INTRODUZIONE … La geometria euclidea è quanto di più naturale si possa pensare, poiché corrisponde essenzialmente all'intuizione che abbiamo dello spazio fisico che ci circonda. Per moltissimi secoli gli Elementi di Euclide sono stati l'esposizione matematica di questa intuizione. Naturalmente, come ogni teoria che si rispetti, la geometria euclidea ha i suoi punti di partenza, i cosiddetti assiomi o postulati, dai quali si deducono poi tutte le proposizioni della teoria,dalle più evidenti a quelle meno evidenti. Euclide sceglie questi postulati in virtù della loro evidenza. Sono cioè affermazioni sulle quali possiamo essere tutti d'accordo, e che non richiedono ulteriore spiegazione. Troviamo così i concetti di punto, retta, retta tra due punti, ecc...Tuttavia, nel sistema di Euclide c'è un postulato che ha sempre lasciato l'amaro in bocca ai matematici che studiavano la geometria. Si tratta del V postulato che, così recita:

‘’Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due angoli retti. ‘’

… ALLE GEOMETRIE NON EUCLIDEE La difficoltà in questo enunciato è che stiamo affermando qualcosa sul comportamento delle rette all'infinito. Come possiamo davvero essere sicuri che non si incontreranno mai? Molto probabilmente, anche Euclide non doveva essere molto contento del suo postulato, visto che negli Elementi dimostra dapprima ben 28 proposizioni senza ricorrere ad esso. Naturalmente, nessuno dubitava della veridicità del postulato. La questione che si poneva era dunque questa: si può dimostrare il V postulato a partire dagli altri quattro? Per secoli i matematici hanno tentato una tale dimostrazione, tuttavia si trovava sempre che erano sbagliate, Una strada diversa fu intrapresa dal gesuita italiano Gerolamo Saccheri (1667-1733), che tentò una riduzione all'assurdo. Saccheri era convinto che l'enunciato fosse vero e che potesse essere dedotto dai precedenti: in effetti nella sua dimostrazione trovò un risultato che gli sembrava assurdo, ma che non era in contraddizione logica con i precedenti postulati bensì era contrario alle definizioni di punto retta e fondamentali. Saccheri era convinto di aver dimostrato il quinto postulato, ma in realtà aveva gettato le basi per due tipi di geometrie non euclidee: queste geometrie saranno poi definite geometria iperbolica e geometria ellittica. La geometria iperbolica afferma che: Data una retta e un punto disgiunto da , esistono almeno due rette distinte passanti per e parallele a . La geometria ellittica è una geometria ottenuta modificando il V postulato in direzione opposta.

La Geometria Ellittica La geometria ellittica è una geometria che ammette che per un punto non passi alcuna parallela ad una retta data e venne per la prima volta formulata dal matematico tedesco Riemann.

La storia di Riemann A Luneburgo diventò amico del suo istruttore, Schmalfuss. Questi, si rese conto del genio matematico di Riemann, che ebbe libero accesso alla sua biblioteca riservata dove poté esplorare la matematica più complessa leggendo i libri del grande Gauss. Lasciata Lüneburg Riemann, dopo un anno passato all'università di Göttinga, nel 1847 si trasferì a Berlino. Qui fu in contatto con alcuni tra i matematici tedeschi più in vista dell'epoca, e fu allievo tra l'altro di Carl Gustav Jakob Jacobi e di Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Ritornò a Göttinga per rifinire il suo lavoro di laurea nel 1849. La sua prima tesi risale al 1851 e riguarda una nuova teoria sulle funzioni di variabile complessa, ramo della matematica nascente in quel periodo che grazie al suo contributo ricevette un notevole impulso. La sua opera senz'altro più famosa fu un saggio di una decina di pagine pubblicato nel 1859 sulle note dell'Accademia delle scienze prussiana, l'unico che Riemann scrisse sulla teoria dei numeri. In esso era sepolta tra l'altro quella che è oggi nota come l'Ipotesi di Riemann. Riemann soffriva di una forma acuta di tubercolosi a causa della quale morì nel 20 luglio del 1866.

