Introduzione Fisica: scienza sperimentale basata su esperimenti studia la materia, i suoi componenti e le loro interazioni per spiegare i fenomeni che osserviamo scienza quantitativa i risultati degli esperimenti vengono sistematizzati e correlati secondo il metodo scientifico (o metodo sperimentale) utilizzando gli strumenti forniti dalla statistica la misura deve essere riproducibile misure fatte nelle stesse condizioni devono dare i medesimi risultati

Osservazione osservazione di un fenomeno: analisi accurata: delle caratteristiche delle circostanze che lo producono dei fattori che lo influenzano

Osservazione esempio: osservazione della caduta di un corpo sotto l'azione del suo peso fattore di disturbo: la resistenza opposta dall'aria si cerca di eliminare questa resistenza il moto così ottenuto è un moto uniformemente accelerato per facilitare la comprensione del fenomeno sotto osservazione esso viene eseguito in condizioni accuratamente predisposte riproducibili astrazione

Metodo Scientifico ricerca di teorie valide capaci di riportare la spiegazione del maggior numero possibile di fatti sperimentali ad un piccolo numero di principi questi principi base devono avere capacità predittive

Grandezze Fisiche l'osservazione deve essere quantitativa: tradursi in un enunciato quantitativo (formula matematica) delle osservazioni effettuate leggi fisiche è fondamentale per poter tradurre le leggi della Fisica in espressioni matematiche concetto di grandezza fisica: definiamo una serie di operazioni di laboratorio consentono di associare ad un concetto fisico un valore numerico grandezze fisiche della stessa specie si dicono omogenee

Grandezze Fisiche molte grandezze fisiche sono note in quanto di uso quotidiano: lunghezza tempo volume forza deve essere chiaro come si misurano la definizione di una grandezza fisica è operativa: descrive una serie di operazioni da compiere per effettuare la misura

Misura l'operazione di misura non è altro che il confronto dell'oggetto da misurare con una grandezza campione assunta come unitaria dobbiamo sapere a quale unità di misura si riferisce il valore che stiamo trattando una grandezza è specificata da: un numero (risultato dell'operazione di misura) una unità di misura (indica il tipo di grandezza fisica) tempo t = 2.3 s spazio l = 12.8 m il campione deve essere: invariabile facilmente riproducibile preciso riconosciuto universalmente unità di misura

Misura V = d/t la misura di d e t è diretta, quella di vm è indiretta si possono distinguere due tipi di misura: misura diretta: confronto diretto con la grandezza campione misura indiretta: si ricava dalla misura di altre grandezze esempio: la velocità media vm (si misura in “m/s”) è definita come il rapporto tra lo spazio percorso d e il tempo t necessario a percorrerlo V = d/t la misura di d e t è diretta, quella di vm è indiretta la misura è sempre affetta da errori

Sistemi di Unità di Misura c'è un numero limitato di grandezze fisiche fondamentali tutte le altre grandezze vengono derivate da queste le grandezze fondamentali sono tra loro indipendenti la scelta della loro unità di misura non influisce sulle altre la scelta della unità di misura può essere arbitraria le grandezze derivate sono quelle la cui definizione operativa è fondata sull'uso delle grandezze fondamentali

Sistemi di Unità di Misura un sistema di misura è formato da tutte le unità fondamentali e da tutte le unità derivate nel Sistema Internazionale di misura le grandezze fondamentali sono: nella prima parte del corso si utilizzeranno solo lunghezza, massa e tempo e loro derivate

Grandezze fondamentali della meccanica lunghezza: l'unità di misura è il metro è 1650763.73 volte la lunghezza d'onda della radiazione elettromagnetica emessa dall'isotopo 86 del kripton nella sua transizione tra gli stati 2p10 e 5d5 quando la lampada è alla temperatura del punto triplo dell'azoto tempo: l'unità di misura è il secondo è la durata di 9192631770 oscillazioni della radiazione emessa dall'isotopo 133 del cesio nello stato fondamentale 2S½ nella transizione dal livello iperfine F=4, M=0 al livello iperfine F=3, M=0

Grandezze fondamentali della meccanica massa gravitazionale: la massa indica quanta materia c'è in un corpo, la sua quantità si ha misurando il peso del corpo (massa gravitazionale mg) l'unità di misura è il kilogrammo la massa di un campione custodito a Parigi presso l'Ufficio Internazionale di Pesi e Misure che consiste in un cilindro di platino-iridio di 39 mm di diametro e 39 mm di altezza con l'ausilio di una bilancia si possono confrontare masse gravitazionali tra loro e con l'unità campione dalla definizione deriva che è proporzionale alla forza esercitata dalla attrazione terrestre sul corpo

Grandezze fondamentali della meccanica massa inerziale: più avanti troveremo un'altra proprietà della materia, l'inerzia ogni corpo oppone una resistenza a variare il proprio moto per variare lo stato di quiete o di moto di un corpo occorre applicargli una forza questa proprietà della materia introdotta attraverso l'inerzia si indica con il nome di massa inerziale e la indicheremo con mi

Sistemi di Misura altri sistemi di misura che utilizzano unità diverse CGS MKS

Sistema di Misura c'è una notazione per indicare i multipli e sottomultipli di una unità di misura

