Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Sistemi di Supporto alle Decisioni I Lezione 3 Chiara Mocenni Corso di laurea L1 in Ingegneria Gestionale e L2 in Ingegneria Informatica III ciclo

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Funzione di utilità e attitudini al rischio del decisore Nel seguito vedremo come la funzione di utilità, a seconda della sua forma, può tenere conto delle diverse attitudini al rischio del decisore. Assumeremo, per semplicità che le conseguenze possano essere rappresentate da numeri reali e che le preferenze del decisore aumentino allaumentare di tali valori.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Valutazione di una lotteria Data una lotteria L, è possibile associarvi E[L] = U[L] = Valore oggettivo Valore soggettivo

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Equivalente certo di una lotteria Lequivalente certo x c di una lotteria L è quella somma avente utilità pari allutilità attesa della lotteria u(x c ) = U[L]

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Equivalente certo di una lotteria Il decisore è indifferente tra ricevere x c o partecipare alla lotteria L x c rappresenta la minima cifra che il decisore è disposto a ricevere per non partecipare alla lotteria L

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Premio di rischio Data una lotteria L, il premio di rischio p è definito come p = E[L] - x c p può interpretarsi come quella parte del valore atteso E[L] cui si è disposti a rinunciare pur di non partecipare alla lotteria L

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Premio di rischio (esempio) 40 L = E[L] - x c = 50 – 40 = 10 ~

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Premio di rischio Il premio di rischio non è necessariamente positivo (e.g. individuo che deve necessariamente reperire 100 euro) A seconda del segno di p si hanno diversi atteggiamenti rispetto al rischio

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Atteggiamenti rispetto al rischio p = E[L] - x c > 0 avverso al rischio p = E[L] - x c < 0 propenso al rischio p = E[L] - x c = 0 indifferente al rischio

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Atteggiamenti rispetto al rischio L p 1-p x1x1 x2x2 E[L] = p x 1 +(1-p) x 2 U[L] = p u(x 1 ) +(1-p) u(x 2 )

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Atteggiamenti rispetto al rischio E[L] = p x 1 +(1-p) x 2 x c = u -1 (p u(x 1 ) +(1-p) u(x 2 )) Se il decisore è avverso al rischio, p x 1 +(1-p) x 2 u -1 (p u(x 1 ) +(1-p) u(x 2 ))

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa E[L] x1x1 x2x2 U[L]U[L] xcxc u(x1)u(x1) u(x2)u(x2)

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa E[L] x1x1 x2x2 U[L]U[L] xcxc u(x1)u(x1) u(x2)u(x2)

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa E[L]= x c x1x1 x2x2 U[L]U[L] u(x1)u(x1) u(x2)u(x2) =0

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Premio di assicurazione L p 1-p -K 0 K valore del bene da assicurare q somma di assicurazione p probabilità di perdere il bene

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa L p 1-p -K 0 E[L] = – p K + (1-p)*0 -q è lequivalente certo di questa lotteria

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Premio di assicurazione p = E[L] – x c = – p K – (–q) Ossia : q = p + p K Dunque p rappresenta leccesso rispetto al valore atteso

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Le persone preferiscono pagare un piccolo premio di assicurazione piuttosto di scommettere il prezzo della loro casa sul fatto che non si verifichi un incendio. Dal punto di vista dellagenzia di assicurazioni il valore della casa e molto piccolo rispetto alle riserve finanziarie totali: la curva di utilita dellassicuratore e lineare in quella regione e la scommessa non costa quasi nulla alla compagnia.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Determinazione delle probabilità A questo punto occorre avere informazioni sulla verosimiglianza con cui diversi stati di natura potranno presentarsi Si opera col meccanismo dellintervista…

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa a1a1 Variazione indice Dow-Jones (%) 110 < -3 [-3,+2] > +2 a2a2 a3a Decisioni probabilità

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Utilità attesa dei tre investimenti U[ a 1 ] = 0.2 *u(110) + 0.4*u(110) +0.4*u(110) = 0.8 U[ a 2 ] = 0.2 *u(100) + 0.4*u(105) +0.4*u(115) = 0.7 U[ a 3 ] = 0.2 *u(90) + 0.4*u(100) +0.4*u(120) = 0.56

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Analisi della sensibilità Per giungere a una soluzione più ponderata, occorre sottoporre ad analisi le preferenze espresse dal decisore Un decisore non ha capacità di discernimento infinita

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Analisi della sensibilità (II) Poiché lutilità della lotteria a 1 è ritenuta superiore alle altre, occorre trovare: – un limite inferiore al valore di U[a 1 ] e – un limite superiore al valore di U[a 2 ] e U[a 3 ]

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Analisi della sensibilità (III) 110 L Supponiamo il decisore preferisca i 110 sicuri

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Analisi della sensibilità (IV) 110 L u(110) > 0.75*u(120) *u(90)=0.75

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Analisi della sensibilità (V) Analogamente possono stabilirsi limiti superiori: u(100) < 0.45 u(105) < 0.64 u(115) < 0.96 Usando questi valori-limite nelle utilità di a 2 e a 3 si possono ottenere indicazioni più complete

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Utilità attesa dei tre investimenti (rivista) U[ a 1 ] > 0.75 U[ a 2 ] < 0.2 * * *0.96= 0.73 U[ a 3 ] < 0.2 * * *1= 0.58 Alla luce dellanalisi della sensibilità, linvestimento a 1 sembra il più adatto al decisore in esame