Lalgebra nella Storia Secondo Nesselman, tre stadi: 1) Retorico o primitivo: si esprime tutto con parole 2)Sincopato, intermedio: alcune abbreviazioni 3) Simbolico MMosca SIS Piemonte

1° stadio al-Khuwarizmi (Bagdad, 850) Al–jabr wal muqabalah Restaurazione Riduzione Completamento Equilibrio (Trasposizione dei termini (Somma dei sottratti ai due membri termini simili ) di unequazione ) MMosca SIS Piemonte

2° stadio Diofanto (250 d.C.) SS2 C7 x5 M S4 u 6 MMosca SIS Piemonte

1° stadio Tartaglia in risposta a Cardano Quando chel cubo con le cose appresso Se aguaglia a qualche numero discreto …. MMosca SIS Piemonte

1°- 2° stadio R.Bombelli L ALGEBRA (1572) Radice quadrata R.q. Radice cubica R.c. Radice quadroquadrata RR.q. Radice prima incomposta, over relata R.p.r. Potenza potenza eguale a potenze Tanti e numero MMosca SIS Piemonte

2°- 3° stadio F.Viète ( ) Indica con una vocale lincognita Indica con una consonante una grandezza o un numero che si assumeva come noto (parametro) MMosca SIS Piemonte

P. Ruffini (1799) N.H.Abel (1824) Teorema Unequazione polinomia di grado 5° o maggiore non è in generale risolubile per radicali MMosca SIS Piemonte

E. Galois ( …1846) Teorema Perché unequazione irriducibile avente per grado un numero primo sia risolvibile per radicali, è necessario e sufficiente che tutte le sue radici siano funzioni razionali di due qualsiasi di esse. Permutazione delle radici di unequazione polinomia… Struttura di gruppo MMosca SIS Piemonte

ASSIOMI di PEANO PER LARITMETICA (Arithmetice principia nova methodo exposita, 1889) 1)N 0 è una classe (i suoi elementi sono numeri) 2)Zero è un numero 3)Se a è un numero, il successivo di a è un numero 4)Zero non è il successivo di nessun numero 5)Due numeri i cui successivi siano uguali sono uguali 6)Se una classe S di numeri contiene lo zero e contiene anche il successivo di ogni numero di S, allora ogni numero è contenuto in S ( pr.induzione) MMosca SIS Piemonte

Assiomi del campo dei razionali Assiomi del campo dei reali + Addizione * Moltiplicazione Operazioni interne Proprietà associativa Proprietà commutativa Ciascuna ha un elemento neutro Ogni elemento ha un inverso rispetto a + e * ( tranne che lo 0 per la moltiplicazione). Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alladdizione MMosca SIS Piemonte

ERRORI MMosca SIS Piemonte

2 aDovè finita la seconda a ? Lo studente dà un significato materiale, fisico, alle scritture E memore del significato delle operazioni con i numeri naturali (specie delladdizione, che rappresenta laggiungere…) MMosca SIS Piemonte

3 a + 2 b = 5 a b 2+ 3x = 5x Le ragioni dello studente: Lanalogia con il calcolo numerico in cui si giunge sempre ad un unico numero Le parole dell insegnante e del libro calcola Strafare: a scuola più si fa più si è premiati … Estensione di ambiti di applicazione, generalizza quanto ha visto per la moltiplicazione tra monomi MMosca SIS Piemonte

Non sbaglia con i numeri perché con essi egli ha un forte controllo semantico MMosca SIS Piemonte

Come PREVENIRE gli errori Premettere e svolgere sempre attività di modellizzazione Usare materiali concreti Dare punti solidi di riferimento: gli assiomi Dedurre i teoremi (regole di trattamento) Far compiere esplorazioni numeriche, anche con le tecnologie MMosca SIS Piemonte

3° tipo di Rimedio 1)Confronta la 5 a e la 7 a colonna: sono diverse? 2)In generale a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 ? MMosca SIS Piemonte

Cè qualche caso in cui luguaglianza è vera?… Esistono alcuni valori razionali (reali) di a e b per i quali a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 è vera? Spiega MMosca SIS Piemonte

In un tempo successivo Cè qualche caso numerico in cui luguaglianza a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 è vera? Spiega a 2 + b 2 = ( a + b) 2 ; 0 = 2 a b a = 0 b = 0 MMosca SIS Piemonte