Il tempo cosmico Amedeo Balbi

In principio… Dorè, La creazione

Newton, De gravitatione (1666-1668): lo spazio è independente dal contenuto di materia, si estende indefinitamente, e dura in eterno. Bentley, con l’approvazione di Newton, conclude che l’universo contiene una distribuzione uniforme e infinita di stelle, “progettata” in stato di equilibrio. Perché non una distribuzione finita, stabilizzata dalla meccanica? Le motivazioni di Bentley erano essenzialmente teologiche.

Tempo di collasso di una distribuzione sferica e uniforme di punti, di massa totale M e raggio iniziale r0 Il risultato è indipendente dal raggio iniziale del sistema. Se ogni stella ha la stessa massa del Sole, e la distanza media tra stelle è 1 parsec, si ottiene un tempo di collasso di circa 20 milioni di anni.

In realtà, anche il modello di universo di Bentley e Newton (distribuzione uniforme e infinita di stelle) è problematico. La risultante delle forze gravitazionali agenti su ogni massa è infinita La distribuzione di materia è in equilibrio instabile Il tempo di instabilità gravitazionale, calcolato da Jeans, è molto simile al tempo di collasso: Tempo di instabilità Tempo di collasso In generale, la scala di tempi caratteristica dei processi guidati dalla gravità è:

Paradosso di Olbers (1823): perché il cielo notturno è buio? In un universo infinito, eterno e statico, uniformemente pieno di stelle, il cielo notturno dovrebbe essere luminoso (in ogni direzione si osserva almeno una stella)

La luminosità del cielo notturno dovrebbe essere infinita! Gusci sferici concentrici: Numero di sorgenti in ogni guscio: Luminosità di ogni guscio: La luminosità del cielo notturno dovrebbe essere infinita!

Universo infinito, ma non eterno Edgar Allan Poe Eureka (1848) “Se le stelle si susseguissero senza fine, lo sfondo del cielo presenterebbe una luminosità uniforme, come quella mostrata dalla Galassia, perché non esisterebbe punto di quello sfondo in cui non brilli una stella. L’unico modo, dunque, in cui potremmo comprendere i vuoti osservati dai nostri telescopi in tutte le direzioni, sarebbe di supporre che la distanza dallo sfondo invisibile sia così immensa che la luce non abbia ancora avuto il tempo di raggiungerci.” Universo infinito, ma non eterno “Were the succession of stars endless, then the background of the sky would present us an uniform luminosity, like that displayed by the Galaxy — since there would be no point, in all that background, at which would not exist a star. The only mode, therefore, in which, under such a state of affairs, we could comprehend the voids which our telescopes find in innumerable directions, would be by supposing the distance of the invisible background so immense that no ray from it has yet been able to reach us at all.”

tempo Universo osservabile r=ct orizzonte luce spazio

Soluzione statica per: Albert Einstein (1917) Considerazioni cosmologiche sulla teoria della relatività generale Assumendo che la distribuzione di materia nell’universo sia omogenea e isotropo, Einstein tenta di ottenere una soluzione statica. Ma: “In order to arrive at this consistent view, we admittedly had to introduce an extension of the field equations of gravitation which is not justified” costante cosmologica Analogo newtoniano: Soluzione statica per: È interessante che, nei Principia, Newton aveva studiato anche una forma di legge gravitazionale del tipo:

Interpretazione in termini di effetto Doppler: Vesto Slipher (1922) le linee spettrali delle “nebulose” (galassie) appaiono spostate verso la parte rossa dello spettro elettromagnetico Redshift Interpretazione in termini di effetto Doppler: Le altre galassie si stanno allontanando da noi

Henrietta Leavitt (1912) Scoperta della relazione tra periodo e luminosità delle stelle Cefeidi “It is worthy of notice […] that the brighter variables have longer periods.”

Legge di Hubble: Hubble e Humason (1929) Costante di Hubble, H0 “The results establish a roughly linear relation between velocities and distance among nebulae.” Legge di Hubble: Costante di Hubble, H0

La costante di Hubble introduce una scala di tempo in cosmologia. Tempo di Hubble: Immaginiamo un momento iniziale per cui d=0. Qual è il tempo t0 trascorso da allora? Se il moto è uniforme: Misure iniziali di Hubble: Misure attuali: Ma, in generale, il tempo di Hubble non è l’età dell’universo.

Friedman e Lemaître mostrarono per primi che l’equazione di Einstein prevede modelli di universo omogenei e isotropi in espansione. A posteriori, si mostra (Milne e Mc Crea) che la dinamica di tali modelli è analoga a quella di una distribuzione di materia sferica e omogenea soggetta alla propria gravità. Fattore di scala: Eq. di Friedman: In questa analogia k è una costante di integrazione. In relatività generale essa è legata alla curvatura spaziale dell’universo.

