Introduzione alla Logica Modale

Richiami di logica classica (1) Una Logica è un formalismo che mi permette di rappresentare i fatti del mondo e che mi fornisce dei meccanismi per inferire nuova conoscenza a partire da quella che già conosciamo. Una Logica è costituita da… Un Sistema Formale per descrivere i fatti del mondo Una Teoria della dimostrazione (definisce le procedure di inferenza con le quali siamo in grado di derivare nuove formule da quelle che conosciamo già). Sintassi (simboli atomici e regole per costruire formule ben formate) Semantica (indica il modo in cui le formule si rapportano agli stati del mondo)

Richiami di logica classica (2) Logica Proposizionale Sintassi: Simboli atomici Costanti logiche: Vero, Falso Simboli proposizionali: P, Q, Pippo,  , ecc… Connettivi Booleani: , , , ,  Parentesi: ( , ) Regole sintattiche Le costanti logiche ed i simboli proposizionali sono F Se α, β sono FbF, allora α, αβ, αβ, αβ, αβ, (α) sono FbF

Richiami di logica classica (3) Logica Proposizionale Semantica: La semantica è definita attraverso l’interpretazione delle costanti, dei simboli proposizionali e dei connettivi logici. Un’interpretazione è una funzione che associa ad ogni formula un valore di verità 0, 1. La costante Vero è associata sempre al fatto vero (valore di verità 1), mentre la costante Falso è associata sempre al fatto falso (valore di verità 0). Ogni simbolo proposizionale si riferisce ad un fatto del mondo (ad esempio P può riferirsi a “piove” oppure “Luigi si trova a Parigi”, ecc…). Se l’interpretazione associa 1 a P, abbiamo che P sussiste nel nostro mondo. Se l’interpretazione associa 0 a P, abbiamo che P non sussiste nel nostro mondo. Per i Connettivi Booleani valgono le usuali tavole di verità.

Richiami di logica classica (4) Logica Proposizionale Semantica: Se una formula α è vera in almeno un’interpretazione (tale interpretazione associa 1 ad α), allora α è soddisfacibile e l’interpretazione che la soddisfa è un modello di α. Se una formula α è vera in qualsiasi interpretazione, allora si dice che α è una formula valida. Se una formula α è falsa in qualsiasi interpretazione, allora si dice che α è insoddisfacibile. Il valore di verità delle formule complesse si ottiene a partire dai valori di verità delle sue parti e dalla semantica degli operatori booleani Quando sussiste questa proprietà si dice che la logica è Vero Funzionale

Richiami di logica classica (5) Logica Proposizionale Regole di Inferenza – Calcolo Tabelle di verità Un primo metodo di inferenza nella logica proposizionale è dato dal calcolo della tabelle di verità. Con esso siamo in grado di stabilire quale insieme di interpretazioni soddisfa una certa formula. Ad esempio: (AB)C A B C A  B (A  B)  C 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Richiami di logica classica (6) Logica Proposizionale Regole di Inferenza – altre regole Modus Ponens Modus Tollens α, αβ β, αβ β α Esempio: α = “Piove”, β = “il prato è bagnato” α  β = “Se piove, allora il prato si bagna” Se nella mia interpretazione è vero che piove, il modus ponens mi permette di inferire che il prato è bagnato Se nella mia interpretazione è vero che il prato non è bagnato, il modus tollens mi permette di inferire che non ha piovuto

Richiami di logica classica (7) Logica dei predicati Sintassi: Simboli atomici Costanti: C1, C2, C3,… Variabili: V1, V2, V3, … Funtori: F1(X1,…, Xn ), F2(Y1,…, Ym ),… Predicati: P1(Z1…, Zr ), P2(K1, …, Ks ),… Connettivi e Parentesi: , , , , , ( , ) Quantificatori ,  Regole sintattiche Definiamo un termine Le costanti e le variabili sono termini Se f è un funtore ad n-argomenti e t1, t2…, tn sono termini allora anche f(t1, t2,…, tn) Un predicato P ad n-argomenti applicato ad n termini è una FbF Se α, β sono FbF, allora α, αβ, αβ, αβ, αβ, (α), xα, xα sono FbF

