Sfere e cilindri: un viaggio nelle geometrie Progetto Elites 2005

Che cosè una linea retta sulla sfera?

Esperimentare il cammino sulla sfera: quando si va diritti? Esempi: camminare con un piede di qua e laltro di là del parallelo e fare i passi lunghi uguali; elastico; macchinina con le ruote che aderiscono alla superficie

Una retta sulla sfera = rotta aerea

Due idee: - Andare diritto - Linea più corta

-Non rette ma geodetiche -Le geodetiche della sfera sono circonferenze max -I segmenti sono archi di circonferenze max

Due punti A, B individuano (almeno) due segmenti; se si può, si prende il più corto. Non sempre un segmento di retta AB è la linea più corta tra A e B.

Il concetto di curvatura

La nozione di curvatura per una curva è molto semplice MOLTO CURVA POCO CURVA

CURVATURA = 1/R R R R Su di una circonferenza

La lunghezza di una circonferenza rispetto al raggio varia con la superficie: L > 2 r L < 2 r r r r L = 2 r

r r Quindi larea del cerchio sulla superficie può essere minore (maggiore) di r 2

CURVATURA = 0 CURVATURA < 0CURVATURA > 0

Un triangolo è fatto di geodetiche

5/3 Area sfera = 4 (raggio = 1) Ang = 7/6 Area = 1/6 Ang = 2 Area = Ang = 5/3 Area = 2/3 Ang = 3/2 Area = 1/2

TORINO A C = ( - A C = ( - g. iperbolica A C= ( - A C= ( - g. ellittica

La somma degli angoli interni di un triangolo sferico è maggiore di 180° La curvatura della sfera è maggiore di 0 Data una retta e un punto P esterno ad essa, esistono 0 parallele alla retta data passanti per P g. ellittica

La somma degli angoli interni di un triangolo è minore di 180° La curvatura è minore di 0 Data una retta e un punto P esterno ad essa, esistono parallele alla retta data passanti per P g. iperbolica

Che cosè una linea retta sul cilindro?

-Le geodetiche del cilindro sono circonferenze parallele alle basi -Generatrici -Spirali (o eliche)

Ogni punto ha infiniti punti corrispondenti sui vari ricoprimenti Due punti A, B individuano almeno un segmento; per prendere il più corto bisogna considerare quello del primo ricoprimento. Non sempre un segmento di retta AB è la linea più corta tra A e B. N ricoprimenti N spire

La somma degli angoli interni di un triangolo sulla superficie cilindrica è uguale a 180° La curvatura è uguale a 0 Il cilindro è una superficie sviluppabile dal piano

GRAZIE