ITS “Vittorio Bachelet” Santa Maria a Vico ( C E ) Costruzioni con riga e compasso La trisezione di un angolo

Bernardo Luigi III A geometra d’Anza Salvatore III A geometra Fatigati Vincenzo III A geometra Manna Francesco III A geometra Pacilio Gaetano III A geometra Pascarella Nello III A geometra Esposito Michele IV A geometra Ferrara Marco IV A geometra Radice Marco IV A geometra Tramontano Vincenzo IVA geometra Coordinatore prof.ssa Pellegrino Angela

LA TRISEZIONE DI UN ANGOLO Uno dei problemi classici della geometria euclidea non risolubile con riga e compasso LA TRISEZIONE DI UN ANGOLO

Si può trisezionare un angolo? Se un angolo si può dividere in due parti uguali grazie alla costruzione della bisettrice, allora si può dividere in quattro parti uguali tracciando la bisettrice dell’angolo diviso a metà. Ma si può dividere un angolo qualunque in tre parti uguali utilizzando esclusivamente riga e compasso?

BISEZIONE DI UN ANGOLO Per bisecare con riga e compasso un angolo CÂB si individuano due lunghezze uguali AB e AC sui suoi lati. Si costruisce quindi il parallelogramma CABD e disegniamo la diagonale AD che biseca l'angolo CÂB.

Il metodo per bisecare l'angolo è dunque molto semplice Il metodo per bisecare l'angolo è dunque molto semplice. Gli antichi greci pensarono che fosse altrettanto semplice poter dividere gli angoli in ogni modo, cercarono quindi un metodo con riga e compasso che permettesse di dividere un angolo in tre parti uguali. Ben presto si accorsero che il problema era più difficoltoso: in effetti, il problema è risolvibile con riga e compasso solo per alcuni tipi di angoli, ma nel caso generale ciò non è possibile.

Il problema richiede, dato un qualsiasi angolo φ, di suddividerlo in tre angoli uguali. Sappiamo dalla trigonometria che è la tangente di un angolo si può esprimere in funzione della terza parte dell’angolo Ponendo dunque m = tan(φ) e x = tan(φ / 3) si ottiene l'equazione cubica: x3 − 3mx2 − 3x + m = 0 che è irriducibile nel campo euclideo quindi il problema della trisezione dell'angolo non è,salvo casi particolari, risolubile con riga e compasso.

Si può trisezionare un angolo retto ? Dato un angolo retto si traccia una circonferenza Γ1 con centro in A e raggio r qualsiasi; essa taglia la semiretta per A in B. Si traccia la circonferenza Γ2 con centro in B e raggio r ; essa intersecherà la circonfrenza Γ1 in D . ll triangolo ABD è equilatero Infatti AB = AD = BD = r . Quindi DAC è l’angolo che divide in tre l’angolo retto essendo uguale a = π/6 e, essendo complementare di π/3 .

Ma si può trisecare anche un angolo di π/4? Dal disegno si vede che è sufficiente, dopo aver trisecato un angolo retto, bisecare l‘angolo di π/6 ottenuto.

Tentativi di trisezionare un angolo con l’uso di una riga graduata

Il metodo di Nicomede Quello di Nicomede non è propriamente un metodo di costruzione, perché egli usò la riga per riportare una lunghezza, cioè una riga graduata costruendo rette parallele e perpendicolari ed utilizzando le proprietà degli angoli formati da rette parallele tagliate da una trasversale. Dato un angolo qualsiasi CÂB della figura tracciamo i segmenti : CD ┴AB FE // AD FA // CD HE = 2AC Detto G punto medio di HE per le proprietà dell’angolo esterno si ha da CÂB = CÂG + GÂB 2 CÊG + GÂB 2 GÂB + GÂB = 3 GÂB per cui GÂB = 1/3CÂD .