Richiami di logica classica (8) Logica dei predicati Semantica: La semantica viene definita rispetto ad un mondo di riferimento D In questo caso, un’interpretazione è una funzione che associa… Ad ogni costante un individuo dD Ad ogni funtore ad n argomenti, una funzione f:DnD Ad ogni predicato ad n argomenti una relazione RDn. Interpretazione I soddisfa una formula F (F è vera in I): se F è una formula atomica p(t1,…,tn), allora I soddisfa F (F è vera in I) sse <I(t1),…, I(tn)> ∈ I(p) se F1, F2 sono formule composte allora Usuali tavole di verità per ￢F1, F1∧F2, F1∨F2, F1→F2, F1↔F2 ∀x F1 è vera in I sse per ogni elemento d ∈D si ha che F1[d/x] è vera in I ∃x F1 è vera in I sse esiste un elemento d ∈D per cui F1[d/x] è vera in I

Richiami di logica classica (9) Logica dei predicati – un esempio Mondo di riferimento D Costanti: Pippo, Nino Funzioni: Tavolo_di(x1), Asino_di(x1) Predicati: Fatto_di_legno(x1), Vivente(x1) Funzioni Tavolo_di(x1) Se x1= , Tavolo_di( ) Indefinita altrimenti Asino_di(x1) Asino_di( ) Pippo Nino Costanti: Interpretazione

Richiami di logica classica (10) Logica dei predicati – un esempio Mondo di riferimento D Costanti: Pippo, Nino Funzioni: Tavolo_di(x1), Asino_di(x1) Predicati: Fatto_di_legno(x1), Vivente(x1) Interpretazione Predicati: Fatto_di_Legno(x1) Vivente(x1)

Richiami di logica classica (11) Logica dei predicati – un altro esempio Il punto fondamentale da capire è la differenza tra termini e predicati. I primi corrispondono a degli individui del mondo di riferimento, mentre i secondi corrispondono a dei valori di verità 0, 1 Come secondo esempio, prendiamo il mondo dei numeri naturali. I simboli di costante sono 0, 1, 2, 3, 4, … ciascuno dei quali è associato ai ben noti concetti di “zero”, “uno”, … Come simboli di funzione abbiamo +, -, *, :, tutti a due argomenti. I predicati che consideriamo sono invece <, >,  ,  , tutti a due argomenti. Possiamo identificare un individuo con un termine, cioè utilizzando la sua costante oppure un funtore applicato a due argomenti. Ad esempio, l’individuo “quarantotto” possiamo identificarlo con la costante 48 oppure con una delle funzioni applicate ad altri termini: 6*8, 40+8, (40+10)-2, ecc… Invece, i predicati saranno associati a dei valori di verità; quindi avremo che 48<50 è vero, che 60  (3+4) è falso, ecc… N.B. Chiaramente, tutto questo vale se siamo in un’interpretazione in cui la semantica dei simboli utilizzati è definita nel modo che solitamente utilizziamo

Richiami di logica classica (12) Logica dei predicati Regole di Inferenza Modus Ponens Generalizzato α(a), α(x)β(x) [x/a]β(x) Esempio: α(x) = “Cavallo(x)”, β(x) = “Mammifero(x)” x[α(x)β(x)] = “x[Cavallo(x) Mammifero(x)]” Se un certo individuo x è un cavallo, il modus ponens generalizzato mi permette di inferire che x è un mammifero Una regola di inferenza molto potente e, soprattutto, molto utilizzata, è la risoluzione, che, però, non vediamo

Logica Modale (1)…proposizionale Sintassi: Simboli atomici Costanti logiche: Vero, Falso Simboli proposizionali: P, Q, Pippo,  , ecc… Connettivi Booleani: , , , ,  Parentesi: ( , ) Operatori modali: Nec, Poss. Regole sintattiche Le costanti logiche ed i simboli proposizionali sono F Se α, β sono FbF, allora α, αβ, αβ, αβ, αβ, (α) sono FbF Se α è una FbF, allora Nec α, Poss α sono FbF I due operatori modali sono duali: si ha che… Poss α  Nec( α)

Logica Modale Proposizionale (2) Semantica: Per gli operatori non-modali vale tutto ciò che valeva per la logica proposizionale. Per gli operatori modali la semantica si definisce in termini MONDI POSSIBILI. Mondi possibili Cosa sono i mondi possibili? Vediamoli prima dal punto di vista formale, poi cercheremo di capire “il senso che ci sta dietro” Dal punto di vista formale, l’insieme dei mondi possibili non è altro che un insieme W tale che, in ogni elemento di W, ritroviamo le stesse variabili proposizionali sotto considerazione, alle quali, però, viene assegnato un diverso valore di verità a seconda del mondo. W1 W2 W3 A:1, B:0, C:1 AB: 0 AC: 1 AB: 0 A:0, B:1, C:1 AB: 0 AC: 1 AB: 1 A:0, B:0, C:0 AB: 0 AC: 0 AB: 1 < , , , Ecc… >

