Definizione e caratteristiche Un sistema è non lineare se almeno una delle sue equazioni è di grado superiore al primo. In particolare: in un sistema di secondo grado tutte le equazioni sono di primo grado tranne una che è di secondo; in un sistema di terzo grado tutte le equazioni sono di primo grado tranne una che è di terzo; Per risolvere un sistema non lineare si applicano i principi di sostituzione e di riduzione. Principio di sostituzione. Se in un sistema si sostituisce ad una incognita la sua espressione ricavata da un’altra equazione, si ottiene un sistema equivalente a quello dato. Principio di riduzione. Se in un sistema si sommano membro a membro le sue equazioni (tutte o solo alcune) e si sostituisce l’equazione ottenuta ad una di esse, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.

Sistemi di due equazioni Se nel sistema è presente un’equazione di primo grado, conviene ricavare l’espressione di una delle incognite da tale equazione e sostituire poi nell’altra. ESEMPIO 1° grado 2° grado Si tratta di un sistema di terzo grado. Ricaviamo una delle incognite dall’equazione di primo grado, ad esempio la y, e sostituiamo il valore ottenuto nell’altra. continua

Sistemi di due equazioni Il polinomio di terzo grado al primo membro della seconda equazione può essere scomposto in fattori mediante la regola di Ruffini, tenendo presente che è P(−1) = 0 4 −33 -28 −4 37 9 −9 −1 −37 Le sue soluzioni sono continua

Sistemi di due equazioni Risostituendo i valori trovati nell’espressione di y otteniamo le tre coppie soluzioni del sistema Quindi

Sistemi di più equazioni Per risolvere un sistema con più di due equazioni si procede in modo analogo cercando di ricavare le variabili dalle equazioni di primo grado se ci sono. Le sostituzioni si eseguono una alla volta. ESEMPIO I passo: ricaviamo z dalla terza equazione e sostituiamola nelle altre due: Svolgiamo i calcoli continua

Sistemi di più equazioni II passo: ricaviamo y dalla seconda equazione e sostituiamola nella prima: Svolgiamo i calcoli Risolviamo la prima equazione: Sostituendo i valori di x e poi di y nelle altre equazioni del sistema troviamo le due terne di soluzioni:

Sistemi simmetrici Si dice simmetrico un sistema di due equazioni nelle due incognite x e y che rimane invariato se x si scambia con y. Se un sistema simmetrico ammette come soluzione la coppia (a, b), allora ammette anche la coppia (b, a). Un sistema simmetrico di secondo grado è sempre riconducibile alla forma dove s e p sono numeri reali. Questo sistema è il modello algebrico di un problema che abbiamo già affrontato nel capitolo relativo alle equazioni di secondo grado: trovare due numeri x e y conoscendo la loro somma s ed il loro prodotto p.

Sistemi simmetrici Applicando il metodo di sostituzione Risoluzione di un sistema simmetrico Utilizzando l’equazione di secondo grado associata

Ricava x dalla prima equazione Sistemi simmetrici ESEMPIO (metodo 1) Ricava x dalla prima equazione e sostituisci Calcola ∨ L’equazione di secondo grado ha soluzioni −1 e 5

∨ Sistemi simmetrici ESEMPIO (metodo 2) Risolvere il sistema significa trovare le coppie di numeri che hanno somma −2 e prodotto −15. Impostiamo allora l’equazione ausiliaria le cui soluzioni sono ∨ Allora le soluzioni del sistema sono le coppie ordinate (x, y) tali che cioè

Sistemi simmetrici Se il sistema simmetrico è di grado superiore al secondo ci si deve ricondurre alla forma canonica del sistema simmetrico di secondo grado. Per far questo può essere utile ricordare le seguenti uguaglianze:

Sistemi simmetrici ESEMPIO Il sistema è simmetrico di terzo grado. Per risolverlo dobbiamo usare la seconda delle uguaglianze ricordate e scriverlo in questo modo: Sostituendo −6 al posto di x + y nella prima equazione, otteniamo il sistema continua

∨ Sistemi simmetrici Risolviamo l’equazione associata Le soluzioni reali del sistema sono le coppie ordinate (x, y) tali che ∨ cioè