Numeri Complessi. “Radici quadrate di numeri negativi” Perchè?

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1 Numeri Complessi

2 “Radici quadrate di numeri negativi” Perchè?

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4 Problema: Cardano, Ars Magna cap.XXXVII, (1545) Dividi 10 in due parti il cui prodotto è 40 Girolamo Cardano (Pavia, 24 settembre 1501 – Roma, 21 settembre 1576?)

5 Problema: Cardano, Ars Magna cap.XXXVII, (1545) Dividi 10 in due parti il cui prodotto è 40 le soluzioni sono:

6 Problema: Cardano, Ars Magna cap.XXXVII, (1545) Dividi 10 in due parti il cui prodotto è 40 le soluzioni sono:

7 Girolamo Cardano (1501 – 1576?) Così progredisce la sottigliezza aritmetica il cui fine, come si dice, è tanto raffinato quanto inutile.” “Lasciando da parte le torture mentali connesse:

8 “E’ giusto che le radici delle equazioni siano spesso impossibili [complesse], per esibire casi di problemi impossibili.” Newton (1728)

9 Equazioni di terzo grado Niccolò Tartaglia, soprannome di Niccolò Fontana (Brescia, 1499 – Venezia 1557)1499) Gerolamo Cardano (Pavia 1501 – Roma, 1576?)Pavia– Ro6?) Scipione del Ferro (Bologna,1465 – Bologna, 1526) Lodovico Ferrari (1522 –1565) ?

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13 Caso Irriducibile le soluzioni sono:

14 Caso Irriducibile le soluzioni sono:

15 Usando la formula risolutiva Caso Irriducibile le soluzioni sono:

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17 ? Viene introdotto il simbolo

18 “Né le vere né le false [negative] radici sono sempre reali; talvolta esse sono immaginarie.” Descartes, Géométrie (1637) Haye en TouraineHaye en Touraine, 31 marzo 1596 – Stoccolma, 11 febbraio 1650)StoccolmbraiRené Descartes

19 “Lo Spirito Divino trovò una via d’uscita sublime in quel mostro dell’analisi, quel portento del mondo ideale, quell’anfibio fra essere e non essere, che chiamiamo radice immaginaria dell’unità negativa.” Leibniz (1702)

20 “Dove sono i Numeri complessi?” Rappresentazione grafica

21 1234-20 Numeri reali 1/2 Retta reale

22 1234 i 2i 3i -i -2i -2 4+2i Numeri complessi Piano complesso o piano di Argand-Gauss Karl Friederich Gauss, (Braunschweig, 1777 – Gottinga,1855) Jean-Robert Argand (Ginevra 1768 – Parigi, 1822)GinevraPari2)

23 Asse immaginario Asse reale w=2-i Numeri complessi

24 Asse immaginario Asse reale w=2-i Numeri complessi

25 modulo di z = distanza di z dall’origine

26 Numeri complessi modulo di z = distanza di z dall’origine

27 Numeri complessi modulo, parte reale, parte immaginaria

28 1234 i 2i 3i -i -2i -2 Numeri complessi Opposto di w

29 1234 i 2i 3i -i -2i -2 Numeri complessi -w = opposto di w

30 1234 i 2i 3i -i -2i -2 Asse immaginario Asse reale Numeri complessi coniugato di z

31 1234 i 2i 3i -i -2i -2 Asse immaginario Asse reale Numeri complessi Opposto e coniugato

32 Numeri complessi

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36 4 2i -i z=4+2i Rappresentazione trigonometrica |z| Modulo di z Argomento di z

37 4 2i -i z=4+2i Rappresentazione trigonometrica

38 4 2i -i z=4+2i Rappresentazione trigonometrica |z| Modulo di z

39 4 2i -i z=4+2i Rappresentazione trigonometrica |z| Modulo di z Argomento di z

40 4 2i -i z=4+2i Rappresentazione trigonometrica |z| Modulo di z Argomento di z

41 Rappresentazione Algebrica e Trigonometrica

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44 Operazioni con Numeri Complessi

45 Somma:

46 Operazioni con Numeri Complessi Somma: Prodotto: quadrati, cubi,...

47 Operazioni con Numeri Complessi Somma: Prodotto: quadrati, cubi,... Radici: quadrate, cubiche,...

48 Operazioni con Numeri Complessi Somma: Prodotto: quadrati, cubi,... Radici: quadrate, cubiche,... Esponenziali:

49 Operazioni con Numeri Complessi Somma: Prodotto: quadrati, cubi,... Radici: quadrate, cubiche,... Esponenziali:

50 Somma di numeri complessi

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53 Esempio

54 1234 i 2i 3i -i -2i -2 z=4+2i Asse immaginario Asse reale w=2-i 65 Somma di numeri complessi Regola del Parallelogramma

55 1234 i 2i 3i -i -2i -2 z=4+2i Asse immaginario Asse reale w=2-i 65 z+w=6+i Somma di numeri complessi Regola del Parallelogramma

56 1234 i 2i 3i -i -2i -2 z=4+2i Asse immaginario Asse reale w=2-i 65 z+w=6+i Somma di numeri complessi Regola del Parallelogramma

57 Modulo della differenza di due numeri complessi 1234 i -i -2i -265

58 Modulo della differenza di due numeri complessi 1234 i -i -2i -265

59 Modulo della differenza di due numeri complessi 1234 i -i -2i -265

60 Modulo della differenza di due numeri complessi 1234 i -i -2i -265

61 Modulo della differenza di due numeri complessi 1234 i -i -2i -265

62 Prodotto di numeri complessi

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69 i 1

70 i 1

71 i 1

72 i 1 Inverso del numero complesso:

73 i 1

74 i 1

75 Inverso del numero complesso in forma trigonometrica: in forma algebrica:

76 Esercizi Scrivi in forma algebrica: Scrivi in forma trigonometrica:

77 Potenze di numeri complessi

78 i 1

79 a i 1 r i b

80 Potenze di z=1+i

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85 Esercizi Disegnate sul piano di Gauss:

86 Radici di un numero complesso Le radici quadrate di un numero complesso z sono tutti quei numeri che elevati al quadrato danno z. Supponiamo che: allora se e solo se

87 Radici quadrate dell’unità immaginaria se e solo se cioè se

88 Radici quadrate di i

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90 Radici terze di un numero complesso Le radici terze di un numero complesso z sono tutti quei numeri che elevati al cubo danno z. Supponiamo che: allora se e solo se

91 Radici cubiche di i:

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95 Radici cubiche:

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97 Radici quarte:

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99 Seallora

100 Seallora

101 Seallora

102 Seallora

103 Seallora

104 Seallora

105 Seallora

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110 ha 2 soluzioni ha 3 soluzioni ha n soluzioni

111 Teorema fondamentale dell’algebra ha sempre L’equazion e soluzioni nel campo complesso. Karl Friederich Gauss, (Braunschweig, 1777 – Gottinga,1855)

112 Teorema fondamentale dell’algebra ha sempre L’equazion e (Contandole con la loro molteplicità) soluzioni nel campo complesso.

113 Algebra

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