Il teorema di Pitagora nel suo sviluppo storico Veronica Gavagna Università di Salerno

In letteratura… Posso affermare, senza tema di smentita, che la legge di Pitagora esprime una verità eterna. Ancor prima che il sole splendesse nel firmamento, ancor prima che ci fosse aria da respirare, il quadrato dell’ipotenusa era uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati. Malba Tahan, Una perla pericolosa, in L’uomo che sapeva contare. Una raccolta di avventure matematiche, Salani, 1996.

In letteratura… Esaminando i libri di geometria, si chiese se davvero valeva la pena saper leggere; di quei testi conservò una lunga frase che tirava fuori nei momenti di malumore: “In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è il lato opposto all’angolo retto”. Frase che in seguito avrebbe causato stupore tra gli abitanti di El Idilio, che la accoglievano come uno scioglilingua assurdo o un’abiura inoppugnabile. L.Sepulveda, Il vecchio che leggeva romanzi d’amore, Guanda 1993.

Se il mondo rinuncia all’arte di ricordare … Che cosa vale la pena di tenere a mente, di mettere nel proprio teatro della memoria? Quel che ci mettevamo fino a poco tempo fa? Per esempio le tabelline, il teorema di Pitagora, il Cinque Maggio, i Dieci Comandamenti, la data di Waterloo, le declinazioni latine, i numeri telefonici… Marino Niola (La Repubblica 7 marzo 2011)

Il caso Scafroglia… Lo sapevate?? Il quadrato costruito sull’ipotenusa è il doppio di quello sui cateti… ma la qualità è scadente e dopo un anno lo butti! È così! È capitato a mia sorella! Fidatevi! Corrado Guzzanti, Il caso Scafroglia 2002

Fra i matematici… http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ 92 dimostrazioni del Teorema di Pitagora Elisha Scott Loomis, The Pythagorean proposition (ristampa, 1968) 397 dimostrazioni

Molte etichette Ponte degli asini (in Francia) Dulcarnon (“proprietario di due corna”) Teorema del mulino a vento Teorema della giovane sposa Teorema della sedia della sposa Teorema dell’ipotenusa

Il teorema di Pitagora è di Pitagora ? (Samo 575 a.C.– Metaponto 495 a.C) Acusmatici: discepoli che ascoltavano le lezioni del maestro, venendo così a conoscenza dei soli precetti pratici della dottrina Matematici: discepoli iniziati alle dottrine segrete

Il teorema di Pitagora è di Pitagora ? Non esiste alcuna testimonianza anteriore al I sec. a.C. di un’attività scientifica (e matematica in particolare) di Pitagora Unica eccezione parrebbe il distico di Apollodoro Come quando Pitagora scoprì la famosa figura Per la quale offrì un glorioso sacrificio ai buoi

Come quando Pitagora scoprì la famosa figura Per la quale offrì un glorioso sacrificio ai buoi Plutarco (I-II sec.) Diogene Laerzio (II-III sec.) identificano Apollodoro con Apollodoro il Calcolatore (IV sec. a.C.) ma è arbitrario Vitruvio (I sec. a.C.) cita il sacrificio a proposito della terna 3,4,5

Proclo Diadoco (V sec.) In primum Euclidis Elementorum libri commentarii Se si crede a coloro che vogliono indagare gli avvenimenti antichi, si potrà anche trovare qualcuno che attribuisce il teorema a Pitagora e che assicura che egli abbia sacrificato un bue dopo la scoperta. Quanto a me, seppure sia meravigliato di coloro che per primi hanno riconosciuto la verità del teorema, ammiro ancora di più l’autore degli Elementi non solamente per la dimostrazione che ha provato definitivamente il teorema, ma anche per la generalizzazione che ne ha dato nel libro VI…

Il teorema di Pitagora è di Pitagora ? Proclo è scettico sull’attribuzione a Pitagora del teorema Attribuisce esplicitamente la dimostrazione a Euclide Le fonti sembrano attestare a Pitagora o ai pitagorici una qualche scoperta matematica, ma non sono concordi su quale potesse essere.

Il teorema di Pitagora è di Pitagora ? Il teorema di Pitagora quasi certamente NON è di Pitagora L’attribuzione a Pitagora tuttavia si consolida e si conserva anche nelle edizioni rinascimentali degli Elementi

Federico Commandino De gli Elementi d’Euclide libri quindidici (1575) Questo theorema è attribuito à Pythagora, & dicono che quando egli l’hebbe trovato sacrificò un bue. Ma quello che scrive Euclide nel sesto è molto piu universale, perche dimostra che ne triangoli rettangoli la figura che si fa dal lato sottoposto all’angolo retto è uguale alle figure fatte da i lati, che l’angolo retto contengono, simili & similmente descritte.

