Trasmissione dell’energia elettrica Schema di principio Vg + carico linea di trasmissione Vb Va + jX R I PaL = R | I |2 Potenza attiva dissipata in linea Effetti della linea di trasmissione 1. dissipazione di energia 2. caduta di tensione 1. Dissipazione di energia 2. Caduta di tensione 2. Caduta percentuale di tensione DV / V = (2R PaC + 2X QC ) / Veff2 DV = |V b | - | V a |  VR cos f + VX sin f = 2R I cos f + 2X I sin f Schema equivalente della linea R resistenza di linea R dipende dalla lunghezza, dalla sezione dei conduttori e dal materiale utilizzato f Va Vb VR VX I Va  Vb  V DV / V = (2R V I cos f + 2X V I sin f ) / V2 = (2R PaC + 2X QC ) / Veff2 = R I 2 = 2 R Ieff 2 [W ] Si ricordi che PaC = Veff I eff cos f potenza attiva sul carico QC = Veff I eff sin f potenza reattiva sul carico jX R La potenza dissipata provoca riscaldamento dei conduttori e aggravio nei costi di gestione. La potenza dissipata viene limitata diminuendo R (conduttori in rame, alluminio, aumento della sezione) e diminuendo l’intensità della corrente di linea. Il termine RPaC è prevalente rispetto al termine XQC nelle linee in cavo e per alti fattori di potenza. Eccessive cadute di tensione possono provocare malfunzionamenti sul carico. La caduta di tensione viene limitata diminuendo R e X, e aumentando la tensione di linea. X reattanza di linea X dipende dalla lunghezza e dalla disposizione dei conduttori ( X = w L ) | I | = I = Ieff 2 Si ricordi che

Trasmissione dell’energia elettrica Uso dei trasformatori nella trasmissione dell’energia elettrica 1:n m:1 Vg + carico L n Vg + n2 Rg + Rl Rg Rl Ru Vl + Vu (1/m) Vl = Vu n Vg = Vl M (n/m)Vg + (n2 /m2 ) Rg + (1 /m2 ) Rl + Ru Il Ig Iu (1/n) Ig = Il m Il = Iu generazione trasmissione utilizzazione Dal teorema di Thévenin Le elevate tensioni e le (relativamente) basse correnti in linea permettono la trasmissione di energia elettrica a grande distanza, limitando le perdite di energia e le cadute di tensione tensioni e correnti in valori efficaci Le tensioni del generatore sono fissate da esigenze costruttive Le tensioni del carico sono fissate da esigenze d’uso e di sicurezza Nelle applicazioni Vg qualche decina di kV, Vl qualche centinaio di kV, Vu qualche centinaio di V I trasformatori reali utilizzati sono dispositivi ad altissimo rendimento energetico ( > 99 %)

Trasmissione dell’energia elettrica Sistema monofase FASE A FASE B FASE C NEUTRO Notazione: FASE A Sistema trifase a quattro fili Sistema trifase a tre fili Vg + carico Correnti e tensioni di fase IA IB IC VgA VgB VgC R Ieff Conduttore comune ai tre circuiti Vg + carico IN = IA + IB + IC = 0 IA IB IC = 0 Corrente di neutro: IN = IA + IB + IC IN Potenza attiva totale utile (RC resistenza di carico) PaC = 3 RC Ieff2 Circuito trifase equilibrato Poiché IN = 0 , il conduttore di neutro in linea può essere eliminato Moduli: IA = IB = IC (= I ) [ IeffA = IeffB = IeffC (= Ieff ) ] PaC = 3 RC Ieff2 ; PaL = 3 R Ieff2 A parità di potenza utile, in un sistema trifase equilibrato è dissipata metà potenza in linea rispetto a un sistema monofase Potenza attiva totale dissipata (R resistenza di un conduttore di linea) PaL = 6 R Ieff2

Sistemi trifase Sistema trifase di trasmissione dell’energia elettrica EA EB EC + Ng Generatore in connessione a stella ZC ZB ZA Nc Carico in connessione a stella VAB VBC VCA + Generatore in connessione a triangolo A B C linea trifase a tre fili IA IB IC generatore trifase carico trifase ZCA ZAB ZBC Carico in connessione a triangolo EA EB EC Ng A B C sistema trifase simmetrico VAB VBC VCA Ng neutro del generatore EA , EB , EC tensioni stellate VAB , VBC , VCA tensioni concatenate VAB = VBC = VCA = V EA = EB = EC = E V = 3 E Nc neutro del carico