Logica Modale Proposizionale (3) Mondi possibili: relazione di accessibilità Inoltre, tra i mondi possibili esiste la relazione di accessibilità. Se esiste una relazione di accessibilità WxWy, allora il mondo Wy sarà visibile dal mondo Wx. Nell’esempio qui sotto… W1 ha accesso a sé stesso ed a W3 W2 ha accesso solo a W1 W3 ha accesso solo a sé stesso W1 W2 W3 A:1, B:0, C:1 AB: 0 AC: 1 AB: 0 A:0, B:1, C:1 AB: 0 AC: 1 AB: 1 A:0, B:0, C:0 AB: 0 AC: 0 AB: 1 < , , , Ecc… >

Logica Modale Proposizionale (4) Semantica degli operatori modali Detto questo, definiamo la semantica degli operatori modali nel seguente modo: Nec α è vero in Wx se e solo se α è vero in tutti i mondi accessibili da Wx. Poss α è vero in Wx se e solo se α è vero in almeno un mondo accessibile da Wx. W1 W2 W3 A:1, B:0, C:1 AB: 0 AC: 1 AB: 0 Nec A: 0 Nec C: 1 Poss A: 1 A:0, B:1, C:1 AB: 0 AC: 1 AB: 1 Nec A: 1 Nec C: 1 Poss A: 1 A:0, B:0, C:1 AB: 0 AC: 1 AB: 1 Nec A: 0 Nec C: 1 Poss A: 0 < , , , Ecc… >

Logica Modale Proposizionale (5) Perchè tutto questo? Nella logica modale non ci accontentiamo di assegnare un valore di verità alle formule, cioè di decretare se un certo fatto è vero o falso, ma abbiamo diversi modi (da qui il nome della logica…) in cui una formula può essere vera o falsa . In particolare, una formula può essere… Vera\Falsa necessariamente, per forza in qualsiasi contesto. Vera\Falsa possibilmente, cioè in modo contingente ad una certa situazione. Ad esempio, se guardo fuori dalla finestra e vedo che Piove, il simbolo proposizionale P, corrispondente a questo fatto, è vero (P: 1) perché qui ed adesso sta piovendo, è vero possibile (Poss P: 1), perché vedo che in almeno un mondo (quello in cui sono) sta piovendo, ma non è vero-necessario (Nec P: 0), perché potrebbe anche non piovere e me ne posso accorgere perché, se mi informo del tempo nelle altre città, scopro che non sta piovendo in tutte. Invece, se considero il simbolo proposizionale M, associato al fatto “l’uomo è mortale”, avrò che M è vero necessariamente (Nec M: 1), perché non potrebbe essere altro che così: in tutte le città della Terra, al giorno d’oggi, gli uomini sono mortali.

Logica Modale Proposizionale (6) La relazione di accessibilità Attenzione!!! Nella slide precedente ho detto: “…in tutte le città della Terra, al giorno d’oggi…”. Queste città non sono altro che i mondi ai quali posso accedere (Attenzione! Non è l’insieme dei mondi possibili): è definita una relazione di visibilità dal mio mondo (Torino) a tutte le città della Terra al giorno d’oggi. M: 1 Nec M: 0 … Tuttavia, se io ho accesso ad altri mondi possibili, in cui le persone possono essere immortali (ad esempio, le città della “terra di mezzo” o qualche altro mondo di fantasia), allora il fatto che l’uomo sia mortale non è più necessariamente vero. Minas Tirith M: 0 Torino New York Canicattì M: 1 Nec M: 1 … M: 1 … M: 1 … , < , , Ecc… >

Logica Modale Proposizionale (7) A cosa ci può servire la logica modale? Con la logica modale siamo in grado di modellare\formalizzare l’intelligenza, cioè di costruire degli agenti intelligenti in grado di operare in ambienti dinamici, come fanno gli esseri umani. Ad esempio, pensiamo ad un agente che si trova in una stanza buia ed, a tastoni, scopre che c’è un interruttore sul muro. L’agente riesce ad uscire dalla botola e, a tastoni (la luce non l’ha accesa), raggiunge un’altra stanza…anch’essa al buio… Comprensibilmente, l’agente pensa che l’interruttore accenda la luce… Invece, dopo che lo ha premuto, si apre una botola sotto di lui e l’agente casca giu… Trova un altro interruttore…ma questa volta ci pensa bene prima di accenderlo!

