I.T.E. “L. EINAUDI” Porto S. Elpidio Logica Matematica: un po’ di Storia Logica delle Proposizioni e cenno alla Logica dei Predicati

Logica Matematica Autori : Valter Stortini & C Tematica: un po’ di storia della Matematica, i principii della Logica, la Logica delle proposizioni e le Tavole di verità Finalità ed obiettivi di apprendimento: portare gli alunni ad una riflessione sul loro modo di parlare e ascoltare, motivandoli così ad apprendere gli schemi di ragionamento corretto. Metodologia: Progettazione, Lezione dialogata, ricerca su Internet, lavoro di gruppo, feedback

La Matematica si apprende studiando Mathma, atos: oggetto dell’apprendimento (da mananw = imparare) Secondo Anatolio (santo e vescovo di Laodicea, studioso di Matematica, 269 d.C), i Peripatetici (discepoli di Aristotele, IV sec. a.C.) affermavano che “mentre la retorica, la poesia e la musica popolare possono essere praticate anche senza essere studiate, nessuno può capire le cose che vengono chiamate con il nome di matematica senza averle prima studiate”, e per questa ragione “la teoria di queste cose è detta Matematica”.

Logica e ragionamenti La logica nasce come disciplina che studia i principi e le regole del ragionamento, ne valuta la correttezza e ne formalizza l'uso. Fin dall'antichità la logica è stata molto studiata: nella Grecia classica il più famoso e importante pensatore che si è dedicato alla logica fu Aristotele (384 ac-322 ac). Le regole di inferenza logica, cioè le regole per cui date alcune premesse è possibile raggiungere una conclusione, sono considerate evidenti di per sé, sono considerate valide e sono presenti naturalmente nel nostro modo di ragionare. Per i Greci la logica aveva grande importanza perché stava alla base della retorica. Di conseguenza la studiavano soprattutto dal punto di vista linguistico, valutandone il corretto utilizzo nell'ambito del linguaggio naturale. Questo approccio rimarrà per lungo tempo quello più seguito e adottato.

Un po’ di storia della Logica Ponendo l'accento sulla retorica, uno degli aspetti più interessanti è dato dai cosiddetti paradossi (parà + doxa = contro l'opinione comune) e antinomie (anti + nomos = contro la legge) logiche, frasi dotate di significato se considerate dal punto di vista esclusivamente linguistico, ma che dal punto di vista logico risultano contraddittorie. I primi esempi di paradossi vengono proprio dalla Grecia antica, ma anche nella storia successiva logici e filosofi hanno fornito numerosi esempi. I paradossi hanno sempre attirato un grande interesse da parte degli studiosi di logica e la loro esistenza è stata importantissima anche per la storia della matematica. Attorno al VI secolo a.C., raccogliendo l'eredità dei matematici egiziani e babilonesi, con gli studiosi ellenici nacquero i due processi principali su cui si basa l'organizzazione logica della matematica: l'astrazione (ricavare una regola generale dall'osservazione di fenomeni particolari diversi) e la deduzione (partendo da alcune premesse, ricavare una conclusione coerente con le assunzioni del ragionamento). Nel V secolo a.C., Zenone enuncia i famosi paradossi (famoso quello di Achille e la Tartaruga). Nel IV secolo a.C., Aristotele codifica le leggi del ragionamento logico, mentre Euclide organizza negli Elementi i teoremi di geometria e di teoria dei numeri ottenuti dalla cultura  matematica greca dell'epoca. Procede per definizioni, postulati e teoremi con una esposizione che è rimasta classica per ogni tempo, punto di riferimento per ogni teoria. (vedi )

Continua: Logica e Matematica In tempi pressoché contemporanei ad Aristotele, la logica esce dal contesto della retorica e inizia a essere utilizzata in maniera rigorosa anche in matematica, in particolare in geometria, con Euclide di Alessandria (365 AC - 300 AC), il quale, nei suoi “Elementi”, espone e tratta in maniera rigorosa la geometria piana, partendo da postulati geometrici, che lui considera evidenti e giustificati dalla realtà sensibile, e da assiomi (che chiama "nozioni comuni"), che sono regole considerate evidenti e basate sul ragionamento logico. A partire dai postulati, Euclide dimostra i teoremi utilizzando le regole di inferenza logica, fornendo un grande esempio d'uso della logica in matematica. Anche in questo Euclide è stato un modello per molti matematici nei secoli successivi: in tredici libri organizzò tutti i teoremi di geometria e di teoria dei numeri della matematica greca dell'epoca, con una esposizione rimasta classica fino a oggi. Gli Elementi, che fino al XIX secolo fu il testo più diffuso dopo la Bibbia, rappresentò così la sistemazione delle conoscenze geometriche “elementari” e aprì la strada a ricerche di carattere “superiore”.