Trasformatore trifase B C generatore trifase carico trifase Tre trasformatori identici di rapporto m:n Connessione triangolo / triangolo D - D Connessione triangolo / stella D - Y Connessione stella / triangolo Y - D Y - Y Connessione stella / stella A’ B’ C’ B EA EB EC A C A’ B’ C’ B EA EB EC A C A’ B’ C’ EA EB EC A B C A’ B’ C’ EA EB EC A B C A’ B’ C’ VA’B’ = VB’C’ = VC’A’ = V’ V / V’ = m / n E / E’ = m / n VAB = VBC = VCA = V EA’ = EB’ = EC’ = E’ V / E’ = m / n E / E’ = m /( 3 n) VAB = VBC = VCA = V VA’B’ = VB’C’ = VC’A’ = V’ E / V’ = m / n E / E’ = 3 m / n EA = EB = EC = E EA = EB = EC = E EA’ = EB’ = EC’ = E’ E / E’ = m / n m:n V1 V2 + V1 V2

Autotrasformatore trifase Autotrasformatore monofase A B C generatore trifase carico trifase A’ B’ C’ E’ = E (m+n) / m L’autotrasformatore è conveniente per rapporti di trasformazione (m+n)/m non molto diversi da uno (m > n). m:n V1 V2 + V2 / V1 = n / m m:n V1 V2 + V2 / V1 = n / m Va Vb Va = V1 Vb = V1 + V2 Va Vb Va = V1 Vb = V1 - V2 Per contro, i circuiti primario e secondario non sono disaccoppiati, ma hanno un terminale in comune Vb = Va (m+n) / m Vb = Va (m-n) / m

Trasmissione e distribuzione La rete di distribuzione in BT è di norma trifase a quattro fili. Componenti e simbologia La rete di trasmissione in AT è alimentata da un insieme di generatori trifase (alternatori), per mezzo di trasformatori elevatori di tensione Le utenze in BT si distinguono in utenze trifase (laboratori, officine, ecc.) e utenze monofase (utenze domestiche) AT : alta tensione; MT : media tensione; BT : bassa tensione Le reti di trasmissione e distribuzione sono realizzate in modo da permettere connessioni multiple o di emergenza. Componenti specifici (interruttori, sezionatori) permettono di connettere o disconnettere sezioni di rete in AT, MT e BT. 380 kV 132 kV 20 kV 380 V trasmissione in AT distribuzione in AT distribuzione in MT distribuzione in BT linee trifasi: tensioni concatenate valori efficaci Sono in esercizio due sistemi standard: Sistema 380 Veff concatenata / 220 Veff stellata (220  380 /1.73) : alle utenze monofase è assegnata la tensione stellata a 220 Veff (fra una fase e il neutro) Sistema 220 Veff concatenata / 127 Veff stellata (127  220 /1.73) : alle utenze monofase è assegnata la tensione concatenata a 220 Veff (fra due fasi) e (eventualmente) la tensione stellata a 127 Veff (fra una fase e il neutro) Organi particolari permettono di compensare le cadute di tensione in linea, per garantire la costanza della tensione d’utente entro i margini consentiti. Condensatori di rifasamento sono inseribili in vari punti critici della rete. Trasformatore trifase 20 / 0.38 kV Autotrasformatore trifase 380 / 132 kV Trasformatore trifase 132 / 20 kV La frequenza dell’intero sistema è fissa ( p. es. 50 Hz in Italia, 60 Hz negli U.S.A. ) Il sistema 220 / 127 è in fase di dismissione Esempio 132 kV 380 kV 20 kV 380 V utenti

Sistemi trifase: notazioni EA + EB EC tensioni stellate : Ek , con k = A, B, C Vhk = Eh - Ek , per ogni hk IA IB IC correnti di fase : Ik , con k = A, B, C S Ik = 0 (somma per tutti i k) : trifase a tre fili VAB VBC + VCA tensioni concatenate : Vhk , con hk = AB, BC, CA SVhk = 0 (somma per tutte le possibili coppie hk) A B C generatore trifase carico trifase S Ik = IN (somma per tutti i k) : trifase a quattro fili IN