Ordini di grandezza

Equazioni dimensionali per stabilire il legame tra grandezze derivate e quelle fondamentali si utilizzano le equazioni dimensionali sono importanti per: definire le unità di misura derivate verificare la correttezza dimensionale delle equazioni Superficie: Volume: Densità:

Equazioni dimensionali per una grandezza meccanica G: [G]= [mn lk th]

Operazioni con grandezze fisiche i calcoli tra grandezze fisiche si esprimono come uguaglianze tra i simboli dato un parallelepipedo di altezza h = 4 m, larghezza l = 3 m e profondità b = 5 m il volume sarà: V = l · b · h = 3 m · 5 m · 4 m V = 60 m3 in questo modo otteniamo anche l'unità di misura del volume

Operazioni con grandezze fisiche le regole dell'algebra valgono per i valori numerici e per le unità di misura la somma e differenza di grandezze fisiche ha senso solo se esse sono tra loro omogenee il prodotto o il rapporto di grandezze si ottiene moltiplicando o dividendo anche le unità di misura per passare da un'unità di misura ad un'altra si può esprimere l'unità di misura iniziale in termini dell'altra: v = 30 km/h = 30 · 1000 m /(1 · 3600 s) v = 8.3333 m/s km ora

l'angolo è una grandezza derivata Angoli nel Sistema Internazionale gli angoli vengono misurati in unità di arco angolo in radianti: il rapporto tra l'arco b e il raggio r di un settore circolare l'unità 1 radiante (rad) è l'angolo al centro per cui il raggio e l'arco siano uguali questa unità si ottiene come rapporto di due lunghezze essa è un numero puro, o quantità adimensionale r b  l'angolo è una grandezza derivata

Angoli angolo giro: circ/r = 2 p rad = 360 gradi angolo piatto:(circ/2)/r = p rad = 180 gradi angolo retto: (circ/4)/r = p/2 rad = 90 gradi 1 radiante sono 57,3 gradi = 180 / p 1 grado sono 0,017 radianti 2

Cinematica la cinematica studia il moto di un corpo senza considerarne le cause spostamento: quando un punto materiale si muove la sua posizione varia nel tempo traiettoria: la successione delle posizioni assunte dal corpo al variare del tempo come definiamo la traiettoria in modo più concreto?

esempio X(t) = 18 m +(12 m/s) t – (1,2 m/s2) t2 una slitta sta scivolando verso l'alto su un pendio nevoso pos. Iniz x = 18m Vel. Iniz =12 m/sec la slitta si muove sempre più lentamente via via che sale lungo la china; poi si arresta per un istante, e prende a scivolare all'indietro giù per il pendio. Un'analisi del moto della slitta fornisce la sua coordinata x come funzione del tempo x(t) = 18 m + (12 m/sec)t – (1,2 m/sec2)t2 ove x(t) viene misurata lungo il percorso della slitta e il semiasse positivo delle x è rivolto lungo la salita: costruire un grafico della coordinata della slitta come funzione del tempo da t=0.0 s a t = 8.0 s riportando i punti a intervalli di 1.0 s determinare lo spostamento della slitta tra ti = 1.0 s e tf = 7.0 s calcolare lo spazio percorso dalla slitta tra ti = 1.0 s e tf = 7.0 s lo spazio percorso è la lunghezza della traiettoria X(t) = 18 m +(12 m/s) t – (1,2 m/s2) t2

esempio Fisica 1 Meccanica - Termodinamica 3/ed W. Edward Gettys, Frederick J. Keller, Malcolm J. Skove Copyright © 2007 – The McGraw-Hill Companies srl

esempio lo spostamento tra gli istanti dati lo otteniamo come differenza tra le posizioni occupate nei due istanti dati: lo spazio percorso dalla slitta è il percorso effettivo della slitta, non la distanza tra il punto di arrivo e quello di partenza la slitta arriva ad un valore di x massimo che ricaviamo trovando il massimo della funzione x(t) per t=5 s nella posizione x(5) = 48 m

esempio quindi la slitta, nell'intervallo di tempo [1.0 s, 5.0 s] percorre uno spazio pari a nell'intervallo di tempo [5.0 s, 7.0 s] percorre uno spazio (attenzione al segno) lo spazio complessivo percorso dalla slitta tra 1 e 7 sec è Notare la distinzione tra spostamento e spazio percorso Spostamento = 43 – 29 = 14 m.

Fisica 1 Meccanica - Termodinamica 3/ed W. Edward Gettys, Frederick J Fisica 1 Meccanica - Termodinamica 3/ed W. Edward Gettys, Frederick J. Keller, Malcolm J. Skove Copyright © 2007 – The McGraw-Hill Companies srl

Sistema di riferimento non è possibile parlare di quiete, di moto o posizione in senso assoluto è sempre necessario stabilire un sistema di riferimento rispetto al quale facciamo l'osservazione P(x,y,z) Z X Y x y z O Sistema levogiro o O’ P e’ individuato da una terna ordinata di numeri (x,y,z), con segno. Individuano il segmento OP . Se cambiate il riferimento i tre numeri cambiano ma O’P individus sempre P OP e O’P sono dei vettori (raggio vettore)

moto rettilineo il caso più semplice : unidimensionale la traiettoria è un segmento di retta sistema di riferimento: retta orientata origine O fissata arbitrariamente istante t=0 fissato arbitrariamente O P(x) x

la funzione x(t) descrive il moto AB: quiete BC: moto nel verso positivo CD: quiete DE: moto nel verso negativo