Medioevo: trivio e quadrivio, poi … Logica Matematica La Matematica è sempre stata considerata genericamente come la “Scienza dei Numeri”… Una simile definizione è parziale, anche riferita solo al Medioevo, durante il quale la Matematica era insegnata nelle Università come arte liberale. Nelle facoltà di Filosofia, infatti, venivano apprese le arti del Trivio (complesso delle discipline letterali, costituito da Grammatica, Retorica, Logica) e del Quadrivio (complesso delle discipline scientifiche, costituito dalla matematica “pura”: Aritmetica e Geometria, e dalla matematica “mista”: Musica e Astronomia, viste come loro rispettive applicazioni). Tale facoltà era la più importante per il numero di studenti che la frequentavano, e che dopo aver concluso i corsi potevano proseguire gli studi in una delle altre tre facoltà (Teologia, Diritto, Medicina)… Successivamente, a partire dal XVII secolo gli studi sulla logica iniziano a indirizzarsi decisamente verso la nascita della "logica matematica", allontanandosi da quella che possiamo definire "logica filosofica" che fino a quel momento era stata la più studiata. I ragionamenti logici vengono formalizzati in modo da poter essere "calcolati", utilizzando un linguaggio formale, che permetta un perfetto controllo delle dimostrazioni. Così tra la fine del XIX e l'inizio del XX secolo la logica diventa lo strumento per lo sviluppo rigoroso e formale della matematica.

Vero … o solo logicamente valido? Inoltre il rapporto sempre più stretto tra logica e matematica produce risultati inaspettati: viene compresa la differenza tra verità e validità logica. Per secoli i matematici hanno pensato che le teorie matematiche e in particolare la geometria rappresentassero verità assolute e che fosse loro compito scoprirle. La nascita delle geometrie non-euclidee (a cui i matematici giungono nell'Ottocento dopo secoli di studi sul V postulato euclideo) fa comprendere che la scelta degli assiomi può essere del tutto arbitraria (purché non portino a contraddizioni) e che ciò che si deriva da essi è da considerarsi "logicamente valido" e non più "vero" in senso assoluto. Ciò che gli assiomi predicano può essere contrario a ciò che suggerisce l'esperienza, ma ciò che è possibile dimostrare a partire da essi risulta in ogni caso logicamente valido, per cui non esiste più una teoria "vera", che costringa le altre a essere "false". Di conseguenza è possibile creare diverse teorie non equivalenti ma tutte ugualmente coerenti, e allora il problema principale della logica, cambia natura e consiste nello sviluppare una teoria assicurandone la coerenza. Per coerenza (consistenza) si intende il fatto che all'interno di tale teoria non è possibile dimostrare un teorema e la sua negazione.

Paradosso di Russell – indovinelli e giochi All'inizio del ventesimo secolo la logica viene usata per dare fondamento alla teoria intuitiva degli insiemi da Georg Cantor e Gottlob Frege. Proprio da questa prima formalizzazione (detta "ingenua") nascono i primi problemi paradossali riguardanti logica e matematica: proprio mentre Frege si accingeva a pubblicare i suoi risultati il matematico e filosofo Bertrand Russell (1872-1970) enuncia quello che è universalmente noto come paradosso di Russell, che mina le basi della teoria di Cantor-Frege. Quest'ultima deve essere abbandonata e più tardi viene sostituita dalla teoria assiomatica degli insiemi, introdotta da Zermelo e perfezionata da Fraenkel. Oggi la logica è lo strumento privilegiato per lo sviluppo della matematica, perché permette di procedere attraverso regole ben precise che assicurano la correttezza delle dimostrazioni. C'è da dire, infine, che la logica, oltre a tutti i suoi utilizzi linguistici e matematici, presenta anche un aspetto "ludico". Utilizzando la logica è possibile dare vita ad un numero elevatissimo di indovinelli e giochi che, stuzzicando la mente, rendono questa disciplina più facilmente avvicinabile da tutti. E, forse, anche più divertente.

Qualche paradosso • Il paradosso del mentitore. E’ questo il più celebre dei paradossi, quello che ha conosciuto maggiore fortuna nella storia del pensiero, impegnando per la sua soluzione una numerosa schiera di filosofi e logici. La formulazione più vicina a quella originale di Eubulide sembra quella tramandataci da Cicerone: Se dici che menti e in ciò dici il vero, menti o dici la verità? Di questo paradosso sono note anche altre versioni; una delle più celebri è la seguente Epimenide cretese afferma che tutti i cretesi sono bugiardi. E’ vero o no quanto afferma Epimenide? La sua forma più semplice. Assai semplicemente esso può venire espresso con l’asserto: “questo enunciato è falso”. E’ l’enunciato vero o falso? Il paradosso del postino. Il postino prende la posta per tutti coloro che non se la prendono da soli ed ovviamente non prende la posta per tutti coloro che la prendono da soli. Ma allora chi prende la posta del postino? Se è lo stesso postino che prende la posta, allora ne deriva che egli non prende la posta per se; se invece non la prende, allora si presume che egli la prende. Il paradosso del barbiere. Presentato da Russell, è del tutto simile a quello del postino. Il barbiere fa la barba a tutti coloro che non la fanno da sé. Chi fa la barba al barbiere?

Ed ora veniamo al dunque!