Sistema trifase a tre fili B C generatore trifase ZC ZB ZA EA EB EC + Ng Identificazione del sistema Ik = Yk EZk k = A , B , C IA IB IC Misura delle ampiezze (o dei valori efficaci) delle tensioni concatenate VAB , VBC , VCA NC neutro del carico NC ENc tensione del neutro del carico rispetto al neutro dei generatori ENc + Identificazione delle tensioni stellate EA , EB , EC B C A EC = EZc EA = EZa ENc = 0 VAB = VBC = VCA NC Ng EB = EZb sistema trifase simmetrico ed equilibrato VCA VBC VAB Calcolo delle tensioni sul carico EZb EZc EZa EZk ZK NC + EZk = Ek - ENc ENc = 0 Condizioni di equilibrio e simmetria Calcolo delle correnti di fase e della potenza assorbita dal carico Scelte arbitrarie nella identificazione dei fasori delle tensioni stellate Si scelga un punto arbitrario nel piano dei fasori, come punto neutro Ng dei generatori (si può scegliere uno dei centri del triangolo delle tensioni concatenate) (si può anche scegliere uno dei punti A, B, C) VCA VBC VAB VCA VBC VAB B C A Identificati i fasori VAB , VBC , VCA B C A Ng NC ENc EC EB EA Dato il triangolo ABC, la posizione del punto NC è invariante rispetto alla scelta arbitraria del punto Ng Infatti, per ogni Ex, si ha: Ex Ex arbitrario B C A Ng NC ENc EC EB EA Identificati i fasori EA , EB , EC EC EB EA B C A Ng B C A YA = YB = YC = Y condizioni di equilibrio Sequenza diretta delle fasi A B C EC EB EA Ng I fasori delle tensioni sono identificati a meno di una arbitraria rotazione di fase EC EB EA B C A Ng EC EB EA B C A Ng Sequenza inversa delle fasi rotazione arbitraria di fase ordine della sequenza delle fasi (diretta o inversa) posizione del neutro dei generatori nel piano dei fasori Ek = Ex + E’k , k = A, B, C E’B E’C E’A ENc = (EA+EB+EC) / 3 Pa = Sk Re [Yk] Eeff Zk 2 Qk = - Sk Im [Yk] Eeff Zk potenza attiva totale potenza reattiva totale Yk = 1 / Zk ammettenze di carico E’Nc ENc = S[Yk(Ex+E’k)]/(S Yk) =Ex+ SYk E’k/(S Yk) =Ex + E’Nc EA + EB + EC = 0 condizioni di simmetria S Yk (ENc -Ek) = 0 Ng ENc = S Yk S Yk Ek

Trasformazione stella triangolo Yhk = 1 / Zhk ZC ZB ZA carico a stella A B C carico a triangolo ZAB ZBC ZCA Yk = 1 / Zk YAB = YA YB / S Yk YBC = YB YC / S Yk YCA = YC YA / S Yk EA EB EC + ZC ZB ZA carico a stella carico a triangolo ZAB ZBC ZCA EA EB = 0 EC= 0 + ENc + ENc = [S Yk Ek ] / S Yk Yk = 1 / Zk ; Yhk = 1 / Zhk ZA = ZAB ZCA / S Zhk ZB = ZAB ZBC / S Zhk ZC = ZBC ZCA / S Zhk Calcolo di IB IB in ZBC non scorre corrente, perché ZBC è in corto circuito Trasformazione inversa ZAB = S Yk / YA YB ZCA = S Yk / YC YA ZBC = S Yk / YB YC Si ponga EB = EC = 0 (generatori di tensione disattivati) ENc = [YA / S Yk ] EA S Zhk = S Yk [1/(YA YB )+1/(YB YC ) +1/(YC YA )] = [ S Yk /(YA YB )] [1+ YA /YC + YB /YC] Sommando membro a membro IB = YB ENc = [YA YB / S Yk ] EA IB = YAB EA = ZAB [(YA+YB+YC ) / YC ] = ZAB [S Yk / (YC YA )] YA = ZAB ZCA YA YAB = YA YB / S Yk YBC = YB YC / S Yk per rotazione degli indici YCA = YC YA / S Yk ZA = ZAB ZCA / S Zhk ZB = ZAB ZBC / S Zhk ZC = ZBC ZCA / S Zhk per rotazione degli indici