Moto v = Ds/Dt la sua unità di misura è: [v]= [l t-1]= metri/secondi Una proprietà caratteristica di un moto è la velocità modulo della velocità: il rapporto tra spazio percorso e tempo di percorrenza: v = Ds/Dt la sua unità di misura è: [v]= [l t-1]= metri/secondi non dice molto sui particolari del moto

Moto rettilineo moto rettilineo uniforme: un punto si muove lungo una linea retta e percorre spazi uguali in intervalli di tempo uguali la sua velocità è costante se mettiamo in grafico lo spazio percorso (sull'asse verticale) in funzione del tempo (sull'asse orizzontale) otteniamo: i punti che rappresentano la posizione stanno su di una retta la cui pendenza tan a è la velocità v = Ds/Dt l'equazione completa della retta è S(t) = S0 + Vt

Moto vario il moto rettilineo uniforme è un caso limite in genere la velocità non si mantiene costante in questo caso il rapporto s/Dt dà solo la velocità media con cui è stato percorso il tratto s questo rapporto è la pendenza della retta che passa per i punti (t1,s1) (t2,s2)

Velocità media e istantanea la velocità in un punto preciso si chiama velocità istantanea: per conoscerla dobbiamo considerare in un intorno del punto prescelto intervalli s sempre più piccoli e misurare il tempo Dt necessario a percorrerli via via che l'intervallo t diminuisce il valore della velocità media si avvicina a quello della velocità istantanea

esempio nel caso dell'esempio della slitta: Fisica 1 Meccanica - Termodinamica 3/ed W. Edward Gettys, Frederick J. Keller, Malcolm J. Skove Copyright © 2007 – The McGraw-Hill Companies srl

Velocità istantanea Se s(t) e’ una funzione continua di t il valore della velocità istantanea risulta essere la derivata della funzione s(t) che descrive lo spazio percorso in funzione del tempo in meccanica parleremo sempre di velocità istantanea dimentichiamo cos'è la velocità media

valore (modulo) (!spostamento!/tempo) Direzione (quella dello spost.) Velocità lo spostamento avviene in una direzione e con un verso la velocità (SPOSTAMENTO/TEMPO) è quindi definita da 3 attributi: valore (modulo) (!spostamento!/tempo) Direzione (quella dello spost.) Verso (quello dello spost.) La Velocita’ e’ anch’essa un vettore.

Grandezze vettoriali in fisica possiamo classificare le grandezze in due categorie: scalari: un numero (indipendente dal sistema di riferimento) una unità di misura vettoriali: un numero una direzione un verso un punto di applicazione (talvolta) un vettore viene indicato in uno dei seguenti modi:

Moto lo spostamento non è stato trattato in modo completo Z z O x y Y avviene in uno spazio tridimensionale abbiamo trattato il caso nello spazio unidimensionale senza esplicitarlo nel caso più generale la traiettoria del corpo può essere descritta da: P(x,y,z) Z X Y x y z O anche la posizione è un vettore

Vettore velocità anche nel caso generale si definisce Ds = S2 – S1 I vettori si mettono in fila! A C B A+B=B+A=C B s2 S1 Ds A C A-B=A+(-B)

Proprietà della velocità derivata rispetto al tempo della funzione che rappresenta la posizione del corpo nello spazio in generale funzione del tempo: v(t) il segno indica il verso del moto v>0: x cresce moto nel verso positivo v<0: x decresce moto nel verso negativo

Accelerazione la velocità in genere non rimane costante accelerazione: il rapporto tra una variazione di velocità in un certo intervallo di tempo e l'intervallo di tempo in cui avviene questa variazione:

Accelerazione come nel caso della velocità possiamo definire: accelerazione media accelerazione istantanea l'unità di misura della accelerazione è:

Accelerazione (caso unidimensionale) la velocità può cambiare: modulo direzione queste due variazioni danno luogo a due accelerazioni diverse: accelerazione tangenziale: è dovuta alla variazione del modulo della velocità ha modulo pari alla derivata del modulo della velocità rispetto al tempo ha direzione parallela alla velocità nel punto se uv non cambia direzione

Accelerazione (caso bidimensionale) accelerazione radiale: il vettore velocità può cambiare anche direzione si dimostra che questa accelerazione ha: direzione parallela al raggio di curvatura locale della traiettoria modulo pari a v1 v2 v v'2 se il modulo non cambia nel caso più generale:

Accelerazione a=0: la velocità è costante moto rettilineo uniforme a=cost: la velocità cambia nel tempo uniformemente moto rettilineo uniformemente accelerato a≠cost: moto vario

