ROOT Tutorial Parte 3

Generatori di numeri casuali In ROOT numeri pseudo - casuali sono generati usando le classi TRandom. Esistono 4 differenti classi (TRandom, TRandom1, TRandom2 e TRandom3), ciascuna delle quali implementa un differente tipo di generatore di numeri casuali. Il metodo SetSeed permette di scegliere il seme. gRandom->SetSeed(Int_t seed); Se non specificato, il seme è stabilito dal clock del PC Esempio: distribuzione uniforme void randomUni(){ Double_t x, y; TH2D *h2 = new TH2D(“h2”,”Uniform Distribution”, 100,0,10,100,0,10); for(Int_t i=0; i < 100000; i++){ x = gRandom->Uniform(0,10); y = gRandom->Uniform(0,10); h2->Fill(x,y); } gStyle->SetPalette(1); h2->Draw(“colz”);

Distribuzioni non uniformi Tre possibilità (vedi lezione MC prof. Riggi): Distribuzione uniforme con eventi pesati Metodo dell’inversione Metodo del rigetto Esempio: distribuzione eventi secondo sin Proviamo: Metodo dell’inversione Metodo del rigetto

Metodo dell’inversione Problema: Estrarre una sequenza di numeri casuali distribuiti secondo la funzione f(x) = sin(x) Data la funzione di probabilità f(x), la funzione integrale (cumulativa) F(t) è data da: F(t) = ∫f(t)dt = ∫sin(t)dt = -cos(t) Se la funzione integrale è invertibile, si può generare la sequenza di numeri casuali x, distribuiti secondo f(x), partendo da un numero casuale u (distribuito tra -1 e 1) e calcolando x da: x = F-1 (u) = - arccos(u) (se  < x < 2) Oppure x = F-1 (u) = arccos(u) (se 0 < x < )

Metodo dell’inversione void inversion() { Int_t nev = 1000000; //sin(theta) distribution TH1D *h1 = new TH1D("h1","sin(theta) distribution", 100,0,TMath::Pi()); TStopwatch t; t.Start(); Double_t ux; for(Int_t n = 0; n < nev; n++) { ux = TMath::ACos(gRandom->Uniform(-1,1)); h1->Fill(ux); } t.Stop(); t.Print("m"); h1->Draw();

Metodo del rigetto Problema: Estrarre una sequenza di numeri casuali distribuiti secondo la funzione f(x) = sin(x) nell’intervallo (0, ) Metodo: Generare ux uniforme in (0, ) Generare uy uniforme in (0,fmax) dove fmax = 1 Valutare f(ux) Confrontare uy con f(ux) Se uy < f(ux) accettare ux Se uy > f(ux) ripetere da a. in poi

Metodo del rigetto void rejection(){ Int_t nev = 1000000; Int_t n=0; //sin(theta) distribution TH1D *h1 = new TH1D("h1","sin(theta) distribution", 100,0,TMath::Pi()); TStopwatch t; t.Start(); Double_t ux; // between 0 and Pi/2 Double_t f_ux; Double_t uy; // between -1 and 1 do { ux = gRandom->Uniform(0, TMath::Pi()); f_ux = TMath::Sin(ux); uy = gRandom->Uniform(0, 1); if(uy > f_ux) continue; //rejection n++; h1->Fill(ux); } while (n < nev); t.Stop(); t.Print("m"); h1->Draw();

Distribuzione non uniformi disponibili in ROOT

Esercizio: simulazione MC per valutare la distanza relativa tra due contatori geiger Ipotesi: 1) Contatori Geiger bidimensionali r = 0.5 Geiger radius in cm l = 6 Geiger length in cm 2) Distanza nominale d = 5 cm 3) Estrazione uniforme dei punti Possibili miglioramenti: 1) Contatori Geiger in 3D DA VERIFICARE!