Stella / triangolo: proprietà C B A Esempio ZC ZB ZA carico a stella A B C carico a triangolo ZAB ZBC ZCA ZA = ZAB ZCA / S Zhk ZB = ZAB ZBC / S Zhk ZC = ZBC ZCA / S Zhk YAB = YA YB / S Yk YBC = YB YC / S Yk YCA = YC YA / S Yk R+jX Xhk / Rhk = c R+jX Xk / Rk = c le impedenze della stella devono avere la stessa fase j = atan ( c ) le impedenze del triangolo devono avere la stessa fase j = atan ( c ) Yhk = 1 / Zhk = 1 / [|Zhk | e jj ] = |Yhk | e –jj ; Yk = 1 / Zk = 1 / [|Zk | e jj ] = |Yk | e –jj Ipotesi: Le impedenze Zhk (espresse in forma polare) hanno tutte lo stesso argomento j stella di impedenze Zk con lo stesso argomento j triangolo di impedenze Zhk con lo stesso argomento j Rhk +j Xhk = Rhk(1 +j Xhk /Rhk ) = Rhk(1 +j c ) Yk = 1/( Rk +j Xk ) = ( Rk - j Xk ) / ( Rk2 + Xk2) = Rk( 1 - j Xk / Rk ) / ( Rk2 + Xk2) = Gk (1 - j c ) ; Gk = Rk / ( Rk2 + Xk2) YA = |YA | e –jj ; YB = |YB | e –jj ; YC = |YC | e –jj Le impedenze Zk (espresse in forma polare) hanno tutte lo stesso argomento j ZAB = |ZAB | e jj ; ZBC = |ZBC | e jj ; ZCA = |ZCA | e jj ZA = ZAB ZCA / S Zhk= ( RAB +j XAB ) (RCA +j XCA ) / ( RAB +j XAB +RBC +j XBC + RCA +j XCA ) = RAB (1 +j c ) RCA (1 +j c ) / [RAB (1 +j c ) + RBC (1 +j c ) + RCA (1 +j c )] stella di resistori triangolo di resistori stella di induttori triangolo di induttori stella di condensatori triangolo di condensatori Casi particolari YAB = YA YB / S Yk= GA (1 -j c ) GB (1 -j c ) / [GA (1 -j c ) + GB (1 -j c ) + GC (1 -j c )] YAB = |YA | e –jj |YB | e –jj / S |Yk | e –jj = [ |YA ||YB | / S |Yk | ]e –jj YBC = |YB | e –jj |YC | e –jj / S |Yk | e –jj = [ |YB ||YC | / S |Yk | ]e –jj YCA = |YC | e –jj |YA | e –jj / S |Yk | e –jj = [ |YC ||YA | / S |Yk | ]e –jj ZA = |ZAB | e jj |ZCA | e jj / S |Zhk | e jj = [ |ZAB ||ZCA | / S |Zhk | ]e jj ZB = |ZAB | e jj |ZBC | e jj / S |Zhk | e jj = [ |ZAB ||ZBC | / S |Zhk | ]e jj ZC = |ZBC | e jj |ZCA | e jj / S |Zhk | e jj = [ |ZBC ||ZCA | / S |Zhk | ]e jj = [ RAB RCA / (RAB + RBC + RCA )] (1 +j c ) = [ GA GB / ( GA + GB + GC )] (1 - j c ) ZA è una impedenza RL serie con fase j = atan ( c ) ZAB = 1/YAB è una impedenza RL serie con fase j = atan ( c ) analogamente ZB = [ RAB RBC / (RAB + RBC + RCA )] (1 +j c ) ZC = [ RBC RCA / (RAB + RBC + RCA )] (1 +j c ) analogamente YBC = [ GB GC / ( GA + GB + GC )] (1 - j c ) YCA = [ GC GA / ( GA + GB + GC )] (1 - j c ) Allora: Anche le impedenze Zk (espresse in forma polare) hanno tutte lo stesso argomento j Allora: Anche le impedenze Zhk (espresse in forma polare) hanno tutte lo stesso argomento j

