La ricerca didattica di fronte ai problemi e sfide che incontra oggi l’insegnamento delle matematiche Michèle Artigue Université Paris 7 & IREM Convegno di Didattica della Matematica Piazza Armerina (Enna, Italia) settembre 2004

Problemi e sfide Discorsi e atti poco coerenti: L’affermazione della necessità per tutti oggi di una cultura matematica solida che vada ben al di là del tradizionale “saper contare” ; ma parallelamente una riduzione generale delle ore di matematica e dei responsabili che si vantano di non aver mai compreso niente di matematica.

Problemi e sfide Una massificazione dell’insegnamento che la pone davanti ad un nuovo pubblico, meno adatto culturalmente con i valori tradizionali della scuola, ed a una più grande eterogeneità. Una evoluzione delle relazioni sociali tra bambini, giovani e adulti che destabilizza le basi delle relazioni didattiche tradizionali.

Problemi e sfide Una istituzione scolastica che si deve adattare a una evoluzione tenologica i cui tempi sono molto più corti che i propri. Una istituzione scolastica che comincia a mala pena a saper profittare delle calcolatrici grafiche e dei software di geometria dinamica, nello stesso tempo Internet e le tecnologie dell’informazione e della comunicazione che modificano oggi profondamente il dato tecnologico.

Problemi e sfide Tutto questo: In un mondo nel quale l’immagine della scienza si é fortemente degradata, meno studenti; In un mondo dove l’educazione é presentata come un valore fondamentale ma dove si tende, ogni giorno di più, a concepirla come un mercato ordinario.

Che cosa può dare la ricerca in didattica per affrontare questi problemi e queste sfide ? Evoluzioni promettenti : Una evoluzione dei quadri teorici che permetta una migliore articolazione della micro-didattica e della macro-didattica ; Una evoluzione con lo sguardo rivolto all’insegnante ; Una più grande attenzione rivolta agli strumenti materiali e simbolici delle attività matematiche, al loro ruolo nell’apprendimento delle matematiche, uno sguardo più lucido e meglio attrezzato per approcciare le conseguenze strumentali dell’evoluzione tecnologica.

L’evoluzione dei quadri teorici sapere allievoinsegnante

L’evoluzione dei quadri teorici sapere allievoinsegnante

La didattica francese ai suoi inizi Un approccio cognitivo portato dalla teoria dei campi concettuali (Vergnaud) Ma, anche, una teoria delle situazioni didattiche dove l’oggetto centrale non é l’allievo ma la situazione (sociale) in cui questo allievo interagisce con gli altri e con le matematiche (Brousseau), Ed una teoria della trasposizione didattica che discute in modo originale il sapere (Chevallard). E quindi, un disequilibrio evidente

Lo sviluppo della teoria antropologica: una nuova visione Una visione macro-didattica dove l’oggetto centrale diviene l’istituzione. Dei saperi che sono visti come degli oggetti relativi che emergono dalle pratiche istituzionali. Delle istituzioni che creano dei sistemi di valori e delle norme in relazione ai saperi e definiscono, ciascuno alla sua maniera, quello che significa conoscere un oggetto matematico Ma una visione che non si sostituisce all’esistente ma l’arricchisce, la completa e s’articola con essa.

Un esempio : la tesi di B. Grugeon Il problema iniziale: l’insuccesso di certi corsi di adattazione Un cambiamento di problematica Spiegazioni seducenti

Un problema di transizione istituzionale Il liceo professionale Il liceo generale Due istituzioni che hanno dei rapporti istituzionali all’algebra differenti Le differenze più problematiche sono le differenze istituzionali sugli oggetti comuni; sono sorgente di malintesi tra professori ed allievi A che cosa bisogna attribuire il disagio di questi allievi?

Il lavoro di ricerca in questa nuova problematica La costruzione di una griglia multidimensionale di analisi della competenza algebrica che porta a mettere in evidenza coerenze curriculari o cognitive e includono : una dimensione aritmetico-algebrica, una dimensione sulla formazione e sul trattamento delle espressioni algebriche una dimensione funzionale dell’algebra ed una razionale una dimensione che articola tra quadri e registri semiotici del lavoro algebrico.

