Equivalenza Due figure A e B si dicono equiestese o equivalenti se hanno la stessa estensione. In simboli si scrive A B Date due figure A e B la cui intersezione è costituita solo dai punti di una parte del contorno, si dice loro somma la figura F ottenuta come unione dei punti di A con i punti di B. Area è la caratteristica comune a tutte le figure tra loro equivalenti. Quando una superficie C è la somma di due superfici A e B, la superficie B si dice differenza di C e A e si scrive B C – A. 1

Equiscomponibilità Due figure A e B che si ottengono come somma di figure congruenti si dicono equicomposte. Reciprocamente due figure che si possono suddividere in modo che siano formate da parti congruenti si dicono equiscomponibili. Per vedere se due figure sono equivalenti basta andare a ricercare se si possono scomporre in parti a due a due congruenti in modo che, sommando queste parti in modo diverso, da una figura si ottenga l’altra. L’operazione di equiscomposizione di due figure equivalenti non è sempre possibile. ESEMPIO: un quadrato e un cerchio aventi la stessa area non si possono equiscomporre. 2

3 EQUIVALENZA TRA PARALLELOGRAMMI Criteri di equivalenza Teorema. Due parallelogrammi che hanno basi ed altezze ordinatamente congruenti sono equivalenti EQUIVALENZA TRA PARALLELOGRAMMI AB ≅ PQ, DH ≅ SK ABCD PQRS In particolare: un parallelogramma è equivalente ad un rettangolo che ha la base e l’altezza rispettivamente congruenti alla base e all’altezza del parallelogramma. 3

4 EQUIVALENZA TRA PARALLELOGRAMMI E TRIANGOLI CONSEGUENZE: Criteri di equivalenza EQUIVALENZA TRA PARALLELOGRAMMI E TRIANGOLI Teorema. Un parallelogramma è equivalente a un triangolo che ha la base congruente a quella del parallelogramma e altezza doppia. AB ≅ PQ, RK ≅ 2DH ABCD RPQ CONSEGUENZE: un parallelogramma è equivalente a un triangolo che ha la stessa altezza del parallelogramma e base doppia di quella del parallelogramma (in figura sono congruenti i triangoli ADE e DFC) 4

5 Criteri di equivalenza un parallelogramma è equivalente al doppio di un triangolo che ha la stessa base e la stessa altezza del parallelogramma (in figura sono congruenti i triangoli ABC e ACD) due triangoli che hanno basi e altezze congruenti sono equivalenti (sono entrambi equivalenti a uno stesso parallelogramma) 5

6 EQUIVALENZA TRA TRAPEZI E TRIANGOLI Criteri di equivalenza EQUIVALENZA TRA TRAPEZI E TRIANGOLI Teorema. Un trapezio è equivalente a un triangolo che ha per base la somma delle basi del trapezio e per altezza la stessa altezza del trapezio. EQUIVALENZA TRA POLIGONI CIRCOSCRITTI A UNA CIRCONFERENZA E TRIANGOLI Teorema. Ogni poligono circoscritto a una circonferenza è equivalente a un triangolo avente per base il perimetro del poligono e per altezza il raggio della circonferenza. 6

7 Q R Q1 + Q2 Q3 Teoremi di Pitagora e di Euclide In un triangolo rettangolo valgono i seguenti teoremi: I Teorema di Euclide. In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per lati l’ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull’ipotenusa. Q R Teorema di Pitagora. In ogni triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa. Q1 + Q2 Q3 7

8 Teoremi di Pitagora e di Euclide Q R II Teorema di Euclide. In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. Q R 8