Accelerazione analogamente al caso della velocità: a>0: la velocità cresce a<0: la velocità decresce relativamente alla direzione della retta sistema di riferimento una volta arrivata a 0 la velocità diventa negativa in generale l'accelerazione dipende dal tempo (a(t)) l'accelerazione è legata alla forza che agisce sul corpo dinamica

vettori modulo di un vettore: versore u: vettore di lunghezza unitaria: moltiplicazione di un vettore per un numero: somma di due vettori: V aV a > 0 bV b < 0 B A C

vettori prodotto scalare di due vettori: prodotto vettoriale: ma è anche prodotto vettoriale: modulo del prodotto: A B  A B C  A B C' 

Cinematica del punto nota la legge oraria s(t), da essa si possono ricavare la velocità e l'accelerazione in ogni istante:

Cinematica del punto non sempre conosciamo la legge oraria, a volte conosciamo solo l'accelerazione a(t), possiamo invertire le equazioni precedenti e avremo: questo richiede la conoscenza della velocità e della posizione ad un dato tempo t0 (condizioni iniziali)

Moti moto rettilineo uniforme: a=dV/dt =0 V(t) =cost = V0 quando un punto si muove lungo una linea retta e percorre spazi uguali in intervalli di tempo uguali la sua velocità è costante istante per istante il vettore velocità giace sulla stessa retta e punta nella medesima direzione possiamo trascurare il carattere vettoriale della velocità e considerarla come una grandezza scalare (entro certi limiti) a=dV/dt =0 V(t) =cost = V0 S(t) = V0dt= V0(t-t0) = V0 t + cost

Moto rettilineo uniformemente accelerato l'accelerazione a è costante (non nulla), risulta (analogamente al caso precedente) che v(t) è una retta: a(t)=cost= a v(t)= a dt = a(t-to)=at +cost1 Cost1 = V0 S(t) = at dt + V0dt = s(t) quando s0=0 e v0=0 = ½ at2 + cost2 +V0 t + cost3 S(0) =cost2 + cost3= posiz. Iniziale S(t) = S0 + V0 t + ½ a t2 anche in questo caso abbiamo trascurato il carattere vettoriale del moto

Moto rettilineo uniformemente accelerato supponiamo che un corpo parta da una situazione di riposo con accelerazione costante a: all'istante t=0 avrà velocità nulla all'istante generico t avrà velocità v(t)=at (per ipotesi a=costante) la velocità media Vm = s/t sarà uguale alla media delle velocità (iniziale e finale): Vm = (V0+V(t))/2=at/2 = s/t

Moto rettilineo uniformemente accelerato si può generalizzare al caso in cui il corpo ha velocità iniziale non nulla: all'istante t=0 avrà velocità v0 all'istante generico t avrà velocità v(t)=v0+at (per ipotesi a=costante) la velocità media sarà uguale alla media delle velocità (iniziale e finale): la velocità media è definita come: combinando le due equazioni precedenti si ottiene: e quindi:

Moto rettilineo uniformemente accelerato possiamo combinare le equazioni del moto uniformemente accelerato nel caso s0=0, v0=0 per esprimere la velocità in termini della sola accelerazione e dello spazio percorso (in termini di scalari): dalla s(t): quindi sostituendo nella v(t):

Moto rettilineo vario moto rettilineo accelerato vario: quando l'accelerazione non è costante la direzione del moto (spostamento, velocità ed accelerazione) rimane costante possono variare modulo e verso dai grafici notiamo la correlazione tra spostamento, velocità e accelerazione: a>0: la velocità cresce lo spostamento è concavo verso l'alto a=0: la velocità è costante lo spostamento cambia curvatura

Esercizio Due treni viaggiano con velocità costanti uno verso l'altro su due binari paralleli: ad un certo istante passano davanti a due stazioni distanti tra di loro d = 12 km e si incrociano dopo un tempo t = 6 min. Si calcolino le velocità dei due treni esprimendole in km/h e in m/s, se il primo treno ha velocità doppia rispetto al secondo abbiamo 4 incognite (le velocità e le distanze percorse) e quattro equazioni che le legano (sistema di 4 equazioni in 4 incognite) v1 = 2·v2 d1 + d2 = d d1 = v1·t d2 = v2·t nella seconda equazione sostituiamo le di con vit

Esercizio eliminiamo v1 grazie alla prima equazione e otteniamo: 2·v2·t + v2·t = d 3·v2·t = d v2 = d/3t =12 km/(3·6 min) = 12000 m / 1080 s = 11.11 m/s = 12 km/(18/60 h) = 40 km/h v1 = 22.22 m/s = 80 km/h

Esercizio il procedimento che abbiamo utilizzato non è quello canonico riscriviamo le equazioni che danno la posizione dei due treni nello stesso sistema di riferimento abbiamo scelto un sistema di riferimento in cui l'origine coincide con la posizione della stazione di partenza del treno 1 sappiamo che: dopo 6 minuti i treni occupano la stessa posizione la velocità del primo è doppia di quella del secondo quindi

