Definizione Si dice che la variabile z è una funzione reale di due variabili x e y, nell’insieme piano D, quando esiste una legge di natura qualsiasi che fa corrispondere uno e un solo valore della variabile z ad ogni punto x e y sono le variabili indipendenti; z è la variabile dipendente D è detto insieme di esistenza o dominio della funzione.
Dominio delle funzioni in R2
Dominio delle funzioni in R2
Grafico di una funzione in R2 Il grafico della funzione ha la proprietà caratteristica che ogni retta perpendicolare al piano Oxy lo incontra, al più, in un punto.
Definizione Si chiama curva di livello della funzione z la proiezione ortogonale, sul piano xy, dell’intersezione della superficie che rappresenta la funzione con un piano parallelo al piano xy di equazione La curva di livello è la proiezione ortogonale, sul piano xy, dell’insieme dei punti della superficie che hanno lo stesso valore
Curve di livello in R2
Continuità in R2 La funzione z si dice continua in P0 se risulta:
Calcolo differenziale in R2 Diventa una funzione ad una sola variabile x chiamata restrizione di z su y=y0 Diventa una funzione ad una sola variabile y chiamata restrizione di z su x=x0 Derivata prima parziale rispetto a x della funzione nel punto Nota bene: una funzione può essere parzialmente derivabile in un punto, pur non essendo continua in quel punto
Interpretazione geometrica
Calcolo differenziale in R2
Gradiente di una funzione in R2 La coppia delle derivate parziali di una funzione f calcolate in un punto P del suo dominio determina un vettore chiamato gradiente di f in P.
Determina il gradiente della seguente funzione
Determina il gradiente della seguente funzione
Massimi e minimi relativi Definizione: Si dice che è un punto di massimo relativo o locale per la funzione f se esiste un intorno circolare C del punto P0 tale che Teorema: (condizione necessaria) Se il punto P0 è un punto di massimo o di minimo relativo per la funzione f e se in esso la funzione f è parzialmente derivabile rispetto a x e a y, allora risulta: è detto punto stazionario per f
Punti di sella Definizione: Si dice che è un punto di sella per la funzione f se è un punto stazionario e se: punto di massimo punto di minimo punto di sella
Derivate parziali seconde Sia f una funzione in due variabili definita in un insieme D di R2 e sia f parzialmente derivabile sia rispetto a x sia rispetto a y. possono essere a loro volta funzioni parzialmente derivabili; in tal caso le loro derivate si chiameranno derivate parziali seconde Derivate seconde parziali pure Derivate seconde parziali miste