I risultati La conferma dell’esistenza delle differenze nei rapporti istituzionali relativi a degli oggetti comuni, e della loro “invisibilità”. La messa in evidenza, grazie al test associato alla griglia, delle coerenze di funzionamento presso gli allievi che gli permettano di dare una immagine più positiva. L’identificazione di leve più adatte a questi allievi per migliorare in algebra e superare le loro difficoltà, utilizzando meglio la loro cultura anteriore: arricchendo il lavoro sulle formule ed una artcicolazione con il mondo funzionale. Una ingegneria didattica che permetta a questi allievi di uscire dall’insuccesso e di costruire progressivamente un rapporto con l’algebra idoneo al rapporto istituzionale definito dal liceo generale tecnologico.

Un nuovo sguardo sull’insegnante All’inizio, un insegnante che non é considerato come un attore problematico della relazione didattica. Poi, difficoltà resistenti nell’articolazione tra teoria e pratica che conducono ad uno sviluppo delle ricerche sull’insegnante. Una prima fase: studio delle concezioni, delle credenze degli insegnanti sulle matematiche, sul loro insegnamento ed apprendimento.

Un nuovo sguardo sull’insegnante I limiti di questo modo di vedere e lo sviluppo dei nuovi approcci portano a: Identificare i determianti dell’azione didattica e a comprendere il ruolo esatto che giocano in queste concezioni e credenze determinanti. Identificare i differenti gesti professionali e i differenti tipi di conoscenze che vi sono soggiacenti. Identificare le conoscenze necessarie all’esercizio del mestiere e i loro modi di sviluppo.

L’appoggio teorico a questo programma di ricerca La teoria delle situazioni e quindi la strutturazione verticale del “millieu” (Margolinas) e il raffinamento della nozione “contratto”. La teoria antropologica: mezzi per descrivere, valutare le pratiche matematiche e didattiche (compiti, tecniche, tecnologie, teorie) Il “doppio approccio” ergonomico e didattico: l’insegnante percepito come un professionista che esercita in un ambiente dinamico e aperto di cui cerca di provar a comprendere la coerenza. (Robert, Rogalski)

La tesi di E. Roditi Professori della scuola media si confrontano su di un nuovo compito: l’insegnamento della moltiplicazione dei decimali. Una prima fase: analizzare il problema didattico e le differenti risorse didattiche esistenti (risultati di ricerca, ignegnerie didattiche). Una seconda fase: analizzare il lavoro pratico di 4 insegnanti che lavorano in condizioni comparabili. Cosa ne può venire fuori ?

La tesi di E. Roditi Una grande convergenza di quattro progetti al livello globale dove si manifesta il peso degli obblighi istituzionali e della cultura. Una diversità locale che mostra l’esistenza di un margine di manovra che ogni insegnante sfrutta seguendo la sua logica personale: Scelta di tipi di compiti, legami tra compiti ed istituzionalizzazioni; Responsabilità matematica data agli allievi e mediazioni diverse. Una organizzazione didattica di fasi fatte di episodi corti che permettano di segnare i successi della tappa. Un gran numero di incidenti (circa 40 per fase)

Strumenti dell’attività matematica e processi di strumentazione Una attenzione crescente che si può relegare: All’evoluzione dei quadri teorici verso dei paradigmi di natura socio-culturale e antropologica; All’evoluzione tecnologica che conduce l’insegnamento delle matematiche ad utilizzare degli strumenti sempre più sofisticati.

Differenti approcci R. Duval: focalizzazione sui registri semiotici e ruolo che gioca nella concettualizzazione l’articolazione dei registri semiotici. Y. Chevallard et M. Bosch : focalizazione sulla dialettica tra ostenìsivo e non ostensivo. M. Bartolini Bussi, M.A. Mariotti, F. Arzarello et al.: prospettive Vigostkiane, teoria dell’attività e mediazione semiotica. J.D. Godino: teoria delle funzioni semiotiche Ma una costante: il ruolo fondamentale che giocano gli artefatti materiali e simbolici nel lavoro matematico e nel processo di apprendimento.