Nell’analogia con la sfera autogravitante la costante k è legata all’energia meccanica del sistema I casi con energia positiva, negativa o nulla (k<0, k>0, k=0) corrispondono a tre diversi comportamenti dinamici dell’espansione. fattore di scala E=0 E<0 tempo

La velocità di espansione dell’universo varia con il tempo e dipende dal modello. (critico) (legato, “chiuso”) (slegato, “aperto”) L’universo si espande per sempre, ma la velocità di espansione tende a zero. Il moto si arresta e si inverte ad un tempo finito: La velocità di espansione è sempre positiva, il moto non si arresta mai.

Il tempo di Hubble non è l’età dell’universo La legge di Hubble vale per ogni tempo, a patto di definire un parametro di Hubble dipendente dal tempo: Quindi, la scala di tempo caratteristica dell’espansione (il tempo di Hubble) varia col tempo: (k=0) t0 fattore di scala Il tempo di Hubble non è l’età dell’universo oggi tempo tH

Non tutte le epoche sono uguali Il tempo di Hubble scandisce il ticchettìo del metronomo cosmico prestissimo t~10-35s Grande unificazione, inflazione presto t~10-12s Unificazione elettro-debole vivace t~10-7s Transizione quark-adroni allegro t~100 s Sintesi dei nuclei leggeri moderato t~300 000 anni Formazione dell’idrogeno andante t~10 000 anni Epoca della materia largo t~13.7 miliardi di anni Oggi Non tutte le epoche sono uguali

L’introduzione della costante cosmologica nell’equazione di Friedman permette di realizzare un modello in cui l’espansione avviene sempre allo stesso ritmo: Modello di De Sitter, espansione esponenziale: Questo tipo di andamento, senza un’origine temporale, era ipotizzato nel modello dello stato stazionario, ormai abbandonato. Nel modello stazionario, la coincidenza tra il tempo di Hubble misurato e il tempo caratteristico di vita di una stella (t~10 miliardi di anni) è inspiegabile.

I tempi dell’evoluzione stellare Diagramma colore-magnitudine per 40 mila stelle vicine al Sole

Possiamo usarli per stimare l’età dell’universo. Gli ammassi globulari contengono milioni di stelle che si sono formate nella stessa epoca e sono molto antiche. Possiamo usarli per stimare l’età dell’universo. M5: 2106 M, distanza 0.8 kpc

Diagramma colore magnitudine dell’ammasso M5 Ramo orizzontale Ramo delle giganti rosse Magnitudine Punto del “turnoff” Colore Sequenza principale Il punto in cui si interrompe la sequenza principale indica l’età dell’ammasso. Le età degli ammassi globulari più antichi sono dell’ordine di 12 miliardi di anni.

Le nane bianche sono oggetti densissimi, lo stadio finale di stelle di massa simile a quella del Sole, compresse in un volume inferiore a quello terrestre. L’unica sorgente di energia nelle nane bianche è il loro calore residuo. Dalla temperatura delle nane bianche si ottiene quindi una stima della loro età. Le nane bianche più deboli sono le più antiche, e possono essere usate per stimare l’età dell’universo. La nebulosa dell’Elica Le età delle nane bianche più deboli sono dell’ordine di 12 miliardi di anni.

Dal punto di vista teorico, per calcolare l’età dell’universo bisogna integrare l’equazione di Friedman.

Un caso semplice. Universo di Einstein - De Sitter, k=0. Densità critica:

La radiazione di fondo nelle microonde: lo stato dell’universo 380 000 anni dopo il big bang

http://lambda.gsfc.nasa.gov/product/map/current/google_sky/

La composizione del cosmo è oggi nota con grande precisione. Con questi parametri, si ottiene un’età dell’universo di 13.7 miliardi di anni, del tutto in accordo con quella degli altri indicatori.

Singolarità Ma le cose sono più complicate. Che significato fisico ha il tempo t=0? Come si curano le condizioni di energia e densità infinità del big bang? a Singolarità t

Agostino, Confessioni, Libro XI “Ecco come rispondo a chi domanda che cosa faceva Dio prima di fare il cielo e la terra. Non come fece quel tale che eluse con una battuta di spirito l'aggressività della domanda, rispondendo, dicono: "Preparava la Geenna per chi indaga gli abissi". Ridere non basta per capire. No, non rispondo a questo modo: preferirei allora una risposta come "Quello che non so, non lo so", che almeno risparmia la facile ironia per chi solleva una questione profonda e il plauso per chi dà una risposta falsa.”

Inflazione Una fase di espansione esponenziale, trainata dall’energia dello spazio vuoto (costante cosmologica). a t

Inflazione eterna: un insieme di universi che si auto-riproducono

Modello ciclico (ekpyrotico)