Esercizio Il moto nel piano x, y di una particella è definito dalle equazioni: con  = 0.1 m/s2 e  = 1 m/s. Si calcolino i moduli della velocità e dell'accelerazione all'istante =10 s al tempo dato e con i parametri del problema si ottiene: per determinare l'accelerazione basta derivare rispetto al tempo le componenti della velocità: le componenti della velocità si ottengono derivando le equazioni che danno le componenti della posizione in funzione del tempo: e quindi:

esercizi data la legge oraria determinare: velocità posizione per t=0 s e per t=2 s quando passa per l'origine è un moto rettilineo uniforme velocità v = dx/dt posizione passaggio per l'origine data una velocità v=0.4 m/s costante e x(0)=-2.5 m scrivere la legge oraria determinare la posizione per t=5 s determinare quanto spazio è stato percorso tra t=0 e t=5 s è un moto rettilineo uniforme, nel verso positivo legge oraria: calcoliamo la posizione per t=0 e t=5 s e poi facciamo la differenza moto lungo il verso negativo

Esercizio Un automobile viaggia per due ore nel modo seguente: nella prima mezzora la velocità è 50 km/h, nella seconda mezzora è 90 km/h; nella seconda ora su metà del percorso coperto la velocità è 60 km/h mentre sulla rimanente metà è 120 km/h. Quanto valgono le velocità scalari medie: nella prima ora nella seconda ora per l'intero viaggio abbiamo le seguenti velocità: v1 = 50 km/h v2 = 90 km/h v3 = 60 km/h v4 = 120 km/h La soluzione del problema è: s1 = v1 · t1 = 50 km/h .5 h = 25 km s2 = v2 · t2 = 90 km/h .5 h = 45 km s3 = v3 · t3 = v4 · t4 t3 + t4 = 1 h

Esercizio 60 km/h · t3 h = 120 km/h · (1 – t3) h 180 km/h · t3 h = 120 km/h · 1 h t3 = 120/180 h = 0.6667 h t4 = 1 - t3 h = 0.3333 h s3 = s4 = v3 · t3 = 40 km vm1 = (s1 + s2)/(t1 + t2) = (25 + 45) km / (0.5 + 0.5) h = 70 km/h vm2 = (s3 + s4)/(t3 + t4) = (40 + 40) km / 1 h = 80 km/h vm = (s1 + s2 + s3 + s4)/(t1 + t2 + t3 + t4) = (25 + 45 + 40 + 40) km / (0.5 + 0.5 + 0.6667 + 0.3333) h = 75 km/h

Esercizio Durante la fase di decollo un aviogetto percorre la pista, lunga 2.25 km, in 45 s. Calcolare la velocità posseduta dall'aereo appena si stacca dal suolo (velocità di decollo) e l'accelerazione, supposta costante siamo in condizioni di moto rettilineo uniformemente accelerato: nel nostro caso: s0 = 0 m v0 = 0 m/s possiamo ricavare subito l'accelerazione: la velocità risulta potevamo ottenere direttamente la velocità

Esercizio Un aviogetto decolla da un aeroporto per raggiungere un altro aeroporto distante 1100 km. L'aereo, nella fase di involo, accelera uniformemente per 30 km sino a raggiungere la velocità di crociera di 800 km/h e, nella fase di planata e di atterraggio, decelera uniformemente con accelerazione eguale in modulo a quella corrispondente alla fase di involo. Qual'è il tempo occorrente al jet per compiere l'intero percorso supponendo che esso segua la rotta più breve? (t = 1h 27 min)

soluzione nel primo tratto l'aereo si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato, di questo moto conosciamo le seguenti cose: l'accelerazione dell'aereo risulta essere il tempo richiesto per l'accelerazione risulta: per la fase di accelerazione e di decelerazione vengono impiegati 540 s, pari a 9 minuti per la fase di volo di crociera il tempo impiegato (moto rettilineo uniforme) risulta essere: quindi

moto circolare uniforme il moto di un punto che percorre una circonferenza con velocità costante (in modulo) la velocità non può essere costante in direzione viste le caratteristiche del moto poiché la direzione della velocità varia c'è una accelerazione (accelerazione centripeta)

accelerazione centripeta : perche’? V2 V1 -V1 a r1 r2 a= (V2 – V1)/ Dt= = (V2 + (-V1))/Dt quando Dt tende a 0 r2 tende a r1 La derivata di un vettore di lunghezza costante e’ perpendicolare al vettore e a e’ diretta verso il centro Perpendicolare alla traiettoria.

Periodo si definiscono: periodico qualunque fenomeno che a intervalli regolari di tempo si riproduca secondo una stessa legge che lo caratterizza periodo (T) l'intervallo di tempo necessario affinché il fenomeno periodico considerato riprenda gli stessi caratteri frequenza () il numero di volte che questo avviene nell'unità di tempo la sua unità di misura è l'Hertz (Hz) Frequenza = 1 / T

Moto circolare uniforme lo spazio percorso durante un periodo T è pari ad una circonferenza (=2r) il modulo della velocità è: che può anche essere scritto come:

Moto circolare uniforme raggio vettore il segmento che in un generico istante congiunge il centro della circonferenza con P velocità angolare  il rapporto tra un angolo  (in radianti) descritto dal raggio vettore e il tempo impiegato a descriverlo la velocità angolare si misura in radianti/secondo (rad/s) nel caso di velocità angolare costante, in un periodo quindi avremo

Moto circolare uniforme confrontando: con: otteniamo: dove (ovviamente) anche le dimensioni tornano nel moto circolare uniforme il modulo della velocità (periferica) è proporzionale al raggio della traiettoria descritta