Dimostrazione del quarto postulato di Riemann Due rette qualsiasi di un piano hanno sempre almeno un punto in comune. Questo è spiegabile pensando di rappresentare due rette non su un piano lineare, come nella geometria euclidea, ma in un piano sferico, considerando che, vivendo su una sfera, nessuna linea è completamente “dritta”, ma ha una leggera inclinatura naturale. Per capire questo concetto è sufficiente porre un foglio sopra ad un pallone e notare che disegnando una qualsiasi linea (anche cercando di farla più dritta possibile) questa, togliendo il foglio dal pallone, risulterà inevitabilmente tondeggiante. Questo dimostra che la geometria euclidea è astratta e non utilizzabile nella natura mentre la geometria ellittica è più concreta. a A b

retta è una circonferenza massima di S. Un modello di geometria ellittica si può costruire considerando la superficie sferica: Precisiamo prima i concetti di punto e retta:    punto è una coppia di punti di S (piano sferico) diametralmente opposti;    retta è una circonferenza massima di S. In questo modello il piano è la superficie sferica σ, i punti sono i punti d σ. Ovviamente in questo modello non esistono "rette" parallele poiché tutte le circonferenze massime si intersecano. Il triangolo ABC in figura è formato dalle "rette" a, b, c e giace sulla superficie sferica. Su tale superficie inoltre si possono effettuare movimenti rigidi, corrispondenti alle isometrie del piano euclideo.

  Ci sono tuttavia importanti differenze rispetto alla geometria euclidea: la somma degli angoli interni di un triangolo sferico è sempre maggiore di 1 angolo piatto e minore di 3 angoli piatti; tutte le perpendicolari ad una "retta" passano per una stessa coppia di punti diametralmente opposti; le "rette" della geometria sferica hanno lunghezza 2πr , mentre quelle della geometria euclidea sono infinite; sulla superficie sferica non esistono triangoli simili, infatti se gli angoli sono congruenti necessariamente sono congruenti i lati opposti e quindi i triangoli. Dalla figura si nota che il punto A é una coppia di punti opposti

I postulati di Euclide Per comprendere i principi basilari sui quali si fonda la geometria ellittica è necessario considerare i cinque postulati di Euclide e la concezione di quest'ultimo relativa ai punti e alle rette. Per quanto riguarda i cinque postulati, essi sono i seguenti: Da ogni punto ad ogni altro punto è possibile condurre una linea retta; Un segmento di linea retta può essere indefinitamente prolungato in linea retta; Attorno ad un centro scelto a piacere è possibile tracciare una circonferenza con raggio qualsiasi; Tutti gli angoli retti sono uguali;   In un piano, per un punto esterno ad una retta, si può condurre una e una sola parallela alla retta data.

Confutazione del 5° postulato Effettuiamo, in primo luogo, qualche precisazione relativamente ai postulati primo e quarto: il primo, sostanzialmente, significa che per due punti passa un'unica retta; del resto, il secondo presuppone che si tenga presente della definizione di angolo retto secondo Euclide: se una retta r innalzata da un'altra retta s forma con essa angoli adiacenti congruenti fra loro, ciascuno dei due angoli è retto. Alla luce di tale definizione e del quarto postulato, è possibile rilevare la concezione euclidea di un piano uniforme, all'interno del quale la traslazione di un angolo retto lo mantiene tale. In secondo luogo, è indispensabile precisare il fatto che Euclide non abbia mai definito esplicitamente i concetti di punto e retta, associandoli ai punti e alle rette del mondo reale. Nel XIX secolo, Riemann giunse ad accettare altri significati relativi ai concetti di punto e retta e a negare il quinto postulato, dando vita ad un nuovo modello di geometria, ovvero la geometria ellittica; essa si basa sulla visualizzazione di punti e rette su un piano sferico: un ‘punto’ sarà costituito da due punti diametralmente opposti sulla sfera; una ‘retta’ sarà un cerchio massimo sulla sfera (dunque, una "retta" è una linea finita e chiusa); non esisteranno, di conseguenza, due ‘rette’ parallele.

