Grandezze sinusoidali Funzioni di tipo sinusoidale f(t) = F cos (w t + j ) p.es. tensioni, correnti, potenze f(t) t f(t) t F Ampiezza pulsazione in radianti al secondo (rad/s) f : frequenza Hertz (Hz) KHz, MHz, GHz in radianti (rad); raramente in gradi è la fase w t + j per t = 0 l ‘ampiezza ha le stesse dimensioni della grandezza considerata (p.es. Volt, Ampère, ecc.) w t = 2 p f t = 2 p t / T j Fase (iniziale) fase in radianti (più raramente in gradi) w Pulsazione w t + j Fase (o argomento) w = 2 p f = 2 p / T f(t) t variazione di ampiezza variazione di frequenza F - F variazione di fase T : periodo

Numeri Complessi (introduzione) Nella analisi dei circuiti elettrici (e in gran parte dell’ingegneria) le grandezze sinusoidali sono trattate con l’algebra dei numeri complessi Nozioni necessarie: rappresentazione di numeri complessi come vettori rappresentazione cartesiana algebra elementare (quattro operazioni) rappresentazione polare formula di Eulero Nell’analisi dei circuiti, il termine vettore è usato spesso come sinonimo di numero complesso. Ciò non è vero in altri campi della scienza e della tecnica

Numeri Complessi (piano complesso) Unità immaginaria j = -1 ; j2 = - 1 Numero complesso (forma cartesiana) Z = a + j b Notazione : a = Re[ Z ] ; Re[ . ] parte reale b = Im[ Z ] ; Im[ . ] parte immaginaria Im Re piano complesso Z = a+jb modulo di Z (lunghezza del vettore) | Z | = a2+b2 Z a b Notazione : Z (senza sottolineatura) = | Z | Z* -b Numero coniugato : Z* = a - jb Risulta : Z + Z* = a+jb + a-jb = 2a = 2 Re[ Z ]

Numeri Complessi (algebra) Somma : (a + j b) + (c + j d) = (a+c) + j (b+d) Sottrazione : (a + j b) - (c + j d) = (a-c) + j (b-d) Prodotto : (a + j b) (c + j d) = (ac - bd) + j (ad + bc) Norma : Z Z* = (a + jb) (a - jb) = a2 + b2 = | Z |2 = Z2 Divisione : (a + j b) / (c + j d) = (a+jb)(c-jd)/(c2+d2) Im Re Z1 Im Re Somma algebrica Im Re Somma Z1 Z1 = -1 + j Z1 Zs = Z1 + Z2 = - j Z2 Z2 Z2 = 1 -2 j Z1 – Z2 + Z3 Zs Z3 Z2 Zs Per sommare due o più vettori si disegnano in successione. Il vettore somma è il vettore congiungente l’origine del primo con il vertice dell’ultimo

Numeri Complessi (forma polare) Numero complesso (forma polare) Z = r ( cos j + j sin j ) r modulo j fase (argomento) Cartesiana Polare Cartesiana Polare r = | Z | = a2 + b2 a = r cos j b = r sin j Cartesiana Z = a + j b atg ( b / a ) per a > 0 atg ( b / a ) + p per a < 0 j = Im Re Z1 = - 1 - j -1 Im Re Z1 = 1 + j 1 p/4 2 2 5p/4 r = 2 j = atg (1) = p/4 r = 2 j = atg (1) + p = = p/4 + p

Numeri Complessi (formula di Eulero) Numero complesso (forma polare) Z = r ( cos j + j sin j ) Esponenziale Definizione dell’espressione e jb = r e j j espr. esponenziale e jb = lim ( 1 + j b / n ) n n espressione trigonometrica Proprietà dell’espressione lim ( 1+ j b / n ) n n Si dimostra : Im Re 1 b Nel campo dei numeri reali Modulo: | e j b | = lim | 1+ j b / n | n = 1 n e base dei logaritmi naturali e = lim (1 + 1 / m ) m m Si ponga, ad esempio, b = 1,2 e si determini Im Re Il numero (1 + j 1,2 / n ) n con n = 1000 corrisponde all’estremo dell’arco I numeri calcolati si dispongono con ottima approssimazione su un arco di cerchio di raggio 1. La lunghezza dell’arco è pari a 1,2 (cioè il valore di b). Pertanto l’angolo è pari a b (in radianti) b Argomento Arg [ e j b ] = = lim Arg [ (1+ j b / n ) n ] = b n Calcolo di eb ( b reale) e b = lim (1 + 1 / m ) mb m 1 ( 1 + j 1,2 / n ) k con k = 0, 1, 2, …, n e n = 1000 Ponendo m b = n ( m = n/b ) : e b = lim (1 + b / n ) n n In forma polare e j b = cos b + j sin b Formula di Eulero Questa espressione è utilizzata per definire e jb