Tra V , W ed r c’e’ una chiara relazione Vettoriale. x y z z Y = Z x X V = W x r [ l t-1] che da’ v=wr perche’ sono perp. Osservate che vettorialmente posso anche scrivere Z = X x Y che darebbe W = r x V [l2 t-1] che e’ ovviamente parallelo a W ma ha dimensioni diverse le sue dimensioni sono quelle di un MOMENTO y x W V r

Moto circolare anche il moto circolare può essere non uniforme analogamente al moto vario, varrà la relazione: analogamente al caso di velocità varia si avrà una accelerazione angolare che si misura in rad/s2 l'accelerazione angolare è legata alla accelerazione tangente: aT = dV/dt = d(omega)/dt +Om. dr/dt e dr/dt e’ nullo

Moto circolare uniformemente accelerato è un moto in cui è costante l'accelerazione angolare  per esso valgono tutte le considerazioni fatte nel caso di moto rettilineo uniformemente accelerato (con le ovvie sostituzioni): s   v   a  

Moto relativo non ci siamo ancora preoccupati di definire come si passa da un sistema di riferimento ad un altro questo è un problema serio supponiamo di essere su di un treno, un corpo appoggiato su di un sedile sarà fermo rispetto a noi, ma sarà in moto rispetto ad un osservatore esterno (per esempio fermo sulla piattaforma di una stazione) bisogna essere in grado di rendere le due osservazioni compatibili le osservazioni dello stesso fenomeno fatte da osservatori diversi con riferimenti diversi devono essere confrontabili

Moto relativo z' z r= r0 + r’ r' P B y' r r0 A x' y x la posizione di un punto P in un sistema (A) di riferimento può essere data dal vettore r che va dall'origine del sistema al punto stesso in un altro sistema di riferimento (B) sarà data da un altro vettore r´ la posizione dell'origine del secondo sistema di riferimento rispetto al primo è data dal vettore rO per l'algebra vettoriale abbiamo quindi: z' z r= r0 + r’ r' P B y' r r0 A x' y x

Moto relativo la velocità del punto P rispetto al sistema di riferimento A è: per la proprietà delle derivate vO: è la velocità del sistema di riferimento B rispetto al sistema di riferimento A v´ : è la velocità del punto P rispetto al sistema di riferimento B Vel. di B rispetto a A

P B A Per l’accelerazione si avra’ Se i due sist. di rif. Si muovono di moto relativo rettilineo e uniforme a0= 0 e a = a’ L’accelerazione (cioe’ la fisica) e’ la stessa in sistemi di rif. in mot rett. Uniforme Principio di relativita’ Galileiano Cosa succede se B ruota ? Sia B fermo ma ruoti intorno a B con vel. angolare W. Sia P fermo rispetto a B V’ = 0 A osserva la velocita’ V = W r’. Se B in piu’ si muove rigidamente con velocita’ Vo sara’ V = Vo + W r’ Se P si muove rispetto a B con velocita’ V’ Sara’ V = Vo + V’ + Wr’ P P Wr’ r’’ B A

Moto relativo se il sistema di riferimento B ruota con velocità  rispetto al sistema A l'equazione diventa: si ha perché la derivata di r´ rispetto al tempo ha due contributi: dalla variazione del modulo r´ dalla variazione relativa di direzione e si può dimostrare che:

nel caso più generale, in cui il sistema B ruota, si può dimostrare che l'equazione che lega le accelerazioni è la seguente:

Dinamica la dinamica studia il movimento dei corpi in relazione alle cause che lo producono dobbiamo conoscere i seguenti elementi: le cause del moto (forze) con le leggi che le determinano in funzione di: posizione velocità altri parametri i parametri del corpo che intervengono in modo essenziale nel moto le equazioni del moto le relazioni che permettono di determinare il moto del corpo

Dinamica del punto per punto materiale si intende un corpo di dimensioni piccole rispetto alle altre lunghezze in gioco e del quale non interessa studiare la struttura un corpo può essere approssimato o meno a un punto materiale a seconda del problema prima di Galileo e di Newton si pensava che: lo stato naturale di un corpo (cioè un corpo non soggetto ad interazioni con altri corpi) fosse quello di quiete un corpo in moto con velocità costante richiedesse opportune interazioni con altri corpi . Questa idea sembra suggerita dall'esperienza quotidiana una cassa che si muove con velocità costante su di un piano richiede una forza fornendo una spinta alla cassa sul piano la cassa si mette in moto ma tende a fermarsi

Iº principio della dinamica questo punto di vista fu universalmente accettato finché, prima Galileo, poi Newton, eseguendo esperimenti con piani levigati confutarono questa teoria rendendo le superfici più lisce occorre meno forza per spingere la cassa, la cassa si ferma dopo aver percorso un tratto maggiore da questo lavoro, estrapolando, deriva il seguente postulato (Io principio della dinamica): un corpo persevera nel proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché non agisce su di esso una qualche causa esterna

Iº principio della dinamica un corpo non soggetto ad interazioni con altri sistemi materiali o sta fermo o si muove di moto rettilineo uniforme la proprietà che ha un corpo di opporsi a variazioni della propria velocità fu chiamata da Newton inerzia il postulato precedente è noto anche come principio d'inerzia o anche primo principio di Newton il primo principio della dinamica si riferisce ad una situazione limite, una idealizzazione che non può venire realizzata in un esperimento

Iº principio della dinamica il principio d'inerzia non può avere significato se non si specifica il sistema di riferimento usato consideriamo due sistemi di riferimento in moto traslatorio rettilineo uniforme uno rispetto all'altro: un corpo che si muove con velocità costante rispetto al primo sistema si muove con velocità costante anche rispetto al secondo i sistemi di riferimento inerziali sono sistemi di riferimento in moto traslatorio rettilineo uniforme rispetto ad un sistema di riferimento inerziale un sistema solidale con la terra è solo approssimativamente inerziale

Sistemi Inerziali quando passiamo da un sistema di riferimento inerziale ad un altro: mentre per le accelerazioni: dove, per definizione, a0 = 0 la variazione nello stato del corpo che osservo nei due sistemi è la stessa la causa di questa variazione deve essere la stessa

Iº principio della dinamica il principio d'inerzia può venire formulato nel modo seguente: in un sistema di riferimento inerziale un corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché non agisce su di esso una qualche causa esterna un altro enunciato è quello di Galileo: tutte le leggi della meccanica quali quelle relative alla caduta dei gravi, delle oscillazioni etc., sono le medesime per osservatori in moto traslatorio rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro

Iº principio della dinamica passando da un sistema di riferimento inerziale ad un altro: variano le coordinate dei corpi variano le loro velocità non cambiano le leggi che intercorrono tra queste quantità se, rispetto ad un sistema di riferimento inerziale, un corpo si muove di un moto non rettilineo uniforme, l'accelerazione del corpo deve essere legata a interazioni esterne

Forza la causa della variazione di stato di un corpo è una forza dobbiamo darne una definizione operativa che permetta di misurarla consideriamo un corpo lasciato libero di cadere: tutti i corpi che cadono sono soggetti ad una forza che indichiamo come forza peso (o forza di gravità) Questa e’ la nostra definizione di FORZA: Una forza e’ cio’ che provoca una variazione dello stato di moto di un corpo

Forza peso caduta di un corpo libero: supponiamo di far cadere un mattone dall'alto di una torre il mattone cade seguendo una certa legge oraria facendolo cadere ripetutamente la caduta segue sempre la stessa legge oraria se lasciamo cadere due mattoni assieme, contemporaneamente, seguono la medesima legge oraria del mattone singolo i due mattoni ad ogni dato istante si troveranno alla medesima quota seguendo la medesima legge oraria se i due mattoni sono a contatto seguono nuovamente la medesima legge oraria i corpi cadono tutti con la stessa accelerazione (g)

Forza peso un'altra osservazione che conferma questa osservazione è quella di due corpi diversi che vengono lasciati cadere nello stesso Momento come mostrato nella fotografia stroboscopica i due corpi di massa diversa negli stessi istanti si trovano alla stessa altezza fino al Medio Evo si credeva che i corpi pesanti cadessero verso il suolo più velocemente dei corpi leggeri Galileo arrivò alla conclusione che nel vuoto (in assenza di resistenza dovuta all'aria) tutti i corpi lasciati liberi di cadere si muovono con la stessa accelerazione costante

Forza se appendiamo un corpo ad una molla fissata ad un estremo esso scende per un tratto d e quindi si ferma (dopo alcune oscillazioni) nel caso della molla la forza peso non scompare, continua ad agire il suo effetto è l'allungamento della molla abbiamo osservato due effetti legati alla stessa forza: variazione di velocità (caduta di un corpo): Dinamico in un sistema inerziale la presenza di una accelerazione è sempre la manifestazione di una forza deformazione di un corpo (allungamento della molla): statico

Forza peso continuando a studiare il moto di un corpo soggetto alla forza peso osserviamo: la velocità di un corpo lanciato verticalmente verso l'alto diminuisce in modulo fino ad annullarsi, il corpo è quindi soggetto a un qualche tipo di forza verticale diretta verso il basso l'accelerazione ha verso opposto rispetto alla velocità

Molla una molla è un oggetto che mostra sempre uno stesso allungamento (se questo non supera un certo limite) quando gli appendiamo lo stesso oggetto due corpi che provocano lo stesso allungamento sono soggetti alla stessa forza peso se appendiamo i due corpi contemporaneamente otteniamo un allungamento doppio continuando ad aggiungere corpi “uguali” incrementiamo l'allungamento della molla sempre della stessa quantità l'allungamento della molla ci può dare una misura della forza peso

Misura di una forza definiamo un allungamento corrispondente ad una forza unitaria prepariamo una scala opportuna possiamo misurare staticamente le forze questo strumento (dinamometro) è in grado di misurare una forza solo quando il corpo è fermo il dinamometro può misurare qualsiasi forza, non solo la forza peso

Forza la forza è un vettore sotto l'azione di una forza il dinamometro, se lasciato libero di orientarsi, assume una determinata orientazione nello spazio la forza quindi non ha solo un valore ma è caratterizzata anche da una direzione (e da un verso) la direzione è quella dell'asse della molla il verso è quello definito dall'allungamento la forza è un vettore

