Gli Integrali

Primitiva Prima di definire gli integrali bisogna definire la primitiva di una funzione: “Si definisce primitiva di una funzione f(x) (continua e derivabile in un intervallo [a;b]), la funzione F(x) (derivabile nello stesso intervallo),la cui derivata F'(x) è uguale ad f(x).”

Integrale indefinito => ∫f(x)dx=F(x)+c Abbiamo due tipi di integrali uno di questi e quello indefinito che è l'insieme di tutte le primitive F(x) di f(x). Dato che più funzioni hanno la stessa derivata se differiscono per una costante allora l'insieme delle primitive di f(x) sarà F(x) + c con numero reale qualunque. Integrale indefinito => ∫f(x)dx=F(x)+c

Calcolo degli Integrali Indefiniti Esistono vari metodi immediati per calcolare alcuni integrali...

Calcolo degli Integrali Indefiniti ...altri metodi invece sono meno immediati ma consentono il loro calcolo. Integrazione per parti Integrazione per sostituzione ∫f'(x)f(x) dx= ∫z dz z= f(x) dz=D(f(x))dx

Integrale Definito => ∫f(x)dx=lim Sn Supponiamo di voler calcolare l'area di una parte di un grafico delimitata da una curva. Non conoscendo formule già dimostrate l'unica alternativa è quella di dividere quest'area in tante figure uguali di cui conosciamo la formula per il calcolo dell'area. Se queste divisioni sono infinite sommandole si avrà l'area precisa della curva. L'integrale definito è proprio il valore di questa area. Possiamo definirlo come il limite per n che tende ad infinito della somma delle aree. Integrale Definito => ∫f(x)dx=lim Sn n->∞

Ecco un esempio... Difetto Eccesso Si possono inoltre effettuare due tipi di divisioni una che prende il valore minimo dell'intervallo come altezza e invece una che prende il valore massimo avendo cosi un arrotondamento per difetto o per eccesso

Errori... Il metodo della suddivisione in rettangoli però si ha un errore nel calcolo dell'area dato da questa formula: M è il max di |f'(x)| in [a;b]

Metodo dei Trapezi Esiste però un altro metodo quello che consiste nel dividere l'area non in rettangoli ma in trapezi. Questo metodo è molto più preciso del precedente, dopo aver fatto le suddivisioni con la formula: si calcola l'area dei vari trapezi che si formano prendendo come base magg. e min. Il min o max della funzione in quell'intervallo e si sommano come nel metodo precedente.

Applicazione Del Metodo Dei Trapezi Questa è l'applicazione del metodo dei trapezi il cui errore seppur minore di quello del metodo dei rettangoli è dato da: dove M è il max di |f”(x)| in [a;b].

Utilizzo Degli Integrali Gli Integrali possono essere utilizzati per molti scopi, uno di questi è il calcolo delle probabilità, calcolando l'integrale definito della funzione normale.