FENOMENI OSCILLATORI Prof.ssa Silvia Martini L.S. “F. D’Assisi” a.s. 2010-2011

Fenomeni oscillatori Introduzione I fenomeni oscillatori di tipo meccanico ed elettromagnetico, ci circondano costantemente nella vita quotidiana. Esempi di oscillazioni meccaniche sono il pendolo oscillante di un orologio, la corda di una chitarra che vibra; mentre esempi di oscillazioni elettromagnetiche, sono quelle degli elettroni che si muovono avanti e indietro nei circuiti responsabili della trasmissione e della ricezione di segnali radio e TV. La caratteristica comune di tutti questi sistemi oscillanti è la formulazione matematica che descrive le loro oscillazioni.

Oscillatore armonico semplice Oscillazioni meccaniche Oscillatore armonico semplice Consideriamo il sistema meccanico massa – molla denominato oscillatore armonico semplice. Applicando la seconda legge di Netwon F = ma si ottiene l’equazione dell’ oscillatore armonico semplice, : Ovvero: ω = pulsazione o frequenza angolare [rad/s]. la cui soluzione è una funzione x(t) che descrive la posizione dell’ oscillatore armonico semplice in funzione del tempo.

Oscillatore armonico semplice Oscillazioni meccaniche Oscillatore armonico semplice Una soluzione dell’ equazione del moto dell’ oscillatore armonico semplice è: dove: A è lo spostamento massimo ossia ampiezza del moto oscillatorio; è la fase del moto; è la fase iniziale o costante di fase. L’ampiezza A e la costante di fase dell’oscillazione sono determinate dalle condizioni iniziali che sono lo spostamento e la velocità al tempo t0

Oscillatore armonico semplice Oscillazioni meccaniche Oscillatore armonico semplice Il tempo necessario per un’ oscillazione completa è chiamato periodo T A La frequenza ν è il numero di oscillazioni complete per unità di tempo, quindi: T Si ricava quindi la relazione che lega la pulsazione ω alla frequenza (o al periodo):

Oscillatore armonico semplice Oscillazioni meccaniche Oscillatore armonico semplice La posizione del corpo è: A Derivando rispetto al tempo si ricava la velocità: ωA Derivando ancora si ottiene l’andamento dell’accelerazione in funzione del tempo: ω2A

Considerazioni Energetiche Oscillazioni meccaniche Considerazioni Energetiche Per il moto armonico di un sistema non soggetto a forze dissipative, l’energia meccanica totale si conserva, cioè resta costante durante il moto. L’energia potenziale U è in ogni istante: L’energia cinetica K è invece in ogni istante:

Considerazioni Energetiche Oscillazioni meccaniche Considerazioni Energetiche L’ energia meccanica totale è quindi : Essa è costante e ha il valore di

Oscillazioni elettriche Circuito LC L’equivalente elettrico del sistema meccanico massa – molla, in assenza di attrito, è il circuito LC : Scrivendo l’ equazione di equilibrio delle tensioni alla maglia, si ha: con quindi in cui

Una soluzione dell’ equazione del circuito LC è: Oscillazioni elettriche Circuito LC Una soluzione dell’ equazione del circuito LC è: dove: è la carica iniziale sul condensatore ossia l’ ampiezza del moto oscillatorio; è la fase del moto; è la fase iniziale o costante di fase. L’ampiezza e la costante di fase dell’ oscillazione sono determinate dalle condizioni iniziali.

È evidente quindi l’ analogia tra i due sistemi: Oscillazioni elettriche Analogia È evidente quindi l’ analogia tra i due sistemi:

Considerazioni Energetiche Oscillazioni elettriche Considerazioni Energetiche L’ energia elettromagnetica totale è: essa è costante e ha il valore di

Oscillatore Armonico smorzato Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato Consideriamo un oscillatore armonico smorzato da una forza viscosa : Introduciamo la forza di attrito viscoso : che è proporzionale alla velocità tramite il coefficiente di attrito viscoso Applicando la seconda legge di Netwon F = ma :

Oscillatore Armonico smorzato Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato La legge matematica che regola il moto di questo sistema risulta essere : Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente : l’ equazione differenziale dell’ oscillatore armonico smorzato diventa:

Parametro relativo alla forza di attrito Smorzamento debole Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato Il tipo di soluzione dipende dalla relazione tra i parametri fisici dell’oscillatore. Parametro relativo alla forza di attrito Smorzamento debole Parametro relativo alla forza elastica reale

Oscillatore Armonico smorzato Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico smorzato La soluzione è quindi una sinusoide la cui ampiezza diminuisce nel tempo poiché è modulata da un esponenziale decrescente :

Oscillazioni elettriche Circuito RLC L’equivalente elettrico dell’ oscillatore armonico smorzato è il circuito RLC : Scrivendo l’ equazione di equilibrio delle tensioni alla maglia, si ha: con quindi

La legge matematica che regola questo sistema risulta essere quindi: Oscillazioni elettriche Circuito RLC La legge matematica che regola questo sistema risulta essere quindi: Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente : l’ equazione differenziale del circuito RLC diventa:

È evidente quindi l’ analogia tra i due sistemi: Oscillazioni elettriche Analogia È evidente quindi l’ analogia tra i due sistemi:

Parametro relativo alla dissipazione della carica Oscillazioni elettriche Circuito RLC Anche in questo caso, il tipo di soluzione dipende dalla relazione tra i parametri fisici del circuito. Smorzamento debole con reale, cioè : Parametro relativo alla dissipazione della carica Parametro relativo alla conservazione della carica

Oscillazioni elettriche Circuito RLC La soluzione è quindi una sinusoide la cui ampiezza diminuisce nel tempo poiché è modulata da un esponenziale decrescente :

Oscillatore Armonico forzato Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico forzato Consideriamo ora un oscillatore armonico forzato: applichiamo cioè all’ oscillatore una forza esterna ad esempio sinusoidale in cui rappresenta la pulsazione della forza esterna Applicando la seconda legge di Netwon F = ma :

Oscillatore Armonico forzato Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico forzato La legge matematica che regola il moto di questo sistema risulta essere: Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente : l’ equazione differenziale dell’ oscillatore armonico forzato diventa:

Oscillatore Armonico forzato Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico forzato La soluzione particolare rappresenta la soluzione a regime: Lo spostamento sarà caratterizzato a regime dalla stessa pulsazione della forza esterna, anche se sfasato in ritardo rispetto ad essa avendo:

Oscillatore Armonico forzato Oscillazioni meccaniche Oscillatore Armonico forzato Spostamento in quadratura di fase con la forza esterna Parametro dominante “ ” coefficiente di smorzamento

Grafichiamo in funzione di : Oscillazioni meccaniche Risonanza Grafichiamo in funzione di : Con smorzamento molto piccolo la funzione assume un massimo in condizioni di risonanza :

Circuito RLC con generatore di f.e.m. Oscillazioni elettriche Circuito RLC con generatore di f.e.m. L’equivalente elettrico dell’ oscillatore armonico forzato è il circuito RLC con generatore di f.e.m.: Scrivendo l’ equazione di equilibrio delle tensioni alla maglia, si ha: con quindi

La legge matematica che regola questo sistema risulta essere quindi: Oscillazioni elettriche Circuito RLC La legge matematica che regola questo sistema risulta essere quindi: Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente : l’ equazione differenziale del circuito RLC con f.e.m. diventa:

È evidente quindi l’ analogia tra i due sistemi: Oscillazioni elettriche Analogia È evidente quindi l’ analogia tra i due sistemi:

Circuito RLC con generatore di f.e.m. Oscillazioni elettriche Circuito RLC con generatore di f.e.m. Anche in questo caso la soluzione particolare rappresenta la soluzione a regime: La carica sarà caratterizzata a regime dalla stessa pulsazione della f.e.m esterna anche se sfasata in ritardo rispetto ad essa avendo:

Circuito RLC con generatore di f.e.m Oscillazioni elettriche Circuito RLC con generatore di f.e.m La soluzione in corrente risulta essere la derivata della carica quindi : Affinché questa risulta essere soluzione, inseriamo la suddetta espressione nell’ equazione del circuito in corrente: L’uguaglianza deve essere valida in qualsiasi istante e quindi devo essere uguali i corrispondenti coefficienti di e al primo e al secondo membro.