void geigerMC(){ Double_t x1, y1, x2, y2; //Define the experimental setup const int d = 5; // Distance between geigers Double_t r = 0.5; // Geiger radius in cm Double_t l = 6; // Geiger length in cm Double_t distance; TH1D *h1 = new TH1D("h1","Distances distribution", 100,0,10); TH2D *h2 = new TH2D("h2","Points distribution", 150, -5, 10, 100, -5, 5); for(Int_t i=0; i < 100000; i++){ x1 = gRandom->Uniform(-r,r); y1 = gRandom->Uniform(-l/2,l/2); x2 = gRandom->Uniform(d-r,d+r); y2 = gRandom->Uniform(-l/2,l/2); h2->Fill(x1,y1); h2->Fill(x2,y2); distance = TMath::Sqrt((x1-x2)**2+(y1-y2)**2); h1->Fill(distance); } TCanvas *c1 = new TCanvas(); h2->Draw("colz"); TCanvas *c2 = new TCanvas(); h1->Draw();

5 cm

3 cm 15 cm

Esempio: distribuzione uniforme in x, gaussiana in y void randomGaus(){ Double_t x, y; TH2D *h2 = new TH2D(“h2”,”Uniform Distribution”, 100,0,10,100,0,10); for(Int_t i=0; i < 100000; i++){ x = gRandom->Uniform(0,10); y = gRandom->Gaus(5,1); h2->Fill(x,y); } gStyle->SetPalette(1); h2->Draw(); h2->Draw(“colz”); h2->Draw(“lego”);

Esempio: distribuzione uniforme nello spazio Estrazione uniforme (,)? void sfera(){ Int_t raggio=1; Double_t teta, phi; TH3D *hsemisfera = new TH3D("hsemisfera","hsemisfera",200,-1,1,200,-1,1,100,0,1); for(Int_t i=0; i<10000; i++){ teta = gRandom->Uniform(0,TMath::Pi()/2); //semisfera // teta = gRandom->Uniform(0,TMath::Pi()); // sfera phi = gRandom->Uniform(0,2*TMath::Pi()); Double_t x = raggio * TMath::Cos(phi)*TMath::Sin(teta); Double_t y = raggio * TMath::Sin(phi)*TMath::Sin(teta); Double_t z = raggio * TMath::Cos(teta); hsemisfera->Fill(x,y,z); } hsemisfera->Draw();

Estrazione uniforme in  e in sin() void sfera2(){ Int_t raggio=1; Double_t teta, phi; TH3D *hsemisfera = new TH3D("hsemisfera","hsemisfera",200,-1,1,200,-1,1,100,0,1); for(Int_t i=0; i<10000; i++){ teta = TMath::ACos(gRandom->Uniform(0,1)); //Semisfera //teta = TMath::ACos(-1 + 2*gRandom->Uniform(0,1)); //Sfera phi = gRandom->Uniform(0,2*TMath::Pi()); Double_t x = raggio * TMath::Cos(phi)*TMath::Sin(teta); Double_t y = raggio * TMath::Sin(phi)*TMath::Sin(teta); Double_t z = raggio * TMath::Cos(teta); hsemisfera->Fill(x,y,z); } hsemisfera->Draw();

Estrarre numeri casuali secondo una distribuzione f(x) nota TF1 *f = new TF1(“f”,”TMath::Gaus(x,0,1)”,-5,5); TH1D *h1 = new TH1D("h1","",100,-5,5); for(int i=0; i<1000; i++) h1->Fill(f->GetRandom()); h1->Draw();

TFile f(“esempio.root","recreate"); h0->Write(); f.Close(); ROOT Files Si tratta di file salvati in un formato leggibile da ROOT. Può contenere vari tipi di oggetti. Esempio: TFile f(“esempio.root","recreate"); h0->Write(); f.Close(); Per creare un file ROOT e salvare un istogramma Opzioni: NEW, CREATE, RECREATE, UPDATE, READ TFile f("demo.root"); TBrowser browser; Per aprire un file ROOT e vederne il contenuto