Fasori Dalla formula di Eulero Espressione del coseno e jb = cos b + j sin b cos b = Re [ e jb ] e -jb = cos b - j sin b cos b = (e jb + e -jb)/2 I numeri ejb e e-jb sono complessi coniugati f(t) = F cos (w t + j ) = F Re [e j(w t + j )] = Le due espressioni di cos b sono assolutamente equivalenti = Re [ F e jj e jw t ] = tenendo conto che F è reale La seconda espressione di cos b si può ottenere dalla prima (la semisomma di due numeri complessi coniugati è sempre pari alla parte reale di uno dei due) oppure sommando membro a membro le espressioni di e jb e di e - jb F = F e jj fasore = Re [ F e jw t ] = = [ F e jw t + F* e -jw t ] 1 2 F* = F e -jj

Fasori Rappresentazione di funzioni sinusoidali con fasori fasore f(t) = F cos (w t + j ) funzione F = F e jj fasore w = 2 p f assegnata La pulsazione w della funzione non è rappresentata dal fasore La fase (iniziale) j della funzione corrisponde alla fase j del fasore L’ampiezza F della funzione corrisponde all’ampiezza F (modulo) del fasore Notazione Vi è una corrispondenza biunivoca fra funzioni e fasori Analisi dei circuiti con il metodo dei fasori Ipotesi Si possono rappresentare più funzioni con i fasori, ciascuna con la propria ampiezza e la propria fase. La pulsazione deve però essere nota e uguale per tutte le funzioni (funzioni isofrequenziali) La lettera “F” ha vari significati: f (minuscolo) è la funzione del tempo f(t) Metodo Trasformare tutte le funzioni note in fasori Tutte le funzioni relative a tensioni e correnti del circuito sono sinusoidali (con ampiezze e fasi diverse) F (maiuscolo) è l’ampiezza (modulo) Risolvere il circuito considerando solo fasori (il calcolo è più semplice di quello effettuato direttamente nel tempo) F (maiuscolo e sottolineato) è il fasore Tutte le pulsazioni (frequenze) sono uguali Trasformare i fasori d’interesse nelle funzioni corrispondenti ( ovviamente risulta F = | F | )

Fasori (trasformazioni) Trasformazione: funzione sinusoidale in fasore f(t) = F cos (w t + j ) 1. Esprimere la funzione in forma standard F = F e jj 2. Identificare il fasore con ampiezza e fase Esempio Im Re f(t) = 3 sin 5 t Esempio f(t) = 4 cos (3 t + p / 4 ) Im Re 4 p / 4 = 3 cos ( 5 t – p / 2 ) F = 4 e jp / 4 3 F = 4 (cos p / 4 + j sin p / 4 ) F = 3 e - jp / 2 = - 3 j F = 2 2 + j 2 2

Fasori (trasformazioni) Trasformazione: fasore in funzione sinusoidale Metodo alternativo Trasformazione: fasore in funzione sinusoidale F = F e jj 1. Esprimere il fasore in forma polare f(t) = F cos (w t + j ) 2. Identificare la funzione sinusoidale f (t) = Re [F e jw t ] Applicare l’espressione diretta Esempio Im Re j -1 F = -1 + j Esempio Im Re F = -1 + j Esempio Im Re j -1 da F = -1 + j si è ottenuto 2 = e j 3 p / 4 -1 j 2 3 p / 4 f (t) = Re [ (-1 + j ) e j w t ] = f (t) = cos ( w t + 3 p / 4 ) 1° metodo 2 f (t) = cos ( w t + 3 p / 4 ) 2 f (t) = - cos w t - sin w t 2° metodo = Re [ (-1 + j ) (cos w t + j sin w t ) ] = basta calcolare i termini della parte reale del prodotto Poiché w non è stato assegnato, non può essergli attribuito alcun valore le due espressioni sono equivalenti e si possono ricavare l’una dall’altra con il calcolo trigonometrico = - cos w t - sin w t

Fasori (metodo grafico) Trasformazione grafica di fasori in funzioni 1. R = F e jw t 2. f (t) = Re [ R ] vettore rotante f (t) = Re [F e jw t ] f(t) t Im Re F w In un insieme di grandezze isofrequenziali tutti i vettori rotanti girano alla stessa velocità mantenendo le reciproche differenze di fase Im Re Si consideri un fasore F F F -F Il vettore rotante R = F e jw t ha le seguenti proprietà : a) | R | =| F | ( poiché |e jw t | =1 ) b) è funzione del tempo ( F non lo è) Re [F ] R descrive un cerchio con velocità angolare w = 2 p f ( f giri al secondo) w Il fasore F è pari al vettore rotante R per t = 0 c) il suo argomento cresce con il tempo La funzione sinusoidale è data dalla parte reale di R (la proiezione di R sull’asse reale) per t = 0, f(t) è decrescente