Logica Modale Proposizionale (8) Il nostro agente ha agito in modo scorretto (non doveva accendere l’interruttore…), ma non ha agito in modo stupido…d’altronde, anche noi, al suo posto, avremmo agito in questo modo… Il nostro obiettivo è proprio questo: costruire agenti software razionali e non onniscienti: un agente razionale è colui che, in ogni momento, fa la scelta che CREDE sia la migliore. La logica modale ci permette di costruire agenti razionali…proviamo a vedere una possibile ricostruzione in logica modale del nostro scenario di esempio… … In tutte le stanze in cui l’agente è stato in passato, l’interruttore piazzato sul muro accendeva la luce; ecco perché l’agente CREDE che anche in questo caso, l’interruttore illuminerà la stanza…

Logica Modale Proposizionale (9) Le stanze in cui l’agente si ricorda di essere stato non sono altro che i mondi a cui l’agente ha accessibilità. In essi vale la formula IL, dove I si riferisce al fatto “interruttore premuto” ed L “la luce è accesa”. Di conseguenza, nella stanza in questione, cioè il mondo in cui si muove l’agente, avremo che Nec(IL) è vero, anche se, come l’agente scoprirà, in tale mondo IL è falso. Attenzione! L’agente non ha accessibilità al mondo in cui si muove: non riesce a vedere che, in esso, IL è falso. Invece, quando l’agente si trova nella nuova stanza, si ricorda che, in quella precedente, IL era falso (adesso, egli avrà accesso ad un ulteriore mondo possibile), e quindi anche Nec(IL) diventa falso: l’agente ci pensa bene prima di accendere. … IL: 1 Nec(IL): 0 IL: 0 In tutte le stanze in cui l’agente è stato in passato, l’interruttore piazzato sul muro accendeva la luce; ecco perché l’agente CREDE che anche in questo caso, l’interruttore illuminerà la stanza… … IL: 1 Nec(IL): 1

Logica Modale Proposizionale (10) La logica modale non è vero funzionale A differenza di quanto avveniva per le altre due logiche che abbiamo visto, la logica modale non è vero-funzionale: il valore di verità di una formula non è più funzione del valore di verità delle sue sottoformule. Infatti, se, all’interno del mondo W1, abbiamo la formula Nec(α) (oppure Poss(α)), il valore di tale formula non dipende solo dal valore di α in W1, ma anche dal valore di α negli altri mondi a cui abbiamo accesso. Ad esempio, la frase Luigi crede che Mario sia spagnolo può essere vera indipendentemente dal fatto che Mario sia spagnolo oppure no.

Logica Modale Proposizionale (11) Meccanismi di Inferenza: Tableaux Semantici Uno dei meccanismi di inferenza più utilizzato nella logica modale è il metodo dei tableaux semantici. Tale meccanismo è concettualmente molto simile alla risoluzione, (che abbiamo accennato in precedenza). Nei Tableaux semantici, le dimostrazioni avvengono per assurdo: se io ho una certa teoria 1, 2,…,n e voglio dimostrare che una certa formula α è vera in tale teoria, allora dimostro che la teoria 1, 2,…,n, α è una contraddizione (sempre falsa): non può esistere un contesto in cui tale teoria è vera. ╞ ╞ Se riesco a dimostrare che la suddetta teoria è una contraddizione, allora concludo che… 1, 2,…,n ╞ α Illustriamo i tableaux semantici dimostrando che, nella logica modale, la formula NecP (Nec(PQ) Nec Q) E’ una formula valida (sempre vera).

