Moto di un “punto materiale” P nello spazio tridimensionale: legge del moto descritta dal vettore: OP(t) º r(t) º (x(t), y(t), z(t)) z P0 P “traiettoria” r(t) s(t) : “coordinata curvilinea” z(t) O y x(t) y(t) x x = x(t) “equazioni parametriche” della traiettoria nel parametro t (tempo) y = y(t) z = z(t) Eliminando il tempo, ad es. invertendo la funzione x(t) : t= t(x) y = y [ t(x)] = f y (x) z = z [ t(x)] = fz (x) Þ “equazioni della traiettoria” Þ U.Gasparini, Fisica I

La velocità é un vettore tangente alla traiettoria : Vettore velocità : Dr r(t) r (t+ Dt) O La velocità é un vettore tangente alla traiettoria : P(t + Dt) s(t) Dr ® dr = ds uT dr Dr Dt ® 0 P(t) versore tangente U.Gasparini, Fisica I velocità scalare

Componenti cartesiane del vettore velocità Infatti: Se è nota la funzione (vettoriale) velocità, la legge del moto r(t) si ottiene per integrazione : Þ Þ Û U.Gasparini, Fisica I

Vettore accelerazione L’accelerazione ha una componente tangente ed una componente normale alla traiettoria : a T a (raggio di curvatura) a N C a = aT uT + aN uN “centro di curvatura” accelerazione tangente : accelerazione normale : U.Gasparini, Fisica I

Accelerazione normale df uT (t+dt) uT (t) ds = r df df Il modulo del versore u T è costante: il vettore d u T è normale al versore uT ds p/2 r Il modulo del vettore d u T è uguale a d F = ds / r duT = d f uN uT (t) uT (t+dt) df In definitiva: U.Gasparini, Fisica I

Componenti cartesiane dell’ accelerazione Infatti: U.Gasparini, Fisica I

Esempio: moto circolare uniforme coordinata curvilinea s(t)=RJ (t) velocità con modulo costante: y traiettoria v(t) = wR u (t) “velocità angolare”: T P s(t)=R J (t) R O J(t) x Þ Þ Þ U.Gasparini, Fisica I

Moto circolare uniforme (II) v(t) = wR u (t) T P R s(t) J(t) O x U.Gasparini, Fisica I

Integrazione della velocità Invertendo la relazione che definisce l’accelerazione e integrando : Þ Þ Û U.Gasparini, Fisica I

Moto con accelerazione costante: moto di un “grave” a = g , vettore costante v traiettoria r g Il moto avviene nel piano individuato dai vettori g e v0 U.Gasparini, Fisica I

Equazioni parametriche della traiettoria Con opportuna scelta degli assi: posto t0 = 0 : Þ x(t) ß x0 “equazioni parametriche “ della traiettoria t y(t) Þ yM y0 t t z(t) M Þ z0 t

Equazione della traiettoria Equazioni parametriche Þ equazione della traiettoria Scelta opportunamente l’origine degli assi ß “traiettoria” : v angolo iniziale del vettore v0: a “gittata” U.Gasparini, Fisica I

Gittata nel moto di un grave Per Þ Þ Þ “gittata” : Fissato il modulo di v0 , la gittata è funzione dell’inclinazione iniziale a ; gittata massima : 0. U.Gasparini, Fisica I a

Moto circolare: vettore velocità angolare w z p / 2 v O r y P x J(t) Þ w è ^ al piano del moto, con verso definito dalla “regola della mano destra” Infatti: Þ U.Gasparini, Fisica I

Vettore accelerazione angolare a Þ moto accelerato a w r moto decelerato a

Componenti polari della velocità y v costante P Þ Þ r(t) r(t+dt) dJ J O x Þ “velocità radiale” “velocità trasversa” U.Gasparini, Fisica I componenti cartesiane componenti polari

Componenti polari dell’ accelerazione Þ “accelerazione radiale” “accelerazione trasversa” In un moto circolare ( r = costante) :

Composizione dei moti Þ J(t)= w t 1) moto circolare uniforme: sovrapposizione di due moti armonici sfasati di p/2 e di uguale pulsazione lungo due assi ortogonali equazioni parametriche della traiettoria Þ x(t) la pulsazione del moto armonico è la velocità angolare del moto circolare t y(t) T/2 T t t=T/4 y t=T/2 J(t)= w t R U.Gasparini, Fisica I x t=0.

Esempi di composizione dei moti 2) moto di una “cicloide” composizione di un moto circolare uniforme di raggio R con velocità angolare w e di un moto traslatorio con velocità v = wR nel piano del moto circolare equazioni parametriche della traiettoria y moto del punto periferico di una ruota in moto con velocità costante P C v = wR x 3) moto “elicoidale” composizione di un moto circolare e di un moto traslatorio con velocità v perpendicolare al piano del moto circolare z U.Gasparini, Fisica I y x