Bipoli in regime permanente Ipotesi v(t), i(t) sinusoidali Il bipolo nel dominio dei fasori + V I bipolo nel dominio dei fasori + v(t) i(t) v(t) = V cos (w t + j ) i(t) = I cos (w t + y) = Re[ V e jw t ] = Re[ I e jw t ] Fasori di tensione e corrente: V = V e jj I = I e jy Il bipolo indicato si dice nel dominio del tempo bipolo nel dominio del tempo Si dice che il bipolo è in regime permanente Il bipolo nel dominio dei fasori è utilizzato solo a scopi di calcolo Indicando i fasori invece delle grandezze nel tempo si ottiene Nel bipolo reale le grandezze elettriche sono sempre funzioni reali del tempo

Potenza in regime permanente Potenza (entrante) p(t) = v(t) i(t) + V I bipolo nel dominio dei fasori In regime permanente p(t) = Re[ V e jw t ] Re[ I e jw t ] = (V e jw t + V* e -jw t ) ( I e jw t + I* e –jw t ) = 1 4 (V I e j2w t + V* I* e –j2w t + V I* + V* I ) = 1 4 1 2 = Re [ V I e j2w t ] + Re [ V I* ] L’andamento nel tempo della potenza in regime permanente consta di due termini: il primo dipende dal tempo ed è di tipo sinusoidale con pulsazione 2w, il secondo è un termine costante

p(t) = Re [ V I e j2w t ] + Re [ V I* ] Potenza attiva + V I 1 2 p(t) = Re [ V I e j2w t ] + Re [ V I* ] Pa = Re [ V I* ] 1 2 Si definisce potenza attiva I valori efficaci sono molto usati in campo tecnico. Essi permettono di eliminare il fattore 1 / 2 in tutte le espressioni della potenza in regime permanente. In contrapposizione p(t) è detta potenza istantanea Pa = Re [ V I* ] 1 2 = Re [V e jj I e -jy ] 1 2 = V I cos (j – y) 1 2 P. es., i valori di tensione di 127 V e 220 V , utilizzati nella distribuzione di energia elettrica, sono valori efficaci . Con i valori efficaci si ha v(t) = Veff cos (w t + j ) 2 i(t) = Ieff cos (w t + y ) Definiti i valori efficaci Veff = V 1 2 Ieff = I si ha Pa = Veff Ieff cos f detto f = j – y

+ Potenza attiva V I Pa 1 Pa = Re [ V I* ] = Veff Ieff cos f f 2 Per f = 0 , le grandezze elettriche tensione e corrente, sono costanti. In questo caso si dice che il regime di funzionamento è in corrente continua (c.c.) ed è erroneo considerare la potenza attiva. La misura della potenza attiva, come valore medio della potenza istantanea, richiede particolari cautele per valori di frequenza f molto bassi. In questi casi il periodo T = 1/f risulta elevato, rendendo difficile la misura (o la determinazione) del valore medio. P. es., per f = 0.1 Hz , risulta T = 10 s . In questo caso la media deve essere effettuata su un intervallo pari a un multiplo esatto di 5 s , oppure su un intervallo molto maggiore di 10 s. Pa f p /2 -p /2 -p p Potenza attiva in funzione di f Im Re Pa = Re [ V I* ] = Veff Ieff cos f 1 2 f V I j y Infatti, in questo caso si ha w = 0 , V = V (reale) , I = I (reale) Pa(f) = Pa(- f) funzione pari p(t) = Re [ V I e j2w t ] + Re [ V I* ] 1 2 = Re [ V I ] + Re [ V I ] 1 2 = V I potenza attiva in Watt (W) t p(t) Andamento potenza istantanea p(t) = ½ Re[V I e j2w t ] + Pa Andamento potenza istantanea p(t) La potenza attiva Pa è pari al valore medio di p(t) Pa L’oscillazione ha periodo T/2 poiché la frequenza è doppia di quella di v(t) e i(t) T/2 oppure La media deve essere fatta su un intervallo pari a k T/2 (k intero) La media deve essere fatta su un intervallo molto maggiore di T L’ampiezza dell’oscillazione è pari a ½VI = veff ieff > | Pa |

Potenza complessa e reattiva + V I Q = Im [ V I* ] = Veff Ieff sin f 1 2 Pa = Re [ V I* ] 1 2 Potenza reattiva in funzione di f w t = 2 p f t = 2 p t / T Q f p /2 -p /2 -p p = Re [ P c ] potenza complessa Pc = V I* 1 2 ove si è posto Q(f ) = - Q(- f ) funzione dispari La potenza complessa è una grandezza vettoriale Pc = Pa + j Q potenