IL TEOREMA DI PITAGORA La prima dimostrazione di questo teorema è stata attribuita al matematico greco Pitagora di Samo (570-500 a. C.). Non si sa, però, come Pitagora abbia condotto la sua dimostrazione perchè nulla è rimasto delle sue opere. La prima dimostrazione che conosciamo fu data da Euclide (300 a. C.) nei suoi Elementi . Da quel momento molti matematici e non matematici, sono stati così attratti da questo teorema che hanno sentito il bisogno di elaborare un ingegnoso e alternativo modo per dimostrarlo. Si conoscono 370 diverse dimostrazioni di questo teorema. Nessun altro teorema ha ricevuto tanta attenzione e tante dimostrazioni

Verifichiamo il Teorema di Pitagora Enunciato Enunciato: In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti

IL TRIANGOLO RETTANGOLO IPOTENUSA CATETO MINORE i C 2 C 1 CATETO MAGGIORE

Quadrato costruito sul cateto minore Quadrato costruito sull’ipotenusa sul cateto maggiore

i c 1 Costruiamo 3 quadrati : c 2 G R V l = i l = c 2 l = c 1

Sistemiamo al loro posto i quadrati G G V R V R

Scomponiamo i quadrati per mezzo del quadratino Q e infine il GIALLO Prima il ROSSO Poi il VERDE G V Q R Scomponiamo i quadrati per mezzo del quadratino Q

Riportiamo i quadratini uno per uno su quello GIALLO V Q R Riportiamo i quadratini uno per uno su quello GIALLO

G Q V R prima i ROSSI

G V Q R

G Q R V Q

G Q R V Q poi i VERDI

G R V Q

il quadrato GIALLO è stato riempito totalmente V Q R il quadrato GIALLO è stato riempito totalmente dal ROSSO e dal VERDE

Pertanto: GIALLO VERDE GIALLO = ROSSO + VERDE ROSSO

Ma GIALLO VERDE 2 GIALLO = i 2 ROSSO = c 1 ROSSO 2 VERDE = c 2

Allora GIALLO i = c + c 2 2 2 VERDE 1 2 Da cui: ROSSO

Allora i = c + c c = i - c c c i i c c GIALLO VERDE = - ROSSO 2 2 2 1

Teorema di Pitagora applicato ad un problema In un triangolo rettangolo i cateti misurano rispettivamente cm 4 e cm 3. Trova il perimetro.

i = c21 + c2 c1= cm 4 Dati: c2= cm 3 i c1 Richiesta: P = c1+c2+i c2 incognita Soluzione 2 i = c21 + c2 = cm 42 +32 = cm 25 =cm 5 = cm 16 +9 P = c1+c2+i= cm(3+4+5)= cm12

Applicazione del teorema alle figure piane

Applicazione del teorema alle figure piane

Altra applicazione del T. di Pitagora Problema In un triangolo isoscele la base e l’altezza misurano rispettivamente cm 10 e cm 12. Trova il perimetro.

l = (b/2)2 + h2 b= cm 10 Dati: h= cm 12 l l h Richiesta: P = 2l+b b cateto Dati: h= cm 12 l l ipotenusa h Richiesta: P = 2l+b b/2 incognita b cateto Soluzione l = (b/2)2 + h2 = cm 52 +122 = cm 169 =cm 13 = cm 25 +144 P = 2l+b= cm(13x2+10)= cm36