Logica Aristotelica e Megarico-Stoica Aristotele indicava così i tre principi logici fondamentali, riguar-danti la Logica dei Predicati, validi anche per la Logica delle Proposizioni ( o degli Enunciati): 1- Principio di non contraddizione: una proposizione e la sua negazione non possono essere contemporaneamente vere; 2- Principio di identità: ogni proposizione è uguale (equivale) a se stessa; 3- Principio del terzo escluso: tra una proposizione e la sua negazione almeno una è vera (e quindi, per il n.1, una sola) cioè: una proposizione o è vera o è falsa, (non c’è una terza possibilità) (tertium non datur)

LOGICA ARISTOTELICA: qualche esempio di ragionamento (sillogismo) LOGICA DEI PREDICATI: La logica aristotelica prevedeva l’analisi interna di alcuni tipi di proposizioni (universali, particolari, affermative, negative) e lo studio dei sillogismi (Un sillogismo ha due premesse e una conclusione) mentre la logica megarico-stoica non diversificava le proposizioni. Sillogismo di tipo A A A ( BARBARA ) A: Tutti i viventi invecchiano A: Tutti i vegetali sono viventi ------------------------ A: Tutti i vegetali invecchiano Le proposizioni secondo Aristotele 􀂄 tipo A - Universale affermativa ad esempio: Tutti gli orsi sono vertebrati 􀂄 tipo I - Particolare affermativa ad esempio: Alcuni uccelli sono rapaci 􀂄 tipo E - Universale negativa ad esempio: Tutti gli orsi non sono pesci (ovvero: Nessun orso è un pesce) 􀂄 tipo O - Particolare negativa ad esempio: Alcuni uccelli non sono rapaci Sillogismo di tipo E A E ( CELAR ENT ) E: Nessun mammifero è un pesce A: Tutti gli uomini sono mammiferi ------------------------ E: Nessun uomo è un pesce

LOGICA ARISTOTELICA: qualche esempio di ragionamento (sillogismo) ("tutti sono europei") (tutti gli uomini sono europei) E ("tutti sono non europei", cioè "nessuno è europeo") (nessun uomo è europeo) I = ¬ E ("esiste un europeo") (esiste almeno un uomo che è europeo) O = ¬ A ("esiste un non europeo", (esiste almeno un uomo che non è europeo) cioè "non tutti sono europei")

Altri esempi di tipi di Sillogismo i tipi corretti di Sillogismo sono 19 su 256(44) Sillogismo di tipo A I I ( D A R I I ) A: Tutti gli uomini sono mortali I: Socrate è un uomo ------------------------ I: Socrate è mortale Sillogismo di tipo A A I ( DARAPTI ) A: Tutti i Pini sono Conifere A: Tutti i Pini sono Vegetali ------------------------ I: Alcuni Vegetali sono Conifere Sillogismo di tipo E I O ( FERIO ) E: Nessun amico è un traditore I: Franco è un amico ------------------------ O: Franco non è un traditore Sillogismo di tipo A O O ( BAROCO ) A: Tutti i gatti sono esseri viventi O: La Luna non è un essere vivente ------------------------ O: La Luna non è un gatto

Adesso immaginiamo che le proposizioni ci vengano nascoste Adesso immaginiamo che le proposizioni ci vengano nascoste! Possiamo solo sapere se sono vere o false, ma nessuno ci dà altre informazioni!!!

Logica delle Proposizioni o Enunciati 􀂄 Diremo enunciato o proposizione un’affermazione che assume uno ed un solo valore di verità: vero o falso. 􀂄 Tale caratteristica è tutt’altro che banale: infatti non tutte le affermazioni assumono incontestabilmente uno ed un solo valore di verità. 􀂄 Alcuni enunciati sono costituiti da una sola affermazione («Atene è in Grecia») e sono detti enunciati atomici. 􀂄 Nella logica proposizionale prescinderemo dalla “struttura interna” degli enunciati.

Proposizioni … e Connettivi Logici Verità e falsità 􀂄 Enunciati composti sono costituiti da più affermazioni, collegate da opportune parole (connettivi) come e, o , se .. allora .. , se e solo se, non, o .. o ..      aut 􀂄 I connettivi collegano gli enunciati senza riguardo al significato che possono assumere quelli: l’unica caratteristica che viene indicata nella loro definizione è quale valore di verità abbia l’enunciato composto a partire soltanto dai valori di verità assegnati agli enunciati componenti. 􀂄 Le tavole di verità riassumono (in versione moderna) le definizioni dei connettivi.

Tavole di Verità dei Connettivi Logici b ab V F o a b ab V F Se.. allora a b a b V F non a ¬ a V F o..o.. a b a aut b V F se e solo se.. allora.. a b a b V F

Tavole di Verità

“EX FALSO SEQUITUR QUODLIBET”

RIFERIMENTI “Storia della Matematica fino al 1200. Storia dello zero”.ppt, prof.ssa Francesca Russo “Tavola dei Sillogismi” di Alessandro Salerno “STSC-WEB(5)”.pdf di Giorgio T.Bagni “Logica Fregeana”.pdf da G.Boniolo, P. Vidali, Filosofia della scienza,B.Mondadori “Breve storia della Logica” di Marco Pivetta – ubib060412s003.pdf – http://ulisse.sissa.it