I QUADRILATERI “Per geometria non intendo lo studio artificioso di Teorema-dimostrazione-C.v.d. che per moltissimo tempo è stato inflitto nel nome di Euclide a ragazzi innocenti, intendo l’uso di figure” Ian Stewart docente Università di Warwick

I trapezi con Cabri (non utilizzando lo strumento poligono, ma utilizzando la definizione) Disegna il segmento AB dall’icona Oggetti rettilinei, inserendo le lettere utilizzando Testo e simboli Da Costruzioni traccia una retta parallela Da Oggetti rettilinei traccia un nuovo segmento CD su tale retta, di lunghezza inferiore a AB; inserisci le lettere utilizzando Testo e simboli Sempre con Oggetti rettilinei traccia i segmenti congiungenti gli estremi di AB e CD Con lo strumento Mostra/Nascondi dell’icona Attributi nascondi le linee di costruzione.

TEOREMA 1: In un trapezio gli angoli adiacenti a ogni lato obliquo sono supplementari DIMOSTRAZIONE Considero adiacenti al lato obliquo BC. Essi sono supplementari perché coniugati interni di rette parallele AB//DC per ipotesi, tagliate dalla trasversale BC. Perciò tali angoli sono sono supplementari. Analoga dimostrazione per gli altri due angoli. TEOREMA 2 Se in un quadrilatero gli angoli adiacenti a un lato sono supplementari allora il quadrilatero è un trapezio La dimostrazione è analoga e non ci si dilunga. D C IPOTESI: ABCD trapezio, con AB//CD TESI è un angolo piatto A B

VERIFICHIAMO IL TEOREMA 2 CON CABRI Da Oggetti rettilinei seleziona segmenti e disegnane due consecutivi che formino un generico angolo Da Misura seleziona misura dell’angolo e misura l’angolo formatosi Da Misura seleziona calcolatrice e calcola il supplementare dell’angolo Traccia un altro segmento consecutivo generico Misura il nuovo angolo che si è formato Seleziona il puntatore da Manipolazione e sposta il vertice del segmento che resta libero fino ad ottenere l’angolo uguale al valore calcolato con la calcolatrice Chiudi il quadrilatero con un altro segmento Seleziona Proprietà e verifica se i due lati ottenuti sono paralleli.

VERIFICHIAMOLO ALLORA CON CABRI

I PARALLELOGRAMMI DEFINIZIONE: è un quadrilatero con i lati opposti paralleli I parallelogrammi hanno due coppie di lati opposti paralleli, quindi sono dei particolari trapezi, perciò tutte le proprietà dei quadrilateri e dei trapezi valgono anche per i parallelogrammi. TEOREMA 1 In un parallelogramma: Ogni diagonale divide il parallelogramma in due triangoli congruenti I lati opposti sono congruenti Gli angoli opposti sono congruenti Gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari Le diagonali si intersecano nel loro punto medio

Parallelogrammi con Cabri Disegno un parallelogramma: Dall’icona Oggetti rettilinei seleziono segmento e lo traccio. Ne traccio un altro consecutivo Dall’icona Testo e simboli seleziono testo e attribuisco A,B,C ai punti trovati Dall’icona Costruzioni traccio la retta parallela ad AB e passante per C Dall’icona Costruzioni traccio la retta parallela ad BC e passante per A Da Oggetti rettilinei seleziono segmento e individuo gli altri due lati del parallelogramma Inserisco la lettera D con Testo e simboli all’ultimo vertice trovato

Verifico il teorema 1 : Traccio il segmento che va dal vertice A al vertice C (diagonale) e trovo due triangoli aventi AC in comune. Dall’icona Misura seleziono distanza o lunghezza e lo applico ai quattro lati del parallelogramma: osservo così che i due triangoli sono congruenti.(III principio di congruenza) Osservo la misura dei lati precedentemente eseguita al punto 1. Seleziono Misura e misuro gli angoli opposti Dall’icona Misura seleziono la calcolatrice, vedo quanto deve essere l’ampiezza del supplementare, misuro un angolo adiacente e vedo che corrisponde proprio a questa misura. 5. Traccio anche l’altra diagonale: seleziono segmento e lo traccio da B a D. Dall’icona Punti seleziono intersezione di due oggetti e disegno il punto di incontro delle diagonali Dall’icona Misura poi distanza o lunghezza vedo le misure dei segmenti in cui si dividono le diagonali ed osservo che esse si intersecano nel loro punto medio.

