ELEMENTI DI LOGICA MATEMATICA

Logica delle proposizioni Nel linguaggio naturale ovvero il linguaggio che usiamo quotidianamente per comunicare, indichiamo con il termine di proposizione una frase che esprime un pensiero compiuto. In matematica, invece, chiamiamo:

ma non contemporaneamente vero e falso. DEF : PREPOSIZIONE una frase o un enunciato che può essere : VERO 1 FALSO 0 ma non contemporaneamente vero e falso.

ESEMPI: Sono proposizioni : 10 è un numero dispari il 25 Dicembre è Natale Roma è capitale d’Italia La prima è FALSA, Mentre le altre due sono VERE.

Non sono proposizioni Come ti chiami ? Milano è una bella città Che bel sole! Poiché non è possibile stabilirne la verità; la prima è una domanda, la seconda esprime un giudizio soggettivo , la terza un’esclamazione.

Quando diciamo che una proposizione è VERA oppure FALSA Attribuiamo ad essa un VALORE DI VERITA’. In matematica i concetti noti sono detti PRIMITIVI, per cui i concetti di “ vero” e “ falso “ sono tali.

TRE PRINCIPI DELLA LOGICA Principio di identità : ogni proposizione ha lo stesso valore di identità di se stessa Principio di non contraddizione : una proposizione non può essere contemporaneamente VERA e FALSA Principio del terzo escluso : una proposizione può essere solo VERA o FALSA

OPERAZIONI LOGICHE Le proposizioni si possono collegare tra loro in modo da formare nuove proposizioni pertanto possiamo eseguire le operazioni logiche tra di esse.

LA NEGAZIONE Corrisponde al connettivo «non». E’ la proposizione che è vera se l’enunciato di partenza è falso e falsa nell’altro caso. Si indica Corrisponde al connettivo «non». Nel linguaggio informatico è anche indicato NOT o INVERTER. La tavola di verità corrispondente è: Esempio: p: «6 è pari» V non p: «6 non è pari » F

LA CONGIUNZIONE Dati due enunciati, la congiunzione è quella terza proposizione che è vera solo se le due di partenza sono vere. Si indica pq e corrisponde al connettivo «e» anche detto AND. La tavola di verità è la seguente. Esempio: p: “Roma è in Italia” V q: “Il forno raffredda” F pq: “Roma è in Italia e il forno raffredda” F

LA DISGIUNZIONE INCLUSIVA E’ quell’operazione che permette di trovare una terza proposizione che è vera se almeno uno degli enunciati di partenza è vero. Viene indicata: si legge “p vel q” o altrimenti: p OR q Corrisponde al connettivo linguistico «o». Esempio: p: «Pordenone è in Friuli» V q: «Il ghiaccio è caldo» F p  q: «Pordenone è in Friuli o il ghiaccio è caldo » V

LA DISGIUNZIONE ESCLUSIVA La disgiunzione esclusiva è l’operazione binaria che fa corrispondere a due proposizioni p e q la proposizione composta p q che è vera quando è vera una sola delle proposizioni componenti. La disgiunzione esclusiva corrisponde al connettivo “o…o…”(in latino a “aut”) o, nel linguaggio informatico, a “XOR”. La tavola di verità correspondente è: Esempio: p:”Napoli è in Campania” V q:”Venezia è in Liguria” F p q:”o Napoli è in Campania o Venezia è in Liguria” V

L’IMPLICAZIONE MATERIALE L’implicazione materiale o condizionale è l’operazione binaria che fa corrisponere a due proposizioni p e q la proposizione composta pq che è sempre vera tranne quando p è vera e q è falsa. L’implicazione materiale corrisponde al connettivo “se…allora”. La tavola di verità corrispondente è: Esempio: p: “Milano è in Lombardia” V q: “Madrid è in Italia” F pq: “Se Milano è in Lombardia allora Madrid è in Italia” F

LA DOPPIA IMPLICAZIONE La doppia implicazione materiale o bicondizionale è l’operazione binaria che fa corrispondere a due proposizioni p e q la proposizone composta pq che è vera quando p e q sono entrambe vere o entrambe false. La doppia implicazione materiale corisponde al connettivo “...se e solo se…” o, nel linguaggio informatico, a “NOT XOR”. La tavola di verità corrispondente è: Esempio: p:”Genova è in Liguria” V q:”Il monte Bianco è in Sicilia” F pq:”Genova è in Liguria se e solo se il monte Bianco è in Sicilia” F

TAUTOLOGIE Si definisce tautologia una proposizione composta che risulta sempre vera, indipendentemente dai valori di verità delle proposizioni componenti. Ecco alcuni esempi di tautologie: Principio del Terzo Escluso or Esempio: è sempre vero che cammino o non cammino

Principio di non contraddizione Esempio: non può essere vero che piove e (contemporaneamente) non piove.

CONTRADDIZIONI Si definisce contraddizione una proposizione composta sempre falsa, indipendentemente dai valori di verità delle proposizioni componenti. La proposizione p p è una contraddizione perché è sempre falsa, come si può vedere nella corrispondente tabella di verità. Esempio: è sempre falso che piove e (contemporaneamente) non piove

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