GEOMETRIA IPERBOLICA

COS’ È LA GEOMETRIA IPERBOLICA? Il 5° postulato (delle rette parallele) appariva diverso dagli altri, e da molti non veniva riconosciuto perché era dimostrabile solo in un piano illimitato, quindi non in tutte le condizioni. Lo stesso Euclide lo utilizza per dimostrare uno solo dei suoi teoremi, come se anche lui non fosse totalmente sicuro della sua veridicità. La geometria iperbolica è una geometria non euclidea ottenuta rimpiazzando il postulato delle parallele, non ritenuto accettabile, con il cosiddetto postulato iperbolico

BREVI CENNI STORICI Dopo che si era sempre cercato di dimostrare la validità del 5° postulato di Euclide, all'inizio del XIX secolo, Gauss cominciò a pensare di costruire una geometria che non ritenesse valido il quinto postulato di Euclide, ma non pubblicò mai i risultati dei suoi studi raggiunti per evitare di andare contro chi non la pensasse come lui (i seguaci di Kant). Su questa idea lavorarono anche, indipendentemente l'uno Carl Friedrich Gauss

Nikolaj Ivanovič Lobačevskij dall'altro, l'ungherese Bolyai, che nel 1829 ne scoprì l’ esistenza e nel 1832 ne pubblico i risultati, e il matematico russo Lobacewskji che costruirono una geometria basata sulla considerazione che, data una retta r ed un punto P fuori di essa, esistesse più di una parallela a r; a questa geometria fu dato il nome di geometria iperbolica. János Bolyai Nikolaj Ivanovič Lobačevskij

LE PARALLELE NELLA GEOMETRIA IPERBOLICA Nella geometria euclidea si afferma che: Data una retta r ed un punto P, esiste un'unica retta parallela a r passante per P. Nella geometria iperbolica invece: Data una retta r e un punto P disgiunto da r, esistono almeno due rette distinte passanti per P e parallele a r.

Quindi i 5 assiomi della geometria iperbolica sono: Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta. Si può prolungare una retta oltre i due punti indefinitamente. Dato un punto e una lunghezza, è possibile descrivere un cerchio. Tutti gli angoli retti sono congruenti. Data una retta r e un punto P disgiunto da r, esistono almeno due rette distinte passanti per P e parallele a r.

La geometria iperbolica si dimostra attraverso alcuni modelli Un modello è uno spazio, comprendente le nozioni di punto, retta e angolo, su cui valgono i 5 assiomi della geometria iperbolica.

I modelli iperbolici sono: Modello del Disco Modello di Klein Modello dell’ Iperboloide Modello di Beltrami Modello del Semipiano

MODELLO DEL DISCO Data una retta (qui in blu scuro) ed un punto disgiunti, esistono almeno due rette passanti per il punto che non incrociano la retta. In verità ce ne sono infinite: qui ne sono disegnate tre.

MODELLO DI KLEIN Nel modello di Klein con punto si intende un punto interno alla circonferenza, con retta si intende una corda del cerchio con estremi esclusi, con piano si intende l'insieme dei punti interni alla circonferenza. Le due rette PA e PB  sono parallele ad AB, infatti i punti A e B non appartengono al piano dell'ellisse perchè appartengono al bordo e quindi non sono considerati, quindi PA e PB non hanno alcuna intersezione con AB e, per la definizione di rette parallele, sono entrambe parallele ad AB. PA e PB sono le due rette che segnano il limite tra le rette parallele ad AB e quelle che intersecano AB stesso, perciò vi sono infinite rette passanti per P e parallele ad AB.

MODELLO DELL'IPERBOLOIDE Nel modello dell'iperboloide lo spazio iperbolico è descritto con l'ausilio dell'algebra lineare. Lo spazio iperbolico è un iperboloide contenuto nello spazio tridimensionale, e le rette sono le intersezioni dell'iperboloide con un piano passante per il centro dell'iperboloide.

MODELLO DI BELTRAMI Il modello di Beltrami è stato il primo modello proposto per le gometrie non euclidee. La curva fondamentale è la trattrice (3), definita come il luogo dei punti del piano tali che i segmenti di tangente compresi tra essa e una retta hanno lunghezza costante. (3)

La superficie ottenuta ruotando la curva, prende il nome di pseudosfera (4). I punti sono i punti che stanno sulla superficie della pseudosfera e per retta passante per due punti si intende la linea di minima distanza congiungente i due punti; si può ben osservare che per un punto esterno ad una retta passano più rette che non la incontrano. (4)

MODELLO DEL SEMIPIANO Il modello del semipiano è simile al modello del disco. Lo spazio iperbolico è il semipiano del piano cartesiano formato dal I e dal II quadrante: l'asse delle ascisse non è inclusa. Le "rette" sono archi di circonferenza ortogonali all'asse delle ascisse. Gli angoli sono quelli formati dalle rette tangenti.

PROPIETA’ Parallelismo Sia B il punto di l più vicino a P, il segmento PB è perpendicolare a l. Ogni retta passante per P è identificata dall’ angolo θ che forma con PB. Se due rette x e y sono parallele a l, queste formano angoli diversi θ1 e θ2: ogni altra retta compresa fra θ1 e θ2 è parallela a l.

Le rette iperboliche possono essere: Asintoticamente parallele se si incontrano solo all’infinito. Ultraparallele se sono parallele e divergo all’ infinito.

I Poligoni Come nella geometria euclidea, un segmento è una porzione di retta delimitata da due punti (i suoi estremi), ed un poligono è una figura delimitata da una successione di segmenti, tale che due segmenti successivi si intersecano agli estremi. Le relazioni fra lunghezze dei lati e angoli interni in geometria iperbolica sono però ben diverse da quelle presenti nella geometria euclidea. Ad esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo iperbolico è strettamente minore di 180°.

Il Quadrato Un quadrato è un poligono con 4 lati di eguale lunghezza e 4 angoli uguali α. Nella geometria euclidea α deve essere un angolo retto. In quella iperbolica, può essere un qualsiasi angolo acuto.

Perciò facendo un piccolo confronto geometria eclidea geometria iperbolica Per un punto passa una ed una sola retta parallela ad una retta data Per un punto passano due rette parallele ad una retta data e infinite rette ultraparallele La somma degli angoli di un triangolo è 180 gradi La somma degli angoli di un triangolo è minore di 180 gradi Due rette parallele sono sempre equidistanti Due rette parallele non sono equidistanti; esse si avvicinano l’una all’altra in una direzione e divergono nell’altra. Due rette perpendicolari ad una stessa retta sono parallele Due retta perpendicolari ad una stessa retta sono ultraparallele Esistono rettangoli Non esistono rettangoli Due rette parallele hanno infinite perpendicolari comuni Due rette parallele o incidenti non hanno alcuna perpendicolare in comune; due rette ultraparallele hanno una unica perpendicolare comune. Vale il teorema di Pitagora: la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo è uguale all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa Il teorema di Pitagora non vale ma si avvicina al vero col tendere a zero dell’area del triangolo Gli angoli interni di un quadrato sono di 90 gradi Gli angoli interni di un quadrato possono essere un qualsiasi angolo acuto

Fine