Circuito RLC con generatore di f.e.m Oscillazioni elettriche Circuito RLC con generatore di f.e.m Imponendo le due identità si ottengono le seguenti relazioni:

La condizione più interessante è quella di risonanza : : Oscillazioni elettriche Risonanza La condizione più interessante è quella di risonanza : : In condizioni di risonanza quindi il circuito si comporta come puramente resistivo poiché la corrente e la f.e.m. sono in fase

Quindi la assume il valore massimo per Oscillazioni elettriche Risonanza Riportiamo in seguito l’andamento della e in funzione della per diversi valori di resistenza: Quindi la assume il valore massimo per

Utile per mettere in evidenza segnali deboli per cui è utilizzato nei Oscillazioni elettriche Risonanza Risonanza : Utile per mettere in evidenza segnali deboli per cui è utilizzato nei sintonizzatori di onde elettromagnetiche. Svantaggiosa quando le ampie oscillazioni generate provocano rotture nel sistema: per esempio l’ azione del vento o di onde sismiche su edifici, il passaggio di veicoli su ponti; in tali casi le pulsazioni di risonanza devono essere molto diverse dalle pulsazioni che l’ambiente circostante può imprimere al sistema.

CIRCUITI ELETTRICI IN CORRENTE ALTERNATA Prof.ssa Silvia Martini L.S. “F. D’Assisi” a.s. 2010-2011

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Esaminiamo il comportamento in regime alternato sia dei singoli elementi di circuito (resistore, induttore, condensatore) che di alcune semplici combinazioni in serie e in parallelo. Resistore R Applicando ai capi di un resistore una f.e.m. esso risulta essere attraversato dalla corrente Ai capi del resistore compare la tensione in fase con la corrente: tra i valori massimi sussiste la relazione:

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Induttore L Per l’ induttore attraversato dalla corrente alternata si ha: la tensione è in anticipo di π/2 sulla corrente. Tra i valori massimi sussiste la relazione: Il termine ωL si chiama reattanza dell’induttore.

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Condensatore C Per un condensatore attraversato dalla corrente alternata si ha: la tensione è in ritardo di π/2 sulla corrente. Tra i valori massimi sussiste la relazione: Il termine si chiama reattanza del condensatore.

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Serie RL Applicando una f.e.m. alternata alla serie di un resistore e di un induttore si ha: La somma VR + VL ,tensione ai capi della serie,è data dal vettore risultante V, il cui modulo V0 e la cui fase rispetto ad i sono espressi da: Tale tensione è in anticipo di fase sulla corrente e i valori massimi sono proporzionali tra loro.

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Serie RC Applicando una f.e.m. alternata alla serie di un resistore e di un condensatore si ha: La somma VR + VC ,tensione ai capi della serie,è data dal vettore risultante V, il cui modulo V0 e la cui fase rispetto ad i sono espressi da: Tale tensione è in ritardo di fase sulla corrente e i valori massimi sono proporzionali tra loro.

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Serie LC In questo caso abbiamo solo i vettori VL e VC, paralleli e discordi, entrambi ortogonali al vettore i: Se , VL e VC sono eguali ed opposti per cui la tensione V è uguale a zero.

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Serie RLC In questo caso si ha: quindi :

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Serie RLC Si vede come al crescere di ω il circuito passi dalla situazione in cui è preponderante rispetto a ωL (comportamento capacitivo) a quella in cui ωL è preponderante rispetto a (comportamento resistivo).

Circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Circuiti in corrente alternata Impedenza serie Quando attraverso uno o più elementi R,L,C in serie viene fatta passare una corrente alternata la tensione ai capi della serie è: Il valore massimo V0 è legato al valore massimo i0 della corrente da : dove Z0 è detta impedenza della serie.

Metodo simbolico per i circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Metodo simbolico per i circuiti in corrente alternata Per l’analisi di circuiti semplici in configurazioni costituite da serie e paralleli degli elementi R, L, C si adotta il metodo simbolico che si basa sulla rappresentazione delle grandezze alternate f.e.m. e corrente con numeri complessi, aventi modulo eguale al valore massimo e fase eguale alla fase della corrispondente grandezza alternata. La relazione tra la f.e.m. complessa e la corrente complessa è lineare. Il coefficiente di proporzionalità (impedenza complessa) riassume in sè l’ effetto del circuito. Quando gli elementi sono in serie l’impedenza totale è la somma delle singole impedenze, quando sono in parallelo l’inverso dell’impedenza totale è la somma degli inversi delle singole impedenze.

Metodo simbolico per i circuiti in corrente alternata Analisi in regime alternato Metodo simbolico per i circuiti in corrente alternata L’impedenza totale di un generico circuito ha sempre una parte reale Zr, e una parte immaginaria Zi che viene chiamata reattanza e indicata con la lettera X :