Cristoforo Clavio S.J. Recensio degli Elementi (1574)

Possiamo congetturare un’attribuzione? Prima di tutto dobbiamo distinguere fra teorema e regola

Civiltà babilonese Tavoletta Yale 7289 Tavoletta Plimpton 322 Tavoletta di Susa Tavoletta Tell Dhibayi

Tavoletta YBC 7289 1900 a.C. – 1600 a.C.

Tavoletta YBC 7289 1900 a.C. – 1600 a.C. Sul lato del quadrato (in forma decimale) 30 Sulla diagonale 1,414213 (~ √2) 42,42639 = 30 * 1,414213

Tavoletta Plimpton 322 Columbia University

Tavoletta di Tell Dhibayi Tavoletta di Susa Determinare il raggio di un cerchio circoscritto a un triangolo isoscele di lato e base noti Tavoletta di Tell Dhibayi Determinare l’area di un rettangolo di cui sono noti l’area e la diagonale

Tavoletta BM 85 196 ~ 1700 a.C. Una trave lunga 0;30 GAR è appoggiata a un muro. La sua altezza da terra è 0;60 GAR più bassa di quanto sarebbe se fosse appoggiata verticalmente al muro. Quanto dista la base della trave dal muro?

Sulbasutra 1500 a.c - 200 a.C. I Sulbasutra raccolgono varie regole di misurazione Baudhayana Sulbasutra (800 a.C.) La fune che è stesa lungo la diagonale di un quadrato produce un’area doppia del quadrato originale

Matematica cinese Chou Pei Suan Ching (Il libro dello gnomone e delle orbite circolari) Teorema Kou ku (Gou Gu)

Il problema del bambù spezzato Chiu Chang Shuan Shu (I nove capitoli di arte matematica) 206 a.C. -220 d.C. – 246 problemi Un bambù alto 32 cubiti si è spezzato a causa del vento. La sua estremità superiore tocca il terreno ad una distanza di 16 cubiti dalla base del fusto. Dimmi, o matematico, a quale altezza si trova la frattura?

Pier Maria Calandri Aritmetica (1491)

Pier Maria Calandri Aritmetica (1491)

Pier Maria Calandri Aritmetica

La dimostrazione del teorema Il caso del triangolo rettangolo isoscele si “vede” immediatamente

Il Menone di Platone Socrate. Coloro che se intendono chiamano questa linea diagonale sicché, se essa ha nome diagonale, allora dalla diagonale, come tu dici, o ragazzo di Menone, si può ottenere l’area doppia. Ragazzo – Certamente, o Socrate

Una dimostrazione visuale generale? Il quadrato azzurro a destra è veramente un quadrato? Mondrian, Composizione con rosso, blu e giallo (1930)

I rischi delle dimostrazioni visuali

La dimostrazione di Euclide Elementi, I.47

La dimostrazione del teorema sembra un po’ artificiale: esistono dimostrazioni più semplici ma non usano risultati così elementari. Perché il “teorema di Pitagora” viene collocato alla fine del primo libro degli Elementi?

La quadratura delle figure rettilinee Nei primi due libri degli Elementi, Euclide affronta il problema della quadratura delle figure rettilinee. L’ultima proposizione del libro II recita II.14 Costruire un quadrato uguale a una figura rettilinea data Il teorema di Pitagora (I.47) è uno dei pilastri su cui poggia II.14

Il problema della quadratura delle figure rettilinee Possibili strategie

Byrne’s edition (1847) http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/byrne.html

Byrne’s edition

Generalizzazioni Proposizione II.12 degli Elementi In un triangolo ottusangolo, il quadrato costruito sul lato opposto all’angolo ottuso è maggiore dei due quadrati costruiti sui lati che contengono il quadrato

Generalizzazioni Proposizione II.13 degli Elementi

Generalizzazioni Proposizione VI.31 degli Elementi

Le lunule di Ippocrate di Chio (IV sec. a.C.) La proposizione VI.31 (th. di Pitagora esteso) vale anche se costruiamo dei semicerchi sui lati

Le lunule di Ippocrate di Chio (IV sec. a.C.) Rosso = giallo + Giallo Rosso = triangolo + segmento + Segmento Triangolo = lunula + Lunula

Generalizzazioni Il Teorema di Pappo (Collezioni matematiche, IV libro)

Riferimenti bibliografici A. Cerasoli, Mr. Quadrato, Sperling & Kupfer 2006 B.Vitrac, Sur Pythagore et le “théorème de Pythagore”, in Euclide, Les Éléments, PUF, vol.1 1990, pp.310-321 Pitagora e il suo teorema, a cura di E.Giusti, Firenze, Polistampa 2001 http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ http://www.palais-decouverte.fr/index.php?id=858%20