Logica Modale Proposizionale (12) Meccanismi di Inferenza: Tableaux Semantici W1 Per assurdo, ipotizzo che esiste almeno un mondo, W1, in cui la formula è falsa. NecP (Nec(PQ) Nec Q): 0 L’implicazione è falsa solo quando il suo antecedente è vero ed il conseguente è falso. NecP: 1 Nec(PQ) Nec Q: 0 Analogamente per l’implicazione interna. Nec(PQ): 1 Nec Q: 0 W2 Se Nec Q è falso in W1, allora esiste un mondo W2, accessibile da W1, in cui Q è falso Q: 0 Ma un’implicazione è vera solo quando l’antecedente (P) è falso oppure il conseguente (Q) è vero…entrambe queste scelte portano ad una contraddizione. Q: 1 P: 0 In tale mondo, per forza si ha che P e PQ sono veri P: 1 PQ: 1

Logica Modale Proposizionale (13) Sistemi modali Qui di seguito presento alcuni sistemi modali, cioè delle teorie in cui imponiamo determinati assiomi ad essere veri. Tali sistemi vengono utilizzati per descrivere e, soprattutto, per limitare, le possibilità di un agente intelligente, cioè di restringere l’insieme di mondi possibili in cui l’agente dovrà agire: l’agente dovrà operare solo in quei mondi che rispettano i vincoli imposti dagli assioma. Come vedremo, l’introduzione di alcuni assiomi restringerà soprattutto la relazione di accessibilità: al fine di preservare la verità dell’assioma, l’agente dovrà avere una visibilità limitata sugli altri mondi. I sistemi modali sono organizzati tra loro in una gerarchia.

Logica Modale Proposizionale (14) Sistema modale K Assioma K: NecP (Nec(PQ)Nec Q) Accessibilità: nessun vincolo sulla relazione di visibilità. Questo assioma, che abbiamo dimostrato prima con i tableaux semantici, non è altro che un modus ponens con l’operatore di necessità. Non abbiamo nessun vincolo sulla relazione di visibilità (l’assioma resta vero con qualsiasi relazione di visibilità imposta tra i mondi possibili) e da ciò ne consegue che qualsiasi sistema modale è un sistema modale K: il sistema K è quindi la radice della gerarchia. Esercizio: Proviamo a dimostrare, con i tableaux semantici, se la formula Poss(PNecQ)Poss(PPossQ) E’ una formula valida (sempre vera), insoddisfacibile (sempre falsa) o soddisfacibile (ma non valida…cioè vera per alcune interpretazioni e falsa per altre) in K.

Logica Modale Proposizionale (15) Esercizio: Poss(PNecQ)Poss(PPossQ)…vediamo se è valida W1 Per assurdo, ipotizzo che esiste almeno un mondo, W1, in cui la formula è falsa. Poss(PNecQ)Poss(PPossQ): 0 L’implicazione è falsa solo quando il suo antecedente è vero ed il conseguente è falso. Poss(PNecQ) : 1 Poss(PPossQ): 0 Se Poss(PNecQ) è vero, deve esserci un mondo W2 in cui PNecQ è vero. PNecQ: 1 W2 In tale mondo, per forza si ha che PPossQ è falso, dal momento che Poss(PPossQ) è falso in W1 PPossQ: 0 P: 1 NecQ: 1 Se la prima congiunzione è vera, sono veri entrambi i congiunti. Ma se P è vero e PPossQ è falso, si ha per forza che PossQ è falso. PossQ: 0 W2 puo esistere! Basta che sia un mondo ceco, cioè che non ha accesso a nessun altro mondo, neanche a sé stesso.

Logica Modale Proposizionale (16) Sistema modale D Assioma D: NecPPoss P Accessibilità: la relazione di visibilità deve essere seriale: ogni mondo deve avere accesso almeno ad un altro mondo. In questo sistema imponiamo che ciò che è necessario è anche possibile. In questo sistema, chiamato Deontico, Nec viene interpretato come obbligatorio e Poss come permesso. L’assioma ci dice quindi che abbiamo il permesso di fare ciò che siamo obbligati a fare…o, analogamente, che se siamo obbligati a fare una certa cosa, allora non ci viene impedito di farla. Per questo motivo, questo sistema è chiamato sistema della necessità morale. Esercizio: Proviamo a dimostrare, con i tableaux semantici, se la formula NecPP E’ una formula valida (sempre vera), insoddisfacibile (sempre falsa) o soddisfacibile (ma non valida…cioè vera per alcune interpretazioni e falsa per altre) in D.

Logica Modale Proposizionale (17) Sistema modale T Assioma T: NecPP Accessibilità: la relazione di visibilità deve essere riflessiva: ogni mondo deve avere accesso almeno a se stesso. E’ chiaro che se la relazione è riflessiva, è anche seriale: T è contenuto in D. Questo assioma è chiamato assioma di necessità: ogni formula necessaria in W è per forza vera W Esercizio: Proviamo a dimostrare, con i tableaux semantici, se la formula Poss(PNecP) E’ una formula valida (sempre vera), insoddisfacibile (sempre falsa) o soddisfacibile (ma non valida…cioè vera per alcune interpretazioni e falsa per altre) in T.

Logica Modale Proposizionale (18) Esercizio: Poss(PNec P)…vediamo se è valida W1 Poss(PNec P) : 0 PNec P: 0 P: 1 Nec P: 0 P: 0 W2 P: 1 Nec P: 0 PNec P: 0 Contraddizione! La formula di sopra è quindi valida in T.

Logica Modale Proposizionale (19) Sistema modale S4 Assioma S4: NecPNec Nec P Accessibilità: la relazione di visibilità deve essere transitiva: se w1 vede w2 e w2 vede w3, allora w1 deve vedere w3. Poiché in S4 è sottoclasse di T (il cui assioma è NecPP), in S4 abbiamo che NecPNec Nec P; questo significa che un qualsiasi sequenza di operatori Nec davanti ad un formula P si può “semplificare” nella formula Nec P. E’ possibile dimostrare che, in S4 vale anche la bi-implicazione PossPPossPoss P. Esercizio: Proviamo a dimostrare, con i tableaux semantici, se la formula Nec(PQ)NecNec(Poss P  Poss Q) E’ una formula valida (sempre vera), insoddisfacibile (sempre falsa) o soddisfacibile (ma non valida…cioè vera per alcune interpretazioni e falsa per altre) in S4.

Logica Modale Proposizionale (20) Sistema modale S5 Assioma S5: PossPPoss Nec P Accessibilità: la relazione di visibilità deve essere simmetrica: se w1 vede w2, allora w2 deve vedere w1. In questo sistema, se una formula P è possibile, allora è anche possibile che sia necessaria. Si può dimostrare che in questo sistema valgono le equivalenze NecPPossNecP e PossPNecPossP. Esercizio: Proviamo a dimostrare, con i tableaux semantici, se la formula Nec(NecP  Q)(NecP  NecQ) E’ una formula valida (sempre vera), insoddisfacibile (sempre falsa) o soddisfacibile (ma non valida…cioè vera per alcune interpretazioni e falsa per altre) in S5.

Logica dei Predicati Modale (1) Vediamo rapidamente la logica dei predicati modale che non è altro che un’estensione della logica dei predicati che contempla gli operatori Nec e Poss, già visti per la logica proposizionale modale. Sintassi: Simboli atomici Costanti: C1, C2, C3,… Variabili: V1, V2, V3, … Funtori: F1(X1,…, Xn ), F2(Y1,…, Ym ),… Predicati: P1(Z1…, Zr ), P2(K1, …, Ks ),… Connettivi, Parentesi e Quantificatori: , , , , , ( , ), ,  Operatori modali: Nec, Poss Regole sintattiche Le costanti e le variabili sono termini Se f è un funtore ad n-argomenti e t1, t2…, tn sono termini allora anche f(t1, t2,…, tn) Un predicato P ad n-argomenti applicato ad n termini è una FbF Se α, β sono FbF, allora α, αβ, αβ, αβ, αβ, (α), xα, xα sono FbF Se α è una FbF, allora anche Nec α e Poss α lo sono.

Logica dei Predicati Modale (2) Semantica: La semantica della logica dei predicati modale è un po’ più complicata…ne vediamo una versione semplificata. Assumiamo che il dominio di riferimento D sia lo stesso per tutti i mondi possibili e che le costanti e le funzioni (cioè i termini) denotano sempre gli stessi individui di D per ogni mondo possibile. Un’interpretazione viene definita come una quadrupla <W, R, D, V>, dove W è l’insieme dei mondi possibili, R la relazione di visibilità tra mondi possibili (sarà quindi un insieme di elementi in WxW), D è il mondo di riferimento e V è una funzione che associa, ad ogni mondo e per ogni predicato n-ario, una relazione su Dn. Ad esempio… W = w1, w2 R = <w1, w1>, <w1, w2>, <w2, w2> D = i1, i2, i3, i4, i5 V = <BIANCO: <w1, i1, i3>, <w2, i1, i4>>, <ROSSO: <w1, i2, i4>, <w2, i5>>, <BLU: <w1, i5>, <w2, i2, i3>>

