Prezzi Forward e Prezzi Futures Capitolo 3

Formule Conversione Tassi Interesse - Rc un tasso d’interesse composto continuamente - Rm il tasso d’interesse equivalente composto m volte l’anno Le formule di conversione sono: Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull

Vendita allo Scoperto (short selling) La vendita allo scoperto consiste nel vendere titoli che non si posseggono I titoli vengono presi in prestito attraverso un broker e vengono venduti nel modo consueto Chi vende allo scoperto dovrà prima o poi ricomprare i titoli per restituirli al broker da cui li ha presi in prestito Deve pagare i dividendi e altri eventuali proventi al legittimo proprietario dei titoli Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull

Tasso di Riporto (repo rate) I contratti di riporto (repos o repurchase agreements) sono accordi con i quali un’istituzione finanziaria vende titoli spot ad un’altra istituzione finanziaria e li riacquista a termine ad un prezzo che in genere è lievemente più alto La differenza tra il prezzo di riacquisto a termine e il prezzo di vendita spot è l’interesse percepito dalla controparte (tasso di riporto) Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull

Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull Definizioni F : prezzo forward f : valore del contratto forward K : prezzo di consegna del contratto forward Prezzo forward osservato corrisponde al prezzo di consegna che rende nullo il valore del contratto Alla stipula contratto  F = K e f = 0 Col passare del tempo sia f che F cambiano Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull

Contratti Forward su Titoli che NON Offrono Redditi Relazione tra prezzo forward F e prezzo spot S affinché non vi sia arbitraggio F  S ·e r · T  t dove r è il tasso di interesse privo di rischio a Tt anni composto continuamente Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull

Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull Contro-esempio F > S · e r ·T  t Strategia cash and carry Prendere a prestito S per il periodo T-t al tasso r Acquistare spot l’attività sottostante Assumere posizione corta sul forward Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull

Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull Contro-esempio F < S · e r ·T  t Strategia reverse cash and carry Assumere posizione lunga sul forward Vendita allo scoperto dell’attività sottostante Ricavato investito per il periodo T-t al tasso r Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull

Dimostrazione formale Portafoglio A Forward lungo  f Deposito bancario  K · exp { - r · (T - t) } Portafoglio B Titolo senza reddito  S Al tempo T entrambi i portafogli saranno composti da una unità del titolo sottostante Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull

Condizione di non-arbitraggio  Condizione di non-arbitraggio f + K · exp { - r · (T - t) } = S Poiché in t , F = K e f = 0 , allora la condizione di non-arbitraggio equivale a: F  S ·e r · T  t Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull

Contratti Forward su Titoli che Offrono Redditi Noti Relazione tra prezzo forward F e prezzo spot S affinché non vi sia arbitraggio F  (S - I) ·e r · T  t dove I è il valore attuale dei redditi che verranno distribuiti in T (già noti in t) Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull

Dimostrazione formale Portafoglio A Forward lungo  f Deposito bancario  K · exp { - r · (T - t) } Portafoglio B Titolo con reddito noto  S Prestito bancario  - I Al tempo T entrambi i portafogli saranno composti da una unità del titolo sottostante Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull

Condizione di non-arbitraggio f + K · exp { - r · (T - t) } = S - I  Condizione di non-arbitraggio f + K · exp { - r · (T - t) } = S - I Poiché in t , F = K e f = 0 , allora la condizione di non-arbitraggio equivale a: F  (S - I) ·e r · T  t Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull

Contratti Forward su Titoli che Offrono un Dividend Yield Noto Relazione tra prezzo forward F e prezzo spot S affinché non vi sia arbitraggio F  S ·e (r - q) · T  t dove q è il dividend yield (si ipotizza che vi sia un flusso di dividendi continuo tra t e T e che tali dividendi vengano distribuiti al tasso annuale q) Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull

Dimostrazione formale Portafoglio A Forward lungo  f Deposito bancario  K · exp { - r · (T - t) } Portafoglio B Titolo con dividend yield noto  exp { - q · (T - t) } unità del titolo, con reddito reinvestito nel titolo stesso Al tempo T entrambi i portafogli saranno composti da una unità del titolo sottostante Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull

 F  S ·e (r - q) · T  t Condizione di non-arbitraggio f + K · exp { - r · (T - t)} = S · exp { - q · (T - t)} Poiché in t , F = K e f = 0 , allora la condizione di non-arbitraggio equivale a: F  S ·e (r - q) · T  t Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull

Valore di un Contratto Forward Contratto forward ha valore nullo al momento della stipula. Può avere valore positivo o negativo successivamente, durante la vita del contratto.  Valore al tempo t di un contratto forward lungo f in funzione del prezzo di consegna K concordato alla stipula (tempo 0) e del prezzo forward corrente F. f  F  K  e  r · T  t Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull

 Ne consegue il risultato  Si considerino i portafogli A e B nel caso di titolo privo di reddito. Si ipotizzi che tali portafogli siano stati formati al tempo 0 e che il contratto forward allora stipulato scada al tempo T.  Ad una data intermedia t, 0 < t < T, la condizione di non-arbitraggio imporrà che valga la relazione: f + K · exp { - r · (T - t) } = S  Per un contratto forward stipulato al tempo t con scadenza al tempo T, per la condizione di non-arbitraggio vista in precedenza, si ha: S  F  e  r · T  t  Ne consegue il risultato Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull

Futures su Indici Azionari Gli indici azionari possono essere considerati alla stregua di titoli che offrono dividend yield continuo La relazione tra prezzo futures e prezzo spot è: F  S ·e (r - q) · T  t dove q rappresenta il dividend yield del portafoglio che è alla base dell’indice Esercizio. Si verifichi tale relazione utilizzando dati su MIB30, FIB30 e tasso risk-free, con differenti dividend yield (per es., q = 3%) Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull

Futures su Valute (Currency Futures) Valute estere sono simili a titoli che offrono un dividend yield continuo, dove questo è dato dal tasso d’interesse estero privo di rischio Ne segue che: F  S ·e (r - y) · T  t dove y è il tasso d’interesse estero privo di rischio Esercizio. Si verifichi tale relazione utilizzando dati sul tasso di cambio dollaro/yen e sui tassi risk-free di Stati Uniti e Giappone Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull

Futures su Merci (Commodity Futures) Vale la relazione F  (S  U  e r ·T  t dove U è il valore attuale dei costi di immagazzinamento dell’attività sottostante In alternativa, F  S  e (r + u) ·T  t dove u è il costo di immagazzinamento per unità di tempo espresso in proporzione al valore dell’attività sottostante Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull

Prezzi Futures e Futuri Prezzi Spot Si supponga che il tasso di rendimento atteso dagli investitori su una certa attività sia k Si può investire al tempo t l’importo F · erT  t in titoli privi di rischio e simultaneamente assumere una posizione lunga su un contratto futures per scadenza T in modo da avere ST alla scadenza del contratto futures Pertanto: F · erT  t  EST  e k · T  t da cui: F  EST  e r  kT  t Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull

Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull  Se l’attività: non ha rischio sistematico, si ha k = r e F = E(ST ha rischio sistematico positivo, si ha (normal backwardation) k  r e F  E(ST ha rischio sistematico negativo, si ha (contango) k < r e F > E(ST Opzioni, Futures e altri Derivati, J. Hull