Equazioni e disequazioni irrazionali Equazioni e disequazioni modulari Equazioni e disequazioni logaritmiche e esponenziali Equazioni e disequazioni goniometriche

Equazioni irrazionali n√ A(x) = B(x) ↔ A(x) = [B(x)]n (n dispari) A(X) ≥ 0 n√ A(x) = B(x) ↔ B(x) ≥ 0 ( n pari) A(x) = [B(x)]n

Risolvi

Risolvi Soluzione x=3

Disequazioni irrazionali se n è dispari n√ A(x) < B(x) ↔ A(x) < [B(x)]n n√ A(x) > B(x) ↔ A(x) > [B(x)]n se n è pari ( n = 2) A(x) ≥ 0 √ A(x) < B(x) ↔ B(x) > 0 A(x) < [B(x)]2 √ A(x) > B(x) ↔ A(x) ≥ 0 V B(x) ≥ 0 B(x) < 0 A(x) > [B(x)]2

ESEMPI 3 ≤ x < 4

Esempi

Valore assoluto di una variabile se x≥0 se x<0

Risoluzione equazioni modulari Per risolvere un’equazione che contiene il valore assoluto della variabile, o di una espressione con la variabile, si deve eliminare il valore assoluto, tenendo presente il segno dell’espressione in esso contenuta.

Esempi Andiamo a studiare l’argomento del modulo X = 1

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Equazioni esponenziali Un’equazione si dice esponenziale quando la variabile compare all’esponente ax = b con a > 0 2 ∙ 5x – 1 = 0 è esponenziale 2x ∙52 – 1 = 0 non è esponenziale

Come possono essere Come si risolvono ax = b con a > 0 determinata a, b Є R e a ≠ 1 ax = b è indeterminata a = b = 1 impossibile se b ≤ 0, a =1 e b ≠ 1 Si cerca di scrivere a e b come potenze aventi la stessa base per poi poter eguagliare gli esponenti Ad esempio: 25x = 125 52x=53 2x=3 x=3/2 Come si risolvono

Questo non sempre è possibile come nel caso dell’equazione 6∙3x-32-x=15 In questo caso conviene introdurre una incognita ausiliaria ed applicare le proprietà delle potenze in modo da ottenere

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LE DISEQUAZIONI ESPONENZIALI Se a > 1, t > z ↔ at > az Se 0 < a < 1, t > z ↔ at < az Ad esempio si ha 32x > 128 25x>27 5x>7 x>7/5

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LE EQUAZIONI LOGARITMICHE Un’equazione si dice logaritmica quando l’incognita compare nell’argomento di almeno un logaritmo Ad esempio log(x-7) = 1

Come si risolvono Risolvere un’equazione del tipo loga A(x) = loga B(x) Equivale a risolvere il seguente sistema A(x)>0 condizione di esistenza B(x)>0 condizione di esistenza A(x)=B(x) uguaglianza argomenti

Ad esempio log x + log (x + 3) = log 2 + log (2x + 3) Imponendo le condizioni di esistenza x>0 x+3>0 2x+3>0 Applicando le proprietà dei logaritmi log x(x+3)=log 2(2x+3) ottengo x>0 x2+3x=4x+6 x1 = - 2 N.A. x2 = 3 acc.

Oppure possiamo aver bisogno di introdurre una incognita ausiliaria come nel caso ( log 3 x ) 2 – 2 log 3 x – 3 = 0 ponendo log 3 x = t ed x>0 Si ottiene t2 - 2t – 3 = 0 da cui t1 = -1 e t2 = 3 Da cui t1 = -1 x1 = 1/3 t2 = 3 x2 = 27

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LE DISEQUAZIONI LOGARITMICHE loga A(x) < loga B(x) equivale a risolvere il seguente sistema A(x)>0 condizione di esistenza B(x)>0 condizione di esistenza A(x)<B(x) se a>1 A(x)<B(x) se a<1 disequazione

Ad esempio log5 ( x – 1) < 2 che equivale log5 ( x – 1) < log5 25 Da cui x – 1 > 0 x – 1 < 25 log1/3 ( x – 4 ) > log1/3 5x da cui x – 4 > 0 x - 4 < 5x 1 < x < 26 x > 4

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LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE Un’equazione si dice goniometrica se contiene almeno una funzione goniometrica dell’incognita. Ad esempio 2∙cos(x) = 1 Mentre 2∙cos(π/4) = 1 non è un’equazione goniometrica perché non contiene funzioni goniometriche dell’incognita x

LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI determinata se -1 ≤ a ≤ 1 sen x = a impossibile se a < -1 v a > 1 sen x = ½ x = π/6 + 2k π e x = π – π/6 + 2k π = 5/6 π + 2k π

determinata se -1 ≤ b ≤ 1 cos x = b impossibile se b < -1 v b > 1 cos x = - √3 / 2 Se β è una soluzione, le sue soluzioni sono: x = β + 2kπ v x = - β + 2kπ

tg x = c L’equazione è determinata per qualunque valore reale di c tg x = √ 3 / 3 Se γ è una soluzione, le sue soluzioni sono: x = γ + kπ

Particolari equazioni goniometriche elementari Ad esempio risolviamo Che fornisce le soluzioni ed anche

sen α = - sen α’ Poiché – senα’ = sen(-α’), si ha senα = sen(-α’) senα = cosα’ Poiché cosα’ = sen(π/2 – α’ ) l’equazione si può scrivere sen α = sen (π/2 – α’ ) sen α = - cos α’ Poichè cos α’ = sen (π/2 – α’ ) l’equazione si può scrivere sen α = - sen (π/2 – α’ ) = sen (- π/2 + α’ )

– cos α’ = cos (π - α’), quindi cos α = cos (π - α’) Ad esempio risolviamo cos α = - cos α’ – cos α’ = cos (π - α’), quindi cos α = cos (π - α’)

Ad esempio risolviamo tg α = - tg α’ Poiché - tg α’ = tg(- α’) l’equazione si può scrivere tg α = tg (- α’ )

Le equazioni lineari in seno e coseno a sen x + b cos x + c = 0 con a, b, c Є R a ≠ 0 e b ≠ 0 METODO ALGEBRICO Se c = 0, a sen x + b cos x = 0 si divide per cos x : a tg x + b = 0 → tg x = - b / a Se c ≠ 0, a sen x + b cos x + c = 0 Si utilizzano le formule parametriche: 2t 1 - t2 sen x = cos x = con t = tg x/2 e x ≠ π/2 + k π 1 + t2 1 + t2 Si ottiene un’equazione del tipo α t2 + β t + γ = 0, riconducibile ad elementare

Esempio

METODO GRAFICO Si risolve il sistema a sen x + b cos x + c = 0 cos 2 x + sen 2 x = 1 Poi si pone cos x = X e sen x = Y si ottiene il sistema algebrico a Y + b X + c = 0 X2 + Y2 = 1 √3 sen x + cos x = 2

LE EQUAZIONI OMOGENEE DI SECONDO GRADO IN SENO E COSENO a sen 2 x + b sen x cos x + c cos 2 x = 0 a = 0 v c = 0 b sen x cos x + c cos 2 x = 0 se a = 0 a sen 2 x + b sen x cos x = 0 se c = 0 cos x (b sen x + c cos x ) = 0 sen x (a sen x + b cos x ) = 0 a ≠ 0 ^ c ≠ 0 Si divide per cos 2 x ottenendo un’equazione di secondo grado in tg x, equivalente alla data. sen 2 x – ( 1 + √3 ) sen x cos x + √3 cos 2 x = 0

Esempio

LE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE soluzione con il metodo grafico utilizzando la circonferenza goniometrica LE DISEQUAZIONI ELEMENTARI Si risolvono risolvendo un sistema misto formato dalla disequazione in cui si è posto cosx=Y o senx=X e dalla circonferenza goniometrica X2+Y2=1

Risolviamo sen x < 1/2 con 0°<x<360° Risolvo il sistema Y<1/2 X2+Y2=1 Ottenendo 0°< x < 30° 150°< x < 360°

LE DISEQUAZIONI NON ELEMENTARI Si possono risolvere per via algebrica introducendo una incognita ausiliaria Come ad esempio nella disequazione √ 2 sen2 x - sen x ≥ 0 Ponendo sex = t si ottiene √2 t2 – t ≥ 0 e diventa una disequazione di secondo grado le cui soluzioni sono t ≤ 0 e t ≥ √2 /2 per cui ottengo le due disequazioni elementari sen x ≤ 0 sen x ≥ √2 /2 Di cui devo prendere entrambe le soluzioni

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Risolvi

Risolvi

Risolvi Risolviamo l’equazione associata Rappresentiamo graficamente gli intervalli soluzione della disequazione con la circonferenza goniometrica

Le soluzioni della disequazione sono: