Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a ELETTROMAGNETISMO APPLICATO LL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA_4A (ultima modifica 16/10/2012) CAMPO DI CORRENTE Si definisce campo di corrente la regione dello spazio nella quale ha sede una distribuzione continua di corrente elettrica. Esso è stazionario, se le grandezze che caratterizzano la sua distribuzione sono indipendenti dal tempo. Al fine di definire le grandezze che caratterizzano un campo di corrente, si consideri una vaschetta riempita di liquido conduttore omogeneo e isotropo nella quale vengano immersi due elettrodi collegati ai terminali di un generatore di tensione costante. M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a Mediante un tensiometro elettrico sono individuabili delle superfici equipotenziali: lungo dei punti di uguale tensione rispetto ad un punto di riferimento arbitrario (per esempio il morsetto del generatore). Sono inoltre tracciabili le superfici ortogonali a quelle equipotenziali dette superfici di forza o di flusso. + V 100V M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a Per l’esempio considerato la distribuzione delle superfici ortogonali a quelle equipotenziali, dette superfici di forza o di flusso, ha l’andamento riportato in figura . A B 100 50 25 75 M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a Considerando due superfici equipotenziali i cui potenziali siano rispettivamente V e V-dV e un punto generico P sulla superficie a potenziale V: P n dl V V-dV M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a Si definisce in P il campo elettrico o vettore forza elettrica il vettore normale alla superficie equipotenziale in P, con verso che va dalla superficie a potenziale maggiore a quella a potenziale minore e modulo pari a: Il segno meno è necessario per la conformità con la convenzione che il potenziale aumenta in senso contrario al campo In base alla definizione data il campo può essere espresso come il gradiente di V: Con il voltmetro (tensiometro elettrico ) è possibile verificare che il vettore di forza elettrica è ovunque irrotazionale. M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a Essendo il campo irrotazionale, la sua circuitazione lungo una qualsiasi linea chiusa è nulla: Infatti: dove A e B sono due punti generici del campo. A B l dl M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a

legge delle tensioni in forma locale. Applicando il teorema di Stokes lungo un percorso l che delimita una superficie A: con operatore vettore nabla e operatore rotore risulta : ossia il campo elettrico è irrotazionale, questa è la legge delle tensioni in forma locale. M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a Con l’amperometro (reometro elettrico ) si può verificare che la densità di corrente è dappertutto solenoidale ossia: Il flusso di attraverso una superficie chiusa è uguale a zero. Si consideri una superficie elementare dA staccata su una superficie equipotenziale da tante linee di flusso tali da costituire un tubo di flusso elementare di altezza dl : dl V V-dV dA P M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a Si definisce vettore densità di corrente il vettore tangente alle linee di flusso e normale alle superfici equipotenziali in P (posto nel centro della superficie equipotenziale dA); con verso uguale a quello positivo per la corrente (verso i potenziali decrescenti) e; modulo pari al rapporto tra la corrente che attraversa la superficie elementare: con n versore della normale alla superficie equipotenziale elementare dA in P: M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a

e applicando il teorema della divergenza : Se è in ogni punto uniforme indipendente dalla posizione del punto P, la corrente è deducibile dalla relazione . Inoltre poiché per il principio di conservazione dell’energia la corrente attraverso una superficie chiusa deve essere uguale a zero: e applicando il teorema della divergenza : Dove V è il volume racchiuso dalla superficie A, da cui: (con operatore di divergenza), Quindi il vettore densità di corrente è solenoidale. Questa è la legge delle correnti in forma locale. M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a Sono state definite complessivamente a) Due grandezze scalari o globali Tensione U associata a una coppia di punti [V] Corrente I associata a una superficie [A] b) Due grandezze vettoriali, o locali, o puntuali Forza elettrica associata ad un punto Densità di corrente associata ad un punto M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a Legge di Ohm in forma locale Si consideri un cilindretto elementare infinitesimo con le basi su due superfici equipotenziali e superficie cilindrica laterale formata da linee di flusso: dl V V-dV dA P Il bipolo infinitesimo associato al cilindretto è caratterizzato dalla sua resistenza elementare, definita come: poiché è uniforme, la differenza di potenziale tra le due superfici elementari sarà: -dV=Edl. M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a Poiché la densità di corrente uniforme: dI=J dA e quindi dove: pari alla la resistenza del bipolo infinitesimo per unità di lunghezza e di area, è una caratteristica del materiale e si chiama resistività . L’inverso della resistività è la conducibilità: M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a Poiché e hanno la stessa direzione in ogni punto la relazione scalare è valida anche vettorialmente: forma locale diretta della legge di Ohm forma locale reciproca della legge di Ohm M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a Condizioni al contorno del campo di corrente Consideriamo un percorso l infinitesimo rettangolare ABCD in corrispondenza della superficie di separazione di due conduttori con resistività diversa come riportato in figura con AD=BC>>AB=CD: A B D C Si applichi la legge delle tensioni in forma locale , imponendo che la circuitazione di E lungo il percorso ABCD sia uguale a zero. M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a Trascurando i contributi della integrazione uguali e opposti sui tratti AB e DC, si ha: Passando da un mezzo a resistività a un mezzo a resistività , le componenti tangenziali del campo rimangono invariate. Se ancora, si applica la legge delle correnti in forma locale risulta per il teorema della divergenza che: M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a Se si considera un cilindretto infinitesimo disposto in corrispondenza della superficie di separazione dei due mezzi e avente la superficie laterale trascurabile rispetto alla superficie delle basi, per la legge delle correnti in forma locale si ha: Ossia la componente normale della densità di corrente è continua attraverso la superficie di separazione. M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a L’angolo che il vettore campo elettrico forma con la normale alla superficie di separazione nel mezzo i, è definito dalla relazione: Dividendo le relazioni trovate, tra di loro: Questa relazione rappresenta la legge della rifrazione delle linee di forza elettrica e di corrente, secondo la quale è maggiore nel mezzo a conducibilità più elevata, ossia devia allontanandosi dalla normale alla superficie di separazione, passando in mezzo a conducibilità maggiore. M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a

Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a Per (conduttore-aria) il campo in aria è normale alla superficie del buon conduttore , infatti: +V M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica_4a