Forza il procedimento per misurare una forza, descritto in precedenza, è vicino al concetto intuitivo che abbiamo della forza non si utilizza la forza come grandezza fondamentale per la difficoltà di ottenere un campione di misura al suo posto è stata scelta la massa, per la facilità nell'ottenere la grandezza campione l'unità di misura della forza non è arbitraria, ma bisogna esprimerla in termini delle altre grandezze fondamentali un altro strumento per la misura di una forza è la bilancia di precisione: si cerca di equilibrare l'effetto della forza da misurare con dei pesi calibri

Forza e accelerazione una accelerazione è una manifestazione di una forza: dobbiamo stabilire una relazione quantitativa tra le due possiamo applicare ad un corpo delle forze note F1, F2, F3, ... e misurare l'accelerazione prodotta su di un corpo direzione e verso di forza e accelerazione sono uguali le accelerazioni sono in genere tra loro diverse in modulo il rapporto tra forza applicata e accelerazione misurata è costante

Seconda legge della dinamica questa costante cambia se cambiamo il corpo su cui effettuiamo le misure l'azione dinamica di una forza su di un corpo è di fornire una accelerazione tale che la costante k è uno scalare definisce una caratteristica del corpo venne chiamata da Newton massa inerziale questa legge viene indicata come seconda legge della dinamica (o seconda legge di Newton) mg e mi vengono fatte coincidere

Seconda legge della dinamica la validità della seconda legge della dinamica è data da: prove sperimentali prove indirette (tutte le deduzioni che derivano da questa legge sono verificate) la validità di questa legge è limitata alla meccanica classica la seconda legge è valida anche nel caso in cui la forza non sia costante nel tempo l'equazione F = ma lega la risultante delle forze agenti alla accelerazione del corpo massa e forza sono legati tra loro attraverso l'accelerazione

Unità di misura della forza l'unità di misura della forza viene espressa in funzione della massa: l'unità di misura della forza nel sistema internazionale è stata chiamata newton (N), quindi:

Forze Principio dell'indipendenza delle azioni simultanee: si ricava dall'osservazione se più forze agiscono su di un corpo, ciascuna produce l'accelerazione cui darebbe luogo agendo da sola se abbiamo 2 corpi che esercitano una forza su di un terzo corpo, l'accelerazione di questo corpo (a1) risulta essere la somma delle singole accelerazioni prodotte dagli altri due corpi sul corpo in esame (a12 e a13 rispettivamente): se moltiplichiamo per la massa m1:

Forze quindi avremo: la forza risultante agente su un corpo è la somma vettoriale delle singole forze esercitate sul corpo dai diversi sistemi materiali che interagiscono con esso questo viene anche indicato come principio di sovrapposizione

Sistemi non inerziali se passiamo da un sistema di riferimento (inerziale) ad uno in moto accelerato vario (non inerziale) sappiamo che l'accelerazione osservata sul secondo sistema è quindi misuriamo una forza dove i termini hanno le dimensioni di una forza

Sistemi non inerziali questi termini si indicano con il nome di forze apparenti in quanto all'osservatore non inerziale appaiono come forze ma non sono riconducibili a nessuna origine fisica compaiono solo grazie al moto del sistema di riferimento

detta forza peso o peso del corpo l'accelerazione posseduta da un corpo in caduta libera si chiama accelerazione di gravità e viene indicata con il simbolo g l'accelerazione di gravità vale circa 9.81 m/s2 per il secondo principio di Newton su un corpo di massa m agisce una forza pari a detta forza peso o peso del corpo

Forza peso la variazione di g rispetto alla latitudine è dovuto alla rotazione della terra e al fatto che la misura si riferisce ad un sistema solidale con la terra e quindi non inerziale la variazione con l'altezza è dovuta alla variazione della distanza del corpo dal centro della terra

Misura della massa si può utilizzare la seconda legge della dinamica per stabilire la scala di misura della massa supponiamo di avere una forza F che applichiamo alla nostra massa campione m0 e al corpo di massa m questa relazione vale anche per gli scalari e quindi questa è una misura dinamica l'esperienza dimostra che il valore di m non dipende dal tipo di forza utilizzata

Misura della massa la misura dinamica della massa è fattibile, ma è imprecisa consideriamo la forza peso P: sappiamo che vale la relazione scalare poiché l'accelerazione dei corpi è la stessa (g) possiamo allora derivare un apparecchio in grado di confrontare le forze peso confronta anche le masse dei corpi lo strumento che si utilizza per questo scopo è la bilancia

Inerzia dalla seconda equazione della dinamica risulta un pò più chiaro il concetto di inerzia: la massa è una proprietà dei corpi F = ma implica che: maggiore è la massa m minore è la perturbazione a che la forza F apporta al corpo la massa è una misura della resistenza che un corpo oppone a un tentativo di modifica del suo stato (inerzia)

Massa sperimentalmente si verifica che: se due corpi A e B di masse mA e mB vengono uniti insieme a formare un corpo C, la massa mC di questo corpo è pari alla somma delle masse di A e B: la massa è una grandezza fisica additiva: nella fisica classica la materia è una quantità che si mantiene costante e si conserva questo non è più vero nella meccanica relativistica e nella meccanica quantistica relativistica