Somma degli angoli interni di un triangolo sferico Dalla relazione precedente subito discende che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre maggiore di π: Infine, deve essere modificato il secondo postulato, da cui Euclide faceva discendere l'infinita lunghezza di una retta: ogni segmento del piano sferico può effettivamente essere prolungato in una retta; le rette, tuttavia, sono linee chiuse, per cui un punto P può muoversi indefinitamente su di esse, ma è destinato a riassumere le stesse posizioni. Le rette euclidee sono infinite mentre quelle ellittiche hanno lunghezza finita.

Spiegazioni e conclusioni Per analizzare questo concetto, dovremmo prima confrontare il triangolo sferico appartenete alla geometria ellittica, a quello euclideo. Riportiamo qui a fianco un esempio: Consideriamo adesso il triangolo euclideo, che è quello in bianco; se supponiamo che la misura dell’angolo  sia 45°, e successivamente prolunghiamo i segmenti AB e AC , la misura dell’angolo sarà la stessa per qualsiasi punto scelto sul piano, mentre invece se prolunghiamo i lati AB e AC però considerando, questa volta, il triangolo sferico, notiamo che la misura dell’angolo sarà diversa a seconda dei punti scelti sul piano.   Detto ciò, sapendo che la misura di un angolo è da considerare per tutta l’estensione del piano, possiamo quindi affermare con certezza che la misura degli angoli interni di un triangolo sferico è sempre maggiore di π, che corrisponde a 180°. A B

Teoremi della Geometria Ellittica La circonferenza La circonferenza è definita come il luogo dei punti equidistanti da un punto dato detto centro. Si dimostra che una circonferenza può anche essere definita come il luogo dei punti equidistanti da una retta data. Area di un Triangolo Dato un triangolo sferico costruito su una sfera di raggio R di angoli α,β,γ, l'area A del triangolo è: A = R2(α + β + γ − π). Criteri di congruenza tra triangoli Sono uguali due triangoli sferici che abbiano ordinatamente uguali: due lati e l'angolo compreso; due angoli e il lato comune i tre lati; i tre angoli. Teorema di Pitagora Se ABC è un triangolo sferico retto in A e con ipotenusa a, e con b e c le lunghezze dei suoi lati, allora il coseno dell’ipotenusa è uguale al prodotto dei coseni dei cateti: cos(a ) = cos(b )cos(c ). Facendo lo sviluppo in serie al secondo ordine delle funzioni trigonometriche, si ottiene l'espressione universalmente nota del Teorema di Pitagora in geometria euclidea: a2 = b2 + c2

Assiomi e teoremi Assiomi Per ogni coppia di punti distinti passa sempre almeno una retta. Per ogni coppia di punti distinti passa una retta sola. Ci sono almeno tre punti che non giacciono su una retta. Tre punti non allineati sono contenuti in almeno un piano Tre punti non allineati sono contenuti in un piano solo Se due punti contenuti in una retta r stanno in un piano p, allora p contiene ogni punto di r. Se due piani contengono lo stesso punto, allora esiste almeno un altro punto contenuto in entrambi. Teoremi Una retta ed un piano hanno sempre un punto in comune Due piani hanno sempre una retta in comune Tutte le rette perpendicolari ad un piano si incontrano in un punto posto a distanza d da esso. Il luogo dei punti a distanza d da un punto P è un piano che è perpendicolare a tutte le rette passanti per P. Tale piano è detto piano polare di P e P è detto polo. Se il punto P sta sul piano a, il polo di a sta sul piano polare di P. La trigonometria sferica nello spazio ellittico, se si adottano opportune convenzioni sulla misura dei lati e degli angoli dei triangoli sferici, coincide con la trigonometria sferica euclidea ed iperbolica. Cioè la trigonometria sferica appartiene al corpo della geometria assoluta.

Considerazioni finali Geometria euclidea Geometria ellittica Concezione del piano Superficie piana uniforme Piano sferico (S) Definizione di punto Definizione non fornita; concezione associata ai punti del mondo reale. Coppia di punti di S diametralmente opposti Definizione di retta Insieme infinito di punti, il quale non ha inizio ne fine. Circonferenza massima di S avente, quindi, lunghezza finita. Rette parallele La retta parallela ad una retta data, passante per un punto esterno ad essa, è unica. Non esistono rette parallele. Due rette hanno sempre un punto in comune. Triangoli La somma degli angoli interni è 180° La somma degli angoli interni è maggiore di 180°