegno è ordinato x  y Reticolo L’insieme A di sostegno è ordinato x  y x  x Riflessiva x  y e y  x  x = y Asimmetrica x  y e y  z  x  z Transitiva In un reticolo la relazione binaria x + y = y è la relazione d’ordine x  y

è un reticolo oltre che algebra Commutativa x+x=x+x x+y=y+x Associativa x+(y+z)=x+z=z (x+y)+z=x+z=z Idempotenza x+x=x Assorbimento x+(x . z)=x+x=x è un reticolo oltre che algebra

Reticolo È riflessiva per la P3 È asimmetrica per la P1 x + x = x È asimmetrica per la P1 x + y = y (x  y) y + x = x (y  x) x+y=x  x = y È transitiva per la P3 x + y = y (x  y) y + z = z (y  z)  x + z = z (x  z) Inoltre per la P4 x  y <=> x . y = x

Reticolo - Esempio Sia A={x,y,z} si definiscono gli operatori OR e AND

Reticolo - Esempio A={0,1,2,} operatore OR OR non è operatore binario su A A non è un’algebra

Relazione d’ordine sul reticolo Reticolo - Esempio Relazione d’ordine sul reticolo Sia A={0,1,2} AxA = {(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)} OR AND

Reticolo - Esempio Riflessiva Asimmetrica Transitiva Verifichiamo se esiste una relazione d’ordine Riflessiva  xA xRx ovvero x+x=x vale Asimmetrica  x,yA xRy , yRx => x=y Transitiva  x,y,zA xRy, yRz  xRz Dimostrazione: (x+y)+(y+z)=y+z x+y+z=y+z da cui x+(y+z)=z infine x+z=z

Relazione d’ordine sul reticolo x+y=y <=> xy Proprietà riflessiva asimmetrica transitiva x.y=x <=> xy Dimostrazione: x. (x+y)=x . y da cui x.y=x

Proprietà distributiva Reticolo Distribuito Proprietà distributiva x+(y . z)=(x+y) . (x+z) x . (x+y)=(x . y)+(x . z) Altre proprietà del reticolo minimo x . 0 =0 0 x massimo x+1=1 x  1 complemento x + x =1 x . x =0

Reticolo dotato di max, min e complemento  Algebra di Boole Reticolo dotato di max, min e complemento <K,+,.,_,0,1> K insieme di sostegno + OR . AND 0 minimo 1 massimo _ complemento

Algebra di Boole Dualità Dualità: Legge di dualità Precedenze . + duale di . 0 duale di 1 Legge di dualità Ad ogni identità booleana si può associare la sua duale Precedenze x . +

Algebra di Boole Postulati: 1) x+(y+z)=(x+y)+z x .(y . z)=(x .y). z 2) x+y=y+x x . y=y . x 3) x+x=x x.x=x 4) x .(x+y)=x x+(x . y)=x 5) x .(y+z)=(x . y)+(x .z) x+(y . z)=(x+y) .(x+z) 6) x+1=1 x . 0=0 7) x+x=1 x . x=0

Algebra di Boole Valore booleano (VB) Variabile Booleana Uno qualsiasi degli elementi di K Variabile Booleana Una variabile che può assumere un VB Letterale di X La variabile x o il suo complemento x Funzione Booleana y=f(x1,x2,...xn) fi: KxKxK...xK  K

Funzioni Fondamentali AND, OR, NOT AND(x1,x2,...xn)=x1. x2....xn OR(x1,x2,...xn)= x1+x2+...xn NOT(x)=x

Funzioni Fondamentali Dato un insieme di funzioni F= {f1,……fn } una funzione a volte può essere espressa come funzione delle funzioni F yi=gi(x1,x2,...xn) y=f(y1,....ym) Ciò non è vero per qualsiasi funzione y e per qualsiasi insieme F {F} è funzionalmente completo se una funzione Booleana può essere espressa mediante le sole funzioni semplici di {F}

Livello di una variabile Le variabili INDIPENDENTI sono dette di livello 0 Una variabile y=f(y1,....ym) è di livello k se k(y)= max K(yi)+1

Livello di una funzione Funzioni f x1 x2 xn y Livello di una funzione f=x+xyz+z  f=f1+f2+f3 f1=x, f2=xyz, f3=z f  livello 2 f2  livello 1

Funzioni + x y z f . Livello 0 Livello 1 Livello 2

Esempio Calcolare il livello di y=bc(ad+b+c)+c(d+a)(b+c)

Più espressioni per una stessa funzione: Funzioni f x1 x2 xn y Più espressioni per una stessa funzione: y=abcd+bc+bcd+abc y=ab+bc+db

Eguaglianze notevoli Negazione Convoluzione Neutri Assorbimento 0 = 1 1 = 0 si dimostra con: 0.1=0, 0+1=1, a . a=0, a+a=1 Convoluzione a=a si dimostra con: a+a=1, a . a=0 Neutri a+0=a a . 1=a si dimostra con: a+(a . 0)=a, a . 0=0, a .(a+1)=a, a+1=1 Assorbimento a+(a . b)=a+b si dimostra (a+a) . (a+b)=1 . (a+b)

Teorema di De Morgan T1) a+b = a . b T2) a . b = a+b Il complemento di una somma è uguale al prodotto dei complementi T2) a . b = a+b Il complemento di un prodotto è uguale alla somma dei complementi

Teorema di De Morgan Dimostrazione: Dimostriamo che (a+b)+(a . b)=1 (a . b). (a + b)=0 {a . a=0; a+a=1} a+b+ab=a+ab+b+ab=a+b+b+a=1+1=1 T1) a+b=a . b T2) a . b=a+b

Teorema di Shannon Data una funzione di qualsiasi livello, espressa con componenti AND ed OR si ha che il complemento della funzione è ottenuto sostituendo ad ogni variabile il suo complemento e scambiando ogni funzione componente con la sua duale

Generalizzazione del teorema di De Morgan Teorema di Shannon f1=abcd f1=a+b+c+d f(x1,x2,...xn)=df(x1,x2,...xn) Generalizzazione del teorema di De Morgan

Algebra di Boole Esercizi Dimostrare che: x+y=xy+xy+xy x+y=xy  x=y xy=0  yx x+y=a e xy=0  dato x,y è unico x+y=x+z non segue y=z x.y=x.z non segue y=z

Principio dell’eliminazione x+y=x+z Non implica necessariamente y=z

Algebra degli insiemi A,B  T A  B T A B Diagrammi di Venn

P(T) =2^T Es. T=0,1 P(T)=(0),(1),(0,1),Ø <(P(T),,,,T, Ø > è un’algebra di Boole , godono delle seguenti proprietà commutative associative idempotenti distributive assorbimento minimo e massimo (AØ=Ø AT=T) complemento (AA=Ø AA=T)

Proprietà  (unione) <=> + (somma)  (intersezione) <=> . (prodotto) A (complemento) <=> a (complemento) Ø (insieme vuoto) <=> 0 (minimo) T (insieme “totale”) <=> 1 (massimo)

L’algebra di Boole è isomorfa ad un algebra degli insiemi Relazione d’ordine AB <=> AB=B <=> AB=A <=> BA L’algebra di Boole è isomorfa ad un algebra degli insiemi

Proprietà Commutativa Associativa Idempotenza Distributiva AB=BA AB=BA Associativa (AB)C= A(BC) (AB)C=A(BC) Idempotenza AA=A AA=A Distributiva (AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) Assorbimento A(AB)=A A(AB)=A Complemento AA=Ø AA=T

AB = (AB) Teorema di De Morgan