Modelli e Algoritmi per la Logistica Lezione – 7 Pianificazione degli Investimenti ANTONIO SASSANO Università di Roma“La Sapienza” Dipartimento di Informatica e Sistemistica Roma,

Pianificazione degli Investimenti DATI Insieme I ={1,2,...,n} di Investimenti Indice di redditività (vantaggio) c i dell’investimento i  c i i  F Redditività totale di un insieme F  : c(F) = “Budget” b j del periodo j  T Orizzonte temporale T={1,2,...,t} Vettore dei flussi di cassa a i =(a i1, a i2,..., a it ) dell’investimento i a i1 a i2 a it a i4 a i3 a i5

( a 11, a 12,..., a 1t ) 1 ( a 21, a 22,..., a 2t ) 2 ( a 31, a 32,..., a 3t ) 3 < b1< b b 1 =15 S

TROVARE Insieme di investimenti F* di redditività totale massima e tale che la somma dei flussi di cassa a ij dei progetti attivati sia, in ogni periodo j  T, inferiore al budget b j. Pianificazione degli Investimenti S = {Vettori di incidenza degli insiemi di progetti compatibili con i vincoli di “budget” in ogni periodo}

Pianificazione degli Investimenti - Problema di PL01 S = {Vettori di incidenza degli insiemi di progetti compatibili con i vincoli di “budget” in ogni periodo} Tasso interno di rendimento (TIR) - (Internal Rate of Return (IRR)) Valore attuale netto (VAN) - (Net Present Value (NPV)) Periodo (Punto) di “Breakeven” - (Payback (PBK)) cici Indice di redditività del progetto i Relazioni tra progetti (vincoli aggiuntivi): max c T x x  S i può essere svolto solo se j viene svolto x i < x j solo uno tra i e j deve essere svolto (ad es. se i e j sono copie dello stesso progetto con stessi flussi di cassa e diversi periodi iniziali ): x i + x j < 1 i viene svolto se e solo se viene svolto j x i = x j

< b T = b 1, b 2,..., b t... a 11, a 12,..., a 1t a m1, a m2,..., a mt AT=AT= a 21, a 22,..., a 2t... a 11, a 21,..., a m1 a 1t, a 2t,..., a mt A= a 12, a 22,..., a m2... b1b1 b2b2 btbt. b = Pianificazione degli Investimenti - Formulazione Naturale S = {Vettori di incidenza degli insiemi di progetti compatibili con i vincoli di “budget” in ogni periodo} x  {0,1} I, Ax < b x  S a 11 x 1 + a 21 x 2 +,..., a m1 x m < b 1 <

Pianificazione degli Investimenti - Formulazione Naturale max c T x x  S vincoli aggiuntivi max c T x Ax < b 0 < x i < 1 vincoli aggiuntivi P 0 ={x   R n : Ax x > 0 n } Formulazione Naturale Esistono formulazioni migliori?

Osservazione: Il vincolo relativo ad un generico periodo i definisce un problema di “knapsack” {max c T x: x  S i } KP i ={max c T x: a T x x >0 n, x  {0,1} n } i {max c T x: x  P 0i, x  {0,1} n } Pianificazione degli Investimenti - Singolo “knapsack” S=  S i i=1 t Formulazione naturale del “Knapsack” L’insieme delle soluzioni del problema di Pianificazione degli Investimenti è l’intersezione degli insiemi delle soluzioni dei singoli problemi di “knapsack”

P i Formulazione di KP i S i = P i  {0,1} n P 0 =  P 0i i=1 t Esempio: La formulazione naturale è l’intersezione delle formulazioni naturali dei “knapsack” Pianificazione Investimenti - Intersezione di Formulazioni S  S i per ogni periodo i S=  S i i=1 t x  {0,1} n -S x  {0,1} n - S i per qualche i P  {0,1} n  S P Formulazione del problema di Pianificazione degli Investimenti x  Px  P i P1P1 P2P2 P S  P=  P i i=1 t S i  P i