Da un problema assegnato allEsame di Stato 2006 Un filo metallico di lunghezza L viene utilizzato per delimitare il perimetro di unaiuola rettangolare. Qual è laiuola di area massima che è possibile delimitare?

Reazioni nelle scuole Commento di alcuni studenti: Non provo neanche a risolvere questo problema: è proprio molto difficile! Commento di altri studenti: Che fortuna! È facilissimo! È il problema dello spago!

Perché il problema dello spago? Ecco un esperimento per vedere il filo metallico che può delimitare tante aiuole rettangolari

Il problema dello spago Si intuisce che si ha larea massima nel caso del quadrato. Come si può dimostrare questa congettura?

Attività 1: problema dello spago Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone. Ad ogni gruppo viene data una scheda di lavoro da completare. Avete 40 minuti di tempo

Che cosa abbiamo trovato? Due procedimenti per dimostrare la congettura

1. Solo con prodotti notevoli Larea S dei rettangoli è data da: S = (10 + x)(10 – x) = 100 – x 2 S è massima è 100, raggiunta solo se x = 0. Così tolgo 0 a 100 e rimane il quadrato, che ha area massima. 0 x 10

2. Con la geometria analitica Larea S del rettangolo è data da: S = xy Con semiperimetro 20 e perciò x + y = 20 da cui y = 20 x Esprimo larea S in funzione della sola x 0 x 20 S = x(20 – x)

Il grafico S = – x x con 0 x 20 Arco di parabola con vertice V(10, 100) Eseguo la moltiplicazione indicata e scrivo la funzione area S variabile al variare di x S massima è 100, raggiunta per x = 10, cioè nel quadrato con i lati tutti lunghi 10.

Il perimetro deve essere 40 cm? In tutti e due i procedimenti i rettangoli avevano il perimetro lungo 40cm. Se il perimetro è lungo 16 o 30 o 80cm, … cambia la dimostrazione? NO! Infatti, nel problema dEsame trovo:Un filo metallico di lunghezza L … Il perimetro è indicato con una lettera (L) per ricordare che può essere scelto a piacere, senza però cambiarlo mentre risolvo il problema.

In conclusione I due procedimenti dimostrano che: Laiuola quadrata ha area massima fra tutte le aiuole rettangolari delimitate con un filo lungo L. Esprimo la conclusione con il linguaggio della geometria. Il quadrato ha area massima fra tutti i rettangoli che hanno un dato perimetro.