 Nec(φ) parametrizzato su A Knowledge & Belief (1) Vediamo rapidamente ora in un framework molto simile a quello della logica modale…ma non identifico. Questo framework (e le sue estensioni) è quello che solitamente si utilizza in intelligenza artificiale per progettare agenti software. Abbiamo due operatori base Know(A, φ) e Bel(A, φ) che, rispettivamente, si riferiscono al concetto di conoscenza e di credenza. Attraverso la formula Know(A, φ) Io asserisco che l’agente A sa che la formula φ è vera. Questo operatore, in pratica, corrisponde all’operatore di Necessità della logica modale (esso è solo parametrizzato su un certo agente A): asserire che un agente A sa φ, significa asserire che non esiste una situazione (cioè un mondo possibile) in cui φ è falsa.  Nec(φ) parametrizzato su A Invece, attraverso la formula Bel(A, φ) Io asserisco che l’agente A crede che la formula φ è vera. Anche l’operatore Bel coincide con il Necessario! (ricordarsi l’esempio dell’agente che accende la luce: egli credeva che l’interruttore premeva, perché, per lui, l’implicazione IL era vera in tutti i mondi che vedeva…cioè era necessaria).  Nec(φ) parametrizzato su A

Knowledge & Belief (2) Qual è la differenza? La differenza tra i due operatori si trova negli assiomi del framework con il quale facciamo delle inferenze: gli assiomi che per il Know sono diversi da quelli del Bel. Assiomi di Know: (Know(A, φ)  Know(A, φψ))  Know(A, ψ) -- distribution axiom (axiom K) Know(A, φ)  φ – knowledge axiom (axiom T) Know(A, φ)  Know(A, Know(A, φ)) – positive introspection axiom (axiom S4) Know(A, φ)  Know(A, Know(A, φ)) – negative introspection axiom (axiom S5) Attenzione! l’ultimo assioma impone una visibilità euclidea e non simmetrica (se w1 vede w2 e w3, allora w2 e w3 devono vedersi a vicenda)…tuttavia, è possibile dimostrare che una visibilità riflessiva+transitiva+euclidea è uguale ad una visibilità riflessiva+transitiva+simmetrica. Assiomi di Bel: Bel(A, φ)  Bel(A, Bel(A, φ)) – positive introspection axiom (axiom S4) Bel(A, Bel(φ))  Bel(φ) – (axiom T…una versione più debole) Bel(A, φ)  Know(A, Bel(A, φ)) Bel(A, φ)  Bel(A, φ) – (se A crede φ, allora non crede al suo contrario) Attenzione! La visibilità per il secondo assioma è: se w1 vede w2 e w2 vede w3, allora w2 vede sé stesso.

In che modo utilizziamo Know e Bel? Knowledge & Belief (3) In che modo utilizziamo Know e Bel? La differenza tra i due operatori si trova negli assiomi del framework con il quale facciamo delle inferenze: gli assiomi che per il Know sono diversi da quelli del Bel. Supponiamo di dover progettare un agente che conduce esperimenti di ricerca in fisica. Tutte le nuove teorie che l’agente ipotizza (e che vuole verificare) dovranno essere asserite tramite l’operatore Bel; infatti, esse sono ipotesi, e, quindi, non dobbiamo implicare la verità delle medesime nel nostro mondo. Se l’agente, attraverso le apparecchiature a sua disposizione, misura dei valori (temperatura, pressione, ecc…) che non coincidono con quelli calcolati dalle sue ipotetiche teorie, allora dovrà rimuovere, dalla sua Kb le credenze che aveva su tali teorie ed asserire che, adesso, egli crede alla falsità delle stesse. Invece, le teorie già note e già dimostrate in passato dovranno essere asserite tramite il know. Ad esempio, il fatto che l’accelerazione di gravità è di 9,8 m\sec^2 sarà asserito con il know: se l’agente misura una diversa accelerazione di gravità, dovrà concludere che ha sbagliato misurazione o che l’apparecchiatura è malfunzionante, ma certo non dovrà cambiare il fatto g=9,8 m\sec^2 dalla sua Kb…perché dopo tutti questi secoli di ricerca in fisica, possiamo essere più che sicuri che il valore sia proprio quello. N.B. Naturalmente, se la forza di gravità della Terra dovesse effettivamente cambiare (a causa di sconvolgimenti climatici o altro), l’agente non funziona più…ma è anche vero che, in questa ipotesi, avremo ben altro di cui preoccuparci rispetto ad un agente software che non funziona…