Sistema trifase simmetrico ed equilibrato a = e j2p/3 fattore di rotazione antioraria di 120° 1 a a 2 A B C generatore trifase carico trifase a 3 = 1 ; a = a -2 ; a 2 = a -1 1 + a + a 2 = 0 Proprietà elementari di a 1 a a 2 EA EB EC Un sistema trifase si dice simmetrico, se le tensioni formano una terna simmetrica (la simmetria dipende dal generatore trifase) f angolo di sfasamento fra tensione e corrente (uguale per le tre fasi) IA IB IC D I Terna simmetrica diretta Terna simmetrica inversa 1 2 3 D a I a-2 D 1 2 3 I Un sistema trifase si dice equilibrato, se le correnti formano una terna simmetrica (l’equilibrio dipende dal carico trifase) D a2 t terna trifase 2p/3 I a-1 somma = 0 per ogni t Carichi fortemente squilibrati possono provocare dissimetrie nelle tensioni, a causa di cadute di tensione dissimmetriche in linea {D , Da , Da 2} {I , Ia -1 , Ia -2} {I , Ia 2, Ia}

Potenza nei sistemi trifase generatore trifase carico trifase A B C iA iB iC generatore trifase carico trifase A B C iA iB iC vAC + vBC potenza istantanea assorbita dal carico (verifica) IA IB VAC VBC Sistema trifase a tre fili simmetrico ed equilibrato VAC = V ; VBC = V a ½ IA = I ; IB = I a Sistema trifase a tre fili simmetrico ed equilibrato iA + iB + iC = 0 generatore trifase carico trifase A B C iA iB iC N eA + eB eC Neutro riferito al centro stella eA + eB + eC = 0 potenza istantanea assorbita dal carico E I f Sistema trifase a quattro fili iA + iB + iC = iN generatore trifase carico trifase A B C iA iB iC N eA + eB eC Neutro a potenziale fissato iN Sistema trifase a tre fili iA + iB + iC = 0 N eA + eB eC vAC = eA - eC vBC = eB - eC Neutro a potenziale arbitrario vBC vAC + potenza assorbita dal carico potenza istantanea potenza complessa Pa = p(t) = 3 Eeff Ieff cos f p. attiva La potenza istantanea trasferita da un sistema trifase simmetrico ed equilibrato è costante nel tempo ed è pari alla potenza attiva p(t) = S ek(t) ik(t) p(t) = vAC (t) iA(t) + vBC (t) iB(t) = Pa = ½ Re[VAC IA* + VBC IB*] La potenza istantanea è costante e pari alla potenza attiva = (3/2) Re[E I*] p(t) = vAC(t) iA(t) + vBC(t) iB(t) Pc = ½ [VAC IA* + VBC IB* ] Espressioni valide per ogni sistema trifase a quattro fili. Le tensioni stellate sono riferite al potenziale del neutro = Pa = 3 Eeff Ieff cos f Q = 3 Eeff Ieff sin f p. reattiva p(t) = S ek(t) ik(t) Pc = ½ S Ek Ik* p = vAC iA + vBC iB Pc = ½ [VAC IA* + VBC IB* ] La proprietà di trasferire potenza istantanea costante, nei sistemi trifase a tre fili simmetrici ed equilibrati, non è legata alla scelta del neutro al centro stella del triangolo delle tensioni. Le condizioni per il trasferimento di potenza istantanea costante sono: triangolo delle tensioni concatenate equilatero (sistema simmetrico), triangolo delle correnti di linea equilatero (sistema equilibrato) potenza attiva potenza reattiva = ½ Re[VAC IA* + VBC IB*] + ½ Re [ VAC IA e j2w t + VBC IB e j2w t ] = p(t) = ¼ [ VAC e jw t+VAC*e- jw t ] [ IA e jw t+IA*e- jw t ] + ¼ [ VBC e jw t+VBC*e- jw t ] [ IB e jw t+IB*e- jw t ] p(t) = Pa + ½ Re [V I (1+ a 3/2) e j2w t] = Pa p(t) = ¼ S [ Eke jw t + Ek*e- jw t ] [ Ike jw t + Ik*e- jw t ] = t potenza istantanea la somma dei termini variabili è nulla EA = E ; EB = E a ; EC = E a 2 IA = I ; IB = I a ; IC = I a 2 Espressioni valide per ogni sistema trifase a tre fili. Le tensioni stellate possono essere riferite a un neutro (reale o fittizio), a potenziale arbitrario t potenza istantanea la somma dei termini variabili è nulla = ¼ S [ Ek Ik*+Ek*Ik ] + ¼ S [ Ek Ik e j2w t+Ek*Ik*e- j2w t ] = = ½ S Re[ Ek Ik*] + ½ S Re[ Ek Ik e j2w t ] = p = (eA - eC) iA + (eB - eC) iB = eA iA + eB iB - eC (iA + iB) Pc = ½ [(EA - EC) IA* + (EB – EC) IB*] = ½ [EA IA* + EB IB* - EC (IA* + IB*)] VAC = V ; VBC = V a ½ IA = I ; IB = I a Pa = ½ Re[VAC IA* + VBC IB*] Q = ½ Im[VAC IA* + VBC IB*] = Pa + ½ Re [( V I + V a ½ I a ) e j2w t ] = = Pa + ½ Re [V I (1+ a 3/2) e j2w t ] = = (3/2) Re[E I*] + ½ Re[ E I e j2w t (1+ a 2 + a 4)] = p = eA iA + eB iB + eC iC Pc = ½ [ EA IA* + EB IB* + EC IC*] Pa = ½ Re[S Ek Ik*] Q = ½ Im[S Ek Ik*] iC = -(iA + iB) 1+ a 2 + a 4 = 1+ a + a 2 = 0 = Pa a 3/2 = e jp = -1 = (3/2) Re[E I*]

