LANALISI QUANTITATIVA NELLA RICERCA IN DIDATTICA DELLE MATEMATICHE 1- Problematica «quantitativa» della didattica 2- Risposte della statistica classica 3- Rottura epistemologica della statistica : Lananlisi dei dati, sue possibilità e modi di risposta 4- Presentazione breve di tre metodi : · lanalilsi fattoriale · lanalisi gerarchica delle similarità · lanalisi statistica implicativa Prof. Régis GRAS, Ecole Polytechnique de lUniversité de Nantes, Institut de Recherche en Informatique de Nantes Istituto di Istruzione Superiore Gen. A.Cascino - Piazza Armerina – Febbraio 2003

1-Problematica quantitativa in didattica La didattica cerca dei fondamenti teorici attraverso analisi dinchieste, osservazioni per : formulare delle ipotesi sullapprendimento esplicitare delle variabili didattiche Cercare delle invarianti, dei «teoremi» didattici Al fine di guadagnre in : · pertinenenza e rigore · validità, riproducibilità · predittibilità LANALISI QUANTITATIVA ….

Problematica «quantitativa» in didattica. Alcune questioni dordine didattico, dallesame della contingenza: procedure e gerarchia a priori comparate a delle procedure et una gerarchia a posteriori ; come osservare lo scarto? come qualificarlo? quantificarlo ? · analisi della complessita, delle associazioni, dei fattori associati ad un insieme ditems · quale é linfluenza delle variabili didattiche ? · come si piazzano certi allievi, certe categorie di allievi rispetto alle variabili che intervengono? · dietro le strategie stabili di risposte, possiamo distinguere delle concezioni? Degli ostacoli? delle relazioni necessarie?

LANALISI QUANTITATIVA …. 2- Risposte (e pratiche) della statistica classica (« falso sino a prova contraria ») necessità di accordo statistico-ricercatore-praticien sugli scopi di un progetto danalisi construzione di un modello parametri dosservazione, degli elementi dinformazione realizzazione dellesperienza analisi, validazione di un modello esposizione e dibattiti sui risultati eventuale costruzione di un nuovo modello

LANALISI QUANTITATIVA …. Ma vi sono delle condizioni da soddisfare (in generale) : * identificare, probabilizzare le variabili * presupporre (spesso) delle ipotesi di normalità * saper formulare delle « ipotesi nulle » * Accettare dei metodi lunghi di incrocio 2 a 2 delle variabili * Schiacciare lindividualità del soggetto nel campione… altrettante condizioni diffcilili nelle scienze umane (psicologia, sociologia,…), o in altre un pò più formalizzate: medecina, economia, … ricerca di altri metodi per: sintetizzare, strutturare i dati, identificare le variabili e i fattori nascosti, le loro associazioni, la loro gerarchia …

LANALISI QUANTITATIVA …. 3 – Rottura epistemologica: dalla statistica classica allanalisi dei dati Elementi di congiunzione : * Formalizzazione concettuale in algebra, geometria, probabilità, … * Numerose ricerche nellesplorazione e gestione delle conoscenze * Crescita esponenziale delle informazioni di ogni ordine * Il computer con le sue capacità di sviluppo continuo in materia di: - stockage - trattamento rapido di calcoli complessi - rappresentazione variata multidimensionale

LANALISI QUANTITATIVA …. La rottura concerne dunque : * Gli obiettivi : descrivere, condensare, strutturare, spiegare *i mezzi (tecnici) * I dati trattai (numero, natura,…) * I soggetti dellanalisi (variabili e/o individui) * I modi di restituzione dei dati trattati : tavole numeriche, visualizzazione grafica * I procedimenti (dai dati ai modelli) e « vero sino a prova contraria » * I metodi matematici impiegati * I concetti in gioco (algebra, geometria, combinatoria, probabilità, …

LANALISI QUANTITATIVA …. Ma prudenza…(finzione della transparenza) necessità di : · Preparare delle congetture · scegliere un metodo di analisi adatto : Cercare dei fattori discriminanti analisi fattoriale …….. …….... …… ….. Cercare una partizione nuvole dinamiche

- cercare delle inferenze, una genesi analisi implicativa - cercare una tipologia classificazione gerarchica

LANALISI QUANTITATIVA …. Necessita di … · codificare le variabili e costituire una tabella esaustiva, pertinente, omogenea, compatibile con il metodo in gioco · comprendere (succintamente) quali sono i concetti matematici alla base delle strutture (spazi vettoriali, algoritmi, criteri probabilistici,…) · interpretare da una sintesi e formulare ipotesi dai risultati con attitudine critica · associare loro, eventualmente, un metodo inferenziale classico

LANALISI QUANTITATIVA …. 4- Presentazione breve dellanalisi fattoriale In generale sono trattai due tipi di tabelle Tabella di contingenza I soggetti i. ………….. ……... ………... é lindividuo i per la variabile j Caso bianrio (pre- senza-assenza) : = 1 o 0 J variabili j Var. suppl.k

Tabella di Burt Variable 1Variable j Modalité k Variable m Modalité q Variable 1………..……………… … ……………………..………………… Variable j, modalité k……….. …………………… ……………… … …………………….. ………..I k ………….. ……………………… ………………… Variable m, …………………… modalité q……….. …………………… ……………… … ……………………… ……………………... ……… I qk ………… ……………………… ………………… La tabella é simmetrica. Le sotto-tabelle situate sulla diagonale sont diagonali I k é il numero dei soggetti che possiedono la modalità k della variabile j I qk é il numero dei soggetti che possiedono la modalité q della variabile m et la modalità k della variabile j. Il principio matematico consiste nel déterminare gli assi principali dinertzia dei dati immersi in uno spazio di dimensione uguale al numero di variabili, e per questo, il principio ritorna a diagonalizzare una matrice, poi fare delle proiezioni sulla base dei vettori.

LANALISI QUANTITATIVA …. 4- Analisi gerachica delle similarità e analisi implicativa Sia A (risp. B) linsieme dei soggetti che possiediono lattributo a (risp.b). n (a e b) é il numero dei soggetti che possiedono simultaneamente a e b n ( a e non b) é il numero dei soggetti che possiedono a senza possedere b. Questi sono i contro-eeempi allimplicazione a b. Se a e b fossero indipendenti, N(a e b) sarebbe il cardinale atteso di A B e N(a e non b) sarebbe il cardinale atteso di A. Un indicatore di similarità é Prob[N(a et b)< n(a et b)] Un indicatore di implicazione é Prob[N(a et non b)>n(a et non b)]

Dati : E (n soggeti) ; V(v variabili) (esempi: attributi, descrittori, intervallli, ranghi, …) Obbiettivi : 1° Quantificare con (a,b) lintensità della quasi-implicazione o regola : «se variabile a allora generalmente variabile b», non a => b, poi rrappresentare con un grafo ponderato le relazioni quasi-implicative su V ESTENSIONE DEL METODO DI ANALISI IMPLICATIVA

(a => b) => ((c => d) => e) quindi rappresentare con una gerarchia ascendente orientata la struttura di V in classi implicative 3° Individuare i livelli significativi della gerarchia 4° Quantificare le caratteristiche e i contributi dei soggetti e delle variabili supplementari, negli archi del garfo e nelle classi della gerachia 2° Quantificare lintensità dei meta-teoremi o meta-regole del tipo