TEOREMA 2 Se in un quadrilatero è verificata una delle seguenti condizioni: Le diagonali si intersecano nel loro punto medio I lati opposti sono congruenti Gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari Gli angoli opposti sono congruenti Due lati opposti sono paralleli e congruenti Allora il quadrilatero è un parallelogramma Le dimostrazioni vengono svolte in parte in classe e in parte assegnate come compiti per casa; seguono esercizi di consolidamento dal libro di testo dei ragazzi

PARALLELOGRAMMA PARTICOLARE IL ROMBO Definizione: un rombo è un quadrilatero con i lati congruenti TEOREMA 1 In un rombo: Le diagonali sono perpendicolari Le diagonali sono bisettrici degli angoli TEOREMA 2 Se in un parallelogramma è verificata una di queste condizioni: Due lati consecutivi sono congruenti Una diagonale è bisettrice di un angolo Allora il parallelogramma è un rombo

Il rombo con Cabri A questo punto si suppone una certa competenza nell’utilizzo di Cabri e si danno perciò solo indicazioni. DISEGNO DI UN ROMBO Disegno un segmento AB Con lo strumento compasso presente nell’icona Costruzioni traccio un arco di centro B ed ampiezza AB Traccio un segmento BC consecutivo AB in modo che C appartenga alla circonferenza tracciata con il compasso. Traccio rette parallele ai due segmenti e definisco i lati del parallelogramma VERIFICA TEOREMA 1 CON CABRI traccio i segmenti che vanno da un vertice all’altro (diagonali) Verifico la loro perpendicolarità utilizzando l’icona Proprietà e selezionando la dicitura Perpendicolare? Misuro gli angoli che formano le diagonali con i lati e verifico se le diagonali sono anche bisettrici

PARALLELOGRAMMA PARTICOLARE IL RETTANGOLO Definizione: un rettangolo è un parallelogramma con gli angoli congruenti Siccome la somma degli angoli interni di un quadrilatero è due angoli piatti, ne deriva che ogni angolo interno di un rettangolo è retto. Per dimostrare che un parallelogramma è un rettangolo basta dimostrare che il parallelogramma ha un angolo retto. TEOREMA 1 In un rettangolo, le diagonali sono congruenti TEOREMA 2 Se un parallelogramma ha le diagonali congruenti, allora esso è un rettangolo

Disegno un rettangolo con Cabri: Traccio due rette parallele Traccio una retta perpendicolare alle due parallele Traccio una retta parallela alla perpendicolare appena disegnata Determino i 4 punti di intersezione che indico con A,B,C,D Dimostrazione del teorema 1 con Cabri Disegno il rettangolo Traccio le due diagonali utilizzandolo strumento segmento Misuro le lunghezze delle due diagonali Dimostrazione del teorema 2 con Cabri Disegno un parallelogramma come in precedenza spiegato Traccio le due diagonali Le misuro Sposto un vertice del parallelogramma fino ad avere la stessa misura per le diagonali Misuro un angolo del nuovo parallelogramma e vedo che è 90°

PARALLELOGRAMMA PARTICOLARE IL QUADRATO Definizione: un quadrilatero (parallelogramma) con i lati congruenti e gli angoli congruenti. Da tale definizione deduciamo che un quadrato è un rombo (perché ha i lati congruenti) ed è un rettangolo(perché ha angoli congruenti, perciò retti). TEOREMA 1. In un quadrato: Le diagonali sono perpendicolari Le diagonali sono bisettrici degli angoli Le diagonali sono congruenti TEOREMA 2. Se un parallelogramma ha una di queste due proprietà: Le diagonali congruenti e perpendicolari Le diagonali congruenti e una di esse è bisettrice di un angolo del parallelogramma Allora tale parallelogramma è un quadrato.

DISEGNO IL QUADRATO CON CABRI Traccio un segmento AB Con lo strumento compasso traccio una circonferenza di centro B e raggio AB Determino la retta per B perpendicolare ad AB Il punto di intersezione di tale retta con la crf mi da il punto C Disegno la retta per C parallela AB Traccio la retta per A perpendicolare AB: il punto di intersezione è D TEOREMA 1 Traccio le diagonali e verifico che: Sono perpendicolari Sono bisettrici degli angoli del quadrato Sono congruenti Il teorema2 viene dimostrato tramite dimostrazione in classe. Seguono anche esercizi dal libro di testo