Il metodo di Archimede Nella soluzione proposta da Archimede la riga viene usata per riportare una lunghezza e, quindi, è pensata come riga graduata. Supponiamo di voler trisecare un angolo CÂB . Si disegna una circonferenza Г, con centro in A e raggio r, che interseca la semiretta c in C e la semiretta b in B ; per C tracciamo una retta d che taglia la retta b nel punto E e la circonferenza nel punto F in modo tale che EF sia congruente al raggio della circonferenza. Per A tracciamo la retta e parallela a d, la quale interseca la circonferenza in X. L'angolo XÂB è la terza parte dell'angolo dato. I due triangoli EFA e CAF sono isosceli perchè il lato EF è congruente al lato AF per costruzione mentre il lato AF è congruente al lato AC perché entrambi raggi della stessa circonferenza. Per la proprietà degli angoli alla base di un triangolo isoscele , dell’angolo esterno di un triangolo e degli angoli corrispondenti si ricava che XÂB= 1/3 CÂB d e

per risolvere il problema: utilizzo delle coniche Nuove idee per risolvere il problema: utilizzo delle coniche

Pappo di Alessandria (290–350 d Pappo di Alessandria (290–350 d.C) è stato uno scienziato animato dallo spirito che aveva posseduto Euclide.) Nel III Libro degli otto della sua opera Pappo fa una netta distinzione tra problemi "piani", "solidi" e "lineari": i primi sono risolubili solo con cerchi e rette, i secondi sono risolubili mediante l'uso di sezioni coniche e l'ultimo genere di problemi richiede grafici diversi da rette, cerchi e coniche. Il problema della trisezione dell'angolo viene presentato come un problema del secondo tipo, suggerendo alcuni metodi di risoluzione facendo uso di sezioni coniche.

IL METODO DI PAPPO Pappo partì dall’idea che, fissata una linea AB, si potesse determinare il luogo dei punti P per i quali valesse la relazione tra gli angoli formati 2 x PÂB = P B A Questo luogo geometrico è un'iperbole avente eccentricità 2, un fuoco in B e come direttrice l'asse del segmento AB

2 x PÂB = PÔB (entrambi insistono sull'arco PB) Disegniamo un cerchio che passi per A e per B e centro in un punto O; costruiamo un'iperbole con eccentricità 2, fuoco in B e direttrice l'asse di AB che intersechi il cerchio in P. Il segmento PO ottenuto triseca l'angolo AÔB. Per dimostrarlo notiamo che, dalle proprietà dell'iperbole descritta, il triangolo PXB è isoscele essendo XC = CB = a e quindi gli angoli alla base sono congruenti. Per la proprietà dell’angolo esterno di un triangolo 2 x PÂB = PBA. Ma un angolo al centro è il doppio dell'angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco quindi: 2 x PÂB = PÔB (entrambi insistono sull'arco PB) e 2 x PBA = PÔA (entrambi insistono sull'arco PA) Unendo le due relazioni si ottiene 2 x PÔB = PÔA cioè l'angolo PÔB è la terza parte dell'angolo PÔA. C

Soluzione con l'utilizzo della concoide di Nicomede Nicomede visse circa nello stesso periodo di Archimede (nel II secolo a.C.) e produsse la famosa curva concoide (conchiglia in greco) Fissiamo un punto O (detto polo) ed una retta m distante d da O. Consideriamo una seconda retta passante per O, che interseca la retta m in A. Su tale retta, da entrambe le parti rispetto ad A stacchiamo due segmenti AP = AP' ciascuno di lunghezza k. Il luogo dei punti P e P' ottenuti ruotando la retta per O si chiama appunto Concoide di Nicomede. La parte descritta dal punto più lontano ad O (cioè P) si dice ramo esterno della concoide; l'altra parte ramo interno. Ponendo il punto O nell'origine di un sistema di assi cartesiano xOy e prendendo la retta m parallela all'asse y, avente quindi equazione x = a, l'equazione cartesiana della curva è:

Soluzione con l'utilizzo della lumaca di Pascal Pascal era un prodigio matematico. Anche suo padre aveva una notevole inclinazione per la matematica; la lumaca o chiocciola di Pascal prende appunto il nome dal padre Etienne, che la studiò. Questa curva era nota agli antichi come la concoide del cerchio, ma Etienne Pascal ne fece uno studio così approfondito che da allora prende il suo nome

La lumaca di Pascal è il luogo dei piedi delle perpendicolari condotte da un punto dato A alle tangenti a una circonferenza data.  Data la circonferenza di centro O e il punto A fuori di essa, si traccia la tangente in un punto B alla circonferenza. Il punto di intersezione tra la perpendicolare a detta tangente passante per A e la tangente stessa determina il punto che genera il luogo al variare di B sulla circonferenza.

Soluzione con l'utilizzo della trisettrice di Mac Laurin La trisettrice è una famiglia di curve algebriche di ordine 3, cioè cubiche Studiata da Colin Maclaurin nel 1742 fornisce una soluzione al problema della trisezione di un angolo, come il nome stesso suggerisce. La sua equazione cartesiana è: y2 (a + x) = x2 (3-x) in particolare sono cubiche con un nodo; le tangenti in questo punto sono inclinate di ± 60° rispetto all'asse della curva. L'area del cappio vale la distanza dell'origine dal punto in cui la curva taglia l'asse x è 3a.

In figura è rappresentata la trisettrice di MacLaurin con nodo nell'origine).

Supponiamo di avere una trisettrice con nodo nell'origine che taglia l'asse x nel punto (-3,0), e sia P un punto qualsiasi sul cappio della curva. L'angolo formato dai punti[(-3,0),(-2,0),P] = 3 volte l'angolo formato dai punti[(-2,0),(0,0),P].

Un metodo meccanico per costruire la trisezione di un angolo Il trisettore di Pascal

Il trisettore è una macchina matematica con un asta imperniata in P al piano. Il sistema articolato formato dalle due aste OA e OB di ugual lunghezza l ha il vertice O scorrevole lungo la scanalatura PK, l'estremo A incernierato sull'asta a in un punto a distanza l da P e l'estremo B scorrevole lungo l'asta a. In ogni posizione l'angolo KPB è la terza parte dell'angolo KOB. Per trisecare un angolo dato si fa coincidere i suoi lati con OK e OB.

Trisettore a doppia squadra Su una lastra di plexiglas sono disegnati due segmenti perpendicolari AC e BH, ove B è il punto medio di AC, e la semicirconferenza di centro C e raggio CB. Per trisecare un angolo dato si dispone la squadra in modo tale che BH passi per il vertice dell'angolo, il punto A appartenga ad un lato e la semicirconferenza sia tangente all'altro lato dell'angolo. I triangoli AVB, BVC e CVT sono congruenti quindi l'angolo AVB è la terza parte dell'angolo AVT.

Il Trisettore di Kempe I parallelogrammi articolati ABCD, ADEF, AFGH, i cui lati sono proporzionali, hanno, a due a due, un lato e un angolo in comune, quindi sono simili. In ogni posizione le aste AD e AF trisecano l'angolo BAH. Per trisecare un angolo è sufficiente farne coincidere il vertice e un lato rispettivamente con A e con l'asta AB, quindi deformare il sistema articolato portando l'asta AH a coincidere con il secondo lato dell'angolo

CONCLUSIONI La scienza delle costruzioni con riga e compasso è rigorosamente teorica e non pratica. I matematici greci si erano posti complessi problemi di costruzione con riga e compasso che si sono potuti risolvere con l’uso dei luoghi geometrici e, quindi, delle coniche. Solo nel XIX secolo, grazie alle teorie sviluppate da Galois, Abel ed altri, questi problemi si sono rivelati irrisolvibili con l’esclusivo uso di riga e compasso.