Componenti simmetriche Una generica terna di vettori { V 1 , V 2 , V 3 } è pari alla somma di una terna di vettori identici {M , M , M } , una terna simmetrica diretta { D , D a , D a 2 } e una terna simmetrica inversa {I , I a 2, I a } [ V 1 V 2 V 3 ] = = [M M M ] + + [D D a D a 2] + + [I I a 2 I a ] M = (V 1 + V 2 + V 3 ) / 3 I = (V 1 + V 2 a + V 3 a 2 ) / 3 D = (V 1 + V 2 a 2 + V 3 a ) / 3 Esempio V 1 V 2 V 3 [ V 1 V 2 V 3 ] = [M M M ] + [D D a D a 2] + [I I a 2 I a ] Proprietà elementari V 1 + V 2 + V 3 = 0 M = 0 I V 1 , V 2 , V 3 termini noti M , D , I incognite 3D In questo esempio, la componente I è prevalente rispetto alle componenti D e M . Ciò può essere giustificato intuitivamente osservando che la terna V1 , V2 , V3 è “simile” a una terna simmetrica inversa (i vettori hanno quasi le stesse ampiezze, la sequenza delle fasi è di verso orario). In generale, il grado di dissimetria di una terna di vettori può essere posto uguale a |I | / |D | , se |I | < |D | , ovvero |D | / |I | , se |I | > |D | V 1 V 2 V 3 M D I 3I M soluzione M = (V 1 + V 2 + V 3 ) / 3 I = (V 1 + V 2 a + V 3 a 2 ) / 3 D = (V 1 + V 2 a 2 + V 3 a ) / 3 M + D + I = V 1 M + D a 2 + I a = V 3 M + D a + I a 2 = V 2 V V a V a 2 0 V 0 grado di dissimmetria 0% V 3 V +C V a +C V a 2 +C C V 0 V 3 V 1 + V 2 a 2 + V 3 a V 1 V 2 V 1 + V 2 + V 3 V 1 V 2 V 3 V V a 2 V a 0 0 V grado di dissimmetria 0% V 1 V 2 V 1 + V 2 a + V 3 a 2 V +C V a 2 +C V a +C C 0 V 1 1 1 1 1 1 1 a a 2 = 1 a 2 a 1 a 2 a 1 a a 2 1 3 -1 pertanto 1 1 1 1 1 1 3 0 0 1 a a 2 1 a 2 a = 0 3 0 1 a 2 a 1 a a 2 0 0 3 si dimostra che 3M grado di dissimmetria 100% 3D 3V 0 0 V V V

Suddivisione di un sistema trifase EA EB EC A B C generatore trifase carico trifase IA IB IC N + Trifase a tre fili EM , ED , EI ID , II Le terne simmetriche diretta ED e inversa EI delle tensioni stellate sono invarianti rispetto alla scelta della tensione del neutro. Infatti, per ogni Ex , si ha Ek = E’k + Ex , con k = A , B , C E’A E’C E’B Ex IA IB IC Suddivisione della terna delle correnti nelle componenti simmetriche Sistema trifase a tre fili IA + IB + IC = 0 S Ik = 0 Potenza complessa trasferita al carico Pc = ½ S Ek Ik* Suddivisione della terna delle tensioni stellate nelle componenti simmetriche IA = ID + II IB = ID a + II a 2 IC = ID a 2 + II a EA = EM + ED + EI EB = EM + ED a + EI a 2 EC = EM + ED a 2 + EI a = ½ (EM + ED + EI) (ID + II)* + ½ (EM + ED a + EI a 2) (ID a + II a 2)* + ½ (EM + ED a 2 + EI a) (ID a 2 + II a)* La potenza complessa (e le potenze attiva e reattiva) è trasferite al carico come se i sistemi trifase simmetrici, diretto e inverso, agissero indipendentemente Pc = ½ S Ek Ik* = 3/2 (ED ID* + EI II* ) EM = (EA + EB + EC ) / 3 terna monofase EI = (EA + EB a + EC a 2 ) / 3 terna simmetrica inversa ED = (EA + EB a 2 + EC a ) / 3 terna simmetrica diretta EM = E’M + Ex ED = E’D EI = E’I Per ogni Ex EM [ID (1 + a + a 2) + II (1 + a 2 + a)] * = 0 Termini contenenti EM Termini relativi al sistema trifase simmetrico diretto ED ID* + ED a ID* a -1 + ED a 2 ID* a -2 = 3 ED ID* Nei sistemi trifase a tre fili, il termine monofase delle tensioni non contribuisce al trasferimento della potenza complessa Termini relativi al sistema trifase simmetrico inverso EI II* + EI a 2 II* a -2 + EI a II* a -1 = 3 EI II* ED II* + EI ID* + ED a II* a -2 + EI a 2 ID* a -1 + + ED a 2 II* a -1 + EI a ID* a -2 = = ED II* (1 + a –1 + a ) + EI ID* (1 + a 1 + a -1) = 0 Termini misti contenenti ED II* oppure EI ID* IM = (IA + IB + IC ) / 3 terna monofase II = (IA + IB a + IC a 2 ) / 3 terna simmetrica inversa ID = (IA + IB a 2 + IC a ) / 3 terna simmetrica diretta Alla potenza complessa contribuiscono solo i termini contenenti ED ID* e EI II* EM = [(E’A + Ex ) + (E’B + Ex ) + (E’C + Ex )] / 3 = [E’A + E’B + E’C ] / 3 + Ex = E’M + Ex L’espressione della potenza complessa non dipenda dalla posizione del centro stella nel triangolo delle tensioni ED = [(E’A + Ex ) + (E’B + Ex ) a 2 + (E’C + Ex )a ] / 3 = [E’A + E’B a 2 + E’C a] / 3 = E’D Pc = ½ S Ek Ik* = 3/2 (ED ID* + EI II* ) La potenza istantanea, in presenza simultanea delle componenti diretta e inversa, non è costante nel tempo IM = 0 EI = [(E’A + Ex ) + (E’B + Ex ) a + (E’C + Ex ) a 2] / 3 = [E’A + E’B a + E’C a 2] / 3 = E’I

Da sistema trifase diretto a inverso Trasformazione di un sistema trifase simmetrico diretto in un sistema trifase simmetrico inverso (e viceversa) generatore trifase carico trifase A B C A’ B’ C’ A’B’C’ simmetrico inverso A B C simmetrico diretto (e viceversa) L’inversione può avvenire su una qualunque coppia di conduttori Il carattere diretto o inverso di un sistema trifase non è una caratteristica intrinseca, ma un modo di ordinare la sequenza delle fasi. Se il sistema trifase ABC è non simmetrico, con componenti simmetriche D e I , anche il sistema A’B’C’ è non simmetrico con componenti D’ = I e I’ = D

Da sistema monofase a trifase Caso tipico: carico a stella di tipo RL generatore monofase 1 2 3 generatore monofase carico trifase 1 2 3 Tensioni stellate: Ek Correnti di fase: Ik I1 I2 I3 Ipotesi: le tre impedenze di carico uguali e pari a R+jX R+jX Attenzione! la fase 3 deve essere alimentata per non danneggiare il carico In molte applicazioni può essere necessario alimentare un carico trifase, pur disponendo di un generatore monofase Ek = (R+jX) Ik I 3 = jB V 23 V23 + Tensione condensatore: V 23 = E 2 – E 3 Il circuito di alimentazione della fase 3 dipende dal circuito di carico la terza fase è alimentata tramite un condensatore C C Suscettanza condensatore: B = w C jB Esempio tipico: alimentazione di un motore trifase da parte di una utenza monofase Calcolo della suscettanza B e caratterizzazione del sistema trifase Grado di dissimmetria G = |½ – XB + j(B + 3½/6)| |½ – XB + j(B – 3½/6)| Per ogni X (reattanza normalizzata del carico) esiste un valore di B che rende minimo il grado di dissimmetria E1 = 1 – 2XB + j2B ; E2 = -1 + XB - jB ; E3 = XB - jB E’1 = 1 - 3XB + j3B ; E’2 = - 1 ; E’3 = 0 Componenti simmetriche : 3D = E’1 + E’2 a 2 ; 3I = E’1 + E2’ a Esempio Pa = 2200 W ; Eeff = 127 V ; X = 0.3 R f = 50 Hz ; w = 314 rad/s dati E3 ; E3 = XB - jB I3 = jB V23 = - jB V23 I3 V23 normalizzazione : V23= -1 ; R = 1 tensioni correnti Ek = (1 + jX) Ik E3 = (1 + jX) I3 = (1 + jX)(- jB) = XB - jB R I3 jX I3 E3 I2 I2 = E2 /(1 + jX) ; E2 = -1 + XB - jB D = ½ – XB + j(B + 3½/6) I = ½ – XB + j(B – 3½/6) Componenti simmetriche V23 2 3 1 E2 E3 E1 I3 I1 I2 tensioni correnti X = 1.73;B = 0.29 G = 0 1 E1 I1 I1 = E1 /(1 + jX) ; E1 = 1 – 2XB + j 2B I1 + I2 + I3 = 0 Il sistema trifase 123 è a tre fili; pertanto X B G 0 .58 58% .3 .55 47% .6 .50 36% .9 .43 25% 1.2 .37 15% 1.5 .32 6% 1.8 .28 2% Si ottiene G = 0 per X = 3½ = 1.73 e B = 3½/6= 0.29 Componenti simmetriche : 3D = E1 + E2 a2 + E3 a ; 3I = E1 + E2 a + E3 a 2 I3 a = - ½ + j 3½ /2 ; a 2 = - ½ - j 3½ /2 3D = (1–3XB+j3B) – (–½+j3½/2) = 3/2–3XB + j(3B+3½/2) 3I = (1–3XB+j3B) – (–½–j3½/2) = 3/2–3XB + j(3B–3½/2) Moltiplicando per 1+jX (1+jX) I1 + (1+jX) I2 + (1+jX) I3 = 0 Grado di dissimmetria G = |½ – XB + j(B + 3½/6)| |½ – XB + j(B – 3½/6)| Per semplificare i calcoli, si ricordi che D non varia se si aggiunge un arbitrario vettore costante alle tensioni Ek 2 3 E2 E2 = V23 + E3 = -1 + XB - jB Quindi E1 + E2 + E3 = 0 Pa = 3 Eeff 2 /R ; R = 3 Eeff 2 / Pa = 22 W B = .55 / R ; C = .55 / (w R) = 79.6 mF valori denormalizzati Si ponga E’k = Ek – XB+jB E’1 = 1 - 3XB+j3B ; E’2 = - 1 ; E’3 = 0 D = ½ – XB + j(B + 3½/6) I = ½ – XB + j(B – 3½/6) E1 = – E2 – E3 = 1 – 2XB + j 2B

Normalizzazione Z = R R Z = j w L L Y = j w C C Re[Z] = R Im[Z] = 0 forma cartesiana Re[Z] = 0 Im[Z] = w L Re[Y] = 0 Im[Y] = w C forma polare |Z| = R Arg[Z] = 0 |Z| = w L Arg[Z] = p/2 |Z| = 1/w L Arg[Z] = -p/2 normalizzazione di frequenza Re[Z] = 0 Im[Z] = -1/w C