DEFINIZIONE DI LIMITE Il concetto di limite esprime, attraverso un complesso formalismo matematico, una forte relazione tra due ambienti, dominio e codominio, che sono messi in comunicazione tra loro da una qualunque funzione reale di variabile reale. La scrittura sta a significare, a grandi linee, che punti vicini ad l provengono da punti prossimi ad x 0. Dobbiamo cercare, quindi, di esprimere i concetti di vicinanza e prossimità Dobbiamo cercare, quindi, di esprimere i concetti di vicinanza e prossimità in maniera oggettiva, liberi da ambiguità. É noto che il concetto di vicinanza in maniera oggettiva, liberi da ambiguità. É noto che il concetto di vicinanza nel linguaggio comune è relativo al contesto; ad esempio, linsegnante e gli nel linguaggio comune è relativo al contesto; ad esempio, linsegnante e gli studenti allinterno della stessa aula sono abbastanza vicini per parlare, ma studenti allinterno della stessa aula sono abbastanza vicini per parlare, ma non abbastanza per stringersi la mano; ancora, la distanza di un metro per un non abbastanza per stringersi la mano; ancora, la distanza di un metro per un astronomo è trascurabile, mentre per un biologo, abituato a spazi intermolecolari astronomo è trascurabile, mentre per un biologo, abituato a spazi intermolecolari microscopici,è una distanza, manco a dirlo, astronomica. Concludendo, microscopici,è una distanza, manco a dirlo, astronomica. Concludendo, due oggetti alla distanza di un metro sono vicini o lontani? due oggetti alla distanza di un metro sono vicini o lontani?

I(x 0 ) x0x0 J(l) l f DominioCodominio Orbene, in matematica, per ovviare a tale ambiguità, si intendono vicini i punti appartenenti ad uno stesso intorno. Da ciò si evince che nella definizione di limite saranno messi in comunicazione intorni di l con intorni di x 0.

Bisogna ancora fare chiarezza su almeno due punti: 1. quanti intorni di l posso mettere in comunicazione con intorni di x 0 ? 2. qual è la tipologia della comunicazione tra J(l) e I(x 0 )? La definizione di limite afferma che la determinazione dell intorno di x 0 in corrispondenza di un intorno di l non è sottoposta ad alcuna limitazione, ovvero qualunque sia la scelta di J(l) è sempre possibile determinare almeno un I(x 0 ) Fig. 1Fig. 2

Riguardo al punto 2 cè da capire che qualunque punto x si scelga in I(x 0 ), distinto da x 0, la sua immagine f(x) appartiene proprio a quellintorno J(l) che abbiamo scelto in maniera arbitraria

Da quanto detto possiamo riassumere che: ogni volta che scegliamo in maniera arbitraria un intorno di l è sempre possibile trovare almeno un intorno di x 0 tale che per ogni punto x appartenente allintorno di x 0 trovato, distinto da x 0 la sua immagine f(x) appartiene allintorno di l che abbiamo scelto allinizio

ovvero