Cenni storici sulle equazioni di primo grado Si legge in un epigramma dell’Antologia Palatina, attribuito a Metrodoro di Bisanzio grammatico e aritmetico vissuto nel VI secolo d.C., una curiosa indicazione dalla quale è possibile trarre l’età del grande matematico greco Diofanto di Alessandria vissuto tra il II e III secolo d.C. << Ecco la tomba che racchiude Diofanto; una meraviglia da contemplare! Con artificio aritmetico la pietra insegna la sua età: Dio gli concesse di rimanere fanciullo un sesto della sua vita, dopo un altro dodicesimo le sue guance germogliarono; dopo un settimo egli accese la fiaccola del matrimonio; e dopo cinque anni gli nacque un figlio. Ma questi, giovane disgraziato e pur tanto amato, aveva appena raggiunto la metà dell’età cui doveva arrivare suo padre, quando morì. Quattro anni ancora, mitigando il proprio dolore coll’occuparsi della scienza dei numeri, attese Diofanto prima di raggiungere il termine della sua esistenza>>.

ci imbattiamo in enunciati che hanno anche un sapore poetico. Cenni storici Come si vede si tratta proprio di un problema di primo grado. Se indichiamo infatti, con X l’età alla morte del matematico, autore della famosa Aritmetica in tredici libri (opera di algebra malgrado il titolo) si ha: X = 1/6 X + 1/12 X + 1/7 X + 5 + 1/2 X + 4 da cui si deduce che X = 84. Diofanto visse dunque 84 anni. Possiamo anzi osservare che venne considerato fanciullo sino ad un sesto della sua vita, cioè fino a 14 anni; mise la barba a 21 anni (21= 14 + 84/12) e si sposò a 33 anni (33 = 21 + 84/7). Non dobbiamo meravigliarci della forma piuttosto aulica ed elaborata del problema. Anzi, se ci spostiamo verso oriente, ci imbattiamo in enunciati che hanno anche un sapore poetico.

Si noti l’armoniosa delicatezza formale di questo problema: Leggiamo ad esempio nel trattato indiano intitolato Lilavati dal nome di una fanciulla cui l’autore Bhaskaracaya (XII sec. D.C.) si rivolge nei suoi quesiti: << Vezzosa e cara Lilavati, i cui occhi somigliano a quelli di un giovane daino, dimmi qual è il numero che risulta dal moltiplicare 135 per 12>> Qui non si tratta, in verità, di un’equazione di primo grado ma semplicemente di un calcolo tra due numeri assegnati. Altre volte, però, alla “bella fanciulla dagli occhi lucenti ”, come viene altrove chiamata, viene chiesta l’impostazione e la risoluzione di equazioni di primo grado e talvolta anche di secondo grado. Si noti l’armoniosa delicatezza formale di questo problema: << Un quinto di uno sciame di api si posa su un fiore di kudamba, un terzo su un fiore di silindha. Tre volte la differenza tra i due numeri volò sui fiori di un kutuja, e rimase solo un’ape che si librò qua e là nell’aria, ugualmente attirata dal grato profumo di un gelsomino e di un pandamus. Dimmi tu ora, donna affascinante, qual era il numero delle api?>> .

che portavano ad equazioni e a sistemi di primo e secondo grado. Ebbene, se indichiamo con X il numero delle api, traducendo il problema in formule incolori e inodori, abbiamo: X =1/5 X + 1/3 X + 3(1/3 X – 1/5 X) + 1 Da cui si ricava che X = 15. Come si vede, le equazioni di primo grado erano note sia ai matematici greci, sia ai matematici indiani che probabilmente le avevano apprese proprio dai greci. Prima ancora dei Greci, comunque, altre civiltà molto più antiche avevano affrontato la risoluzione di problemi che portavano ad equazioni e a sistemi di primo e secondo grado. Nelle tavolette babilonesi e nei papiri egiziani si trovano infatti numerosi esempi di queste equazioni con enunciati e soluzioni completamente privi di un simbolismo algebrico.Consideriamo, ad esempio, il problema 25 del famoso “ Papiro di Rhind ”. questo papiro risale al 1800 a.C. circa e si trova nel British Museum di Londra. È detto di Rhind perché così si chiamava chi per primo lo acquistò dai suoi scopritori). << Una quantità sommata con la sua metà diventa 16 >>.

Noi scriveremo subito: X + 1/2 X = 16, 3X = 32, X = 32/3 = 10 + 2/3. Invece la risoluzione è indicata così: << Conta con 2. Allora (1 + ½) di 2 è 3. Quante volte 3 deve essere moltiplicato per dare 16, lo stesso numero di volte deve essere moltiplicato 2 per dare il numero esatto. Allora dividi 16 con 3 . Fa 5 + 1/3 . Ora moltiplica 5 + 1/3 per 2. Fa 10 + 2/3. Hai fatto come occorre: la quantità è 10 + 2/3; la sua metà è 5 + 1/3; la loro somma è 16>>. Il matematico egiziano ottiene il risultato con l’applicazione di un procedimento molto diffuso nell’antichità, detto della “falsa posizione”. Questo metodo è l’antenato del nostro metodo algebrico usuale e, in particolare, di quel procedimento che chiamiamo del “tre semplice”. Anziché indicare il valore da trovare con x, lo si pone uguale ad un numero vero e proprio(2 nel nostro caso): se operando su di esso come vuole l’enunciato si perviene proprio al risultato richiesto (16), allora si è già risolto il problema. In caso contrario si stabilisce in che rapporto stanno il risultato richiesto (16) e quello ottenuto (1 + ½) x 2= 32/3 = 10 + 2/3. Si tenga presente che quel procedimento è legato alla proporzionalità diretta tra i numeri di partenza e i risultati ottenuti (x:2 = 16:3) ed è valido solo per particolari problemi di primo grado.

Diofanto appartiene al periodo più tardo della matematica greca. Quello che mancava essenzialmente a quest’algebra era la possibilità di indicare in qualche modo il numero incognito. L’incognita appare esplicitamente per la prima volta in Diofanto che la chiama “ aritmos ”,cioè numero (incognito), e la indica con il simbolo  , probabilmente perché questa “ s ” greca è la lettera finale del suo nome. Diofanto appartiene al periodo più tardo della matematica greca. Infatti, la matematica si sviluppa in Grecia dal 600 al 300 a.C. circa (periodo ellenico propriamente detto) ed esplode in tutta la sua grandezza dal 300 a. C. (data indicativa dell’apparizione dei famosi Elementi di Euclide) al primo secolo dell’Era cristiana (periodo ellenistico). Nell’opera di Diofanto quasi non si parla delle equazioni di primo grado ad una incognita che erano ormai note a tutti gli studiosi ; esse vengono comunque risolte con metodi molto simili a quelli che ancora oggi usiamo. Anche i matematici greci anteriori a Diofanto, affrontavano questi problemi rivestendoli della “più bella ”e, per quei tempi, più sicura geometria. Risolvere ad esempio un’equazione del tipo a x= b può trasformarsi nel problema di cercare la misura x dell’altezza di un rettangolo la cui base misura a e la cui area è b. Proprio un problema del genere si trova negli Elementi di Euclide, nel più vasto ambito delle cosiddette “ applicazioni delle aree”, argomento che la tradizione fa risalire alla scuola pitagorica. 

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