Un esempio: lo sviluppo dell’approccio strumentale nelle ricerche sulle tecnologie informatiche. Il punto di partenza: ricerche sull’integrazione nell’insegnamento secondario di ambienti di calcolo formale (CAS) Un contrasto evidente tra il discorso sulle potenzialità del CAS per l’apprendimento delle matematiche e la realtà del funzionamento delle classi osservate.

Alcune contraddizioni L’affermazione che il lavoro con le tecnologie libera l’allievo dei compiti tecnici e favorizza in questo modo un lavoro più strategico e concettuale. Ma Un lavoro tecnico modificato ma sempre presente, Una economia di lavoro che non favorisce necessariamente il concettuale del fatto particolare: Della diversità e del debole costo delle azioni possibili in rapporto al costo cognitivo allievo dell’interpretazione delle retroazioni dei CAS, Dell’insufficiente familiarità degli allievi con la tecnologia che gli fa facilmente perdere il filo del loro lavoro matematico.

Un esempio illustrativo Una situazione paradigmatica per degli allievi che entrano nel mondo funzionale al liceo in Francia, attraverso dei problemi di variazione ed ottimizzazione scelti per mostrare l’interesse della nozione di funzione ma senza calcolo differenziale. Una situazione che illustra bene il ruolo che può giocare la tecnologia.

Il quadrilatero che gira

Una potenzialità certa della tecnologia Per esplorare un problema geometrico, fomulare e testare le congetture Per superare i limiti delle competenze tecniche degli allievi all’inizio del liceo in algebra Per lavorare su delle funzioni fondamentali dell’algebra: provare e generalizzare

Ma una attualizzazione di queste potenzialità in classe che non ha niente di evidente Una familiarità necessaria dell’insegnante e degli allievi con la tecnologia Una articolazione dialettica complessa tra lavoro tecnico e concettuale Una ripartizione ottimale di responsabilità matematiche tra insegnate ed allievi che non é facilmente assicurata

Una sensibilità crescente Come gestire processi di strumentazione nella classe ? Come uno strumento matematico diviene artefatto?? Alle relazioni tra lavoro tecnico e concettuale Alle questioni delle strumentazioni

Un doppio appoggio teorico L’ergonomia cognitiva (Rabardel) che propone degli strumenti per rendersi conto della complessità dei processi di strumentazione La teoria antropologica che propone strumenti per rendersi conto della dimensione istituzionale della strumentazione ed i problemi delle norme ed i valori associati

Risultati interessanti Sui processi di genesi strumentale e la loro complessità non supposta Sulle conoscenze matematiche e tecnologiche soggiacenti Sulla difficoltà che hanno gli insegnanti ad accompagnare la costruzione di queste conoscenze ed a dare uno statuto adeguato alle tecniche strumentali nel quadro degli obblighi istituzionali attuali Sulla profonda inadeguatezza delle partiche di formazione degli insegnanti in questo campo, pratiche più mlitanti che scientifiche

In conclusione Tre temi sono stati trattati: Il teorico, perchè lavora le nostre problematiche, le nostre metodologie e, attraverso esse, i risultati stessi che possiamo ottenere L’insegnante, perchè é la chiave di ogni azione sul sistema educativo e di ogni evoluzione Gli strumenti di lavoro matematico ed il ruolo della tecnologia

In conclusione In tutti questi settori, Ho provato a mostrare delle evoluzioni di problematiche di ricerca che permettano di meglio abbordare la complessità dei sistemi studiati, che divengono più sensibili ai diversi obblighi che s’impongono all’azione didattica e sono più rispettosi di tutti gli attori di questa azione Ho provato a far condividere la mia convinzione che la ricerca didattica, anche se il suo potere é limitato in quanto i sistemi di decisione vi sfuggono, può aiutare a riflettere sui problemi difficili che si pongono oggi, a rigettare le idee naïve e pericolose, a pensare le direzioni di azione possibili, ad accompagnare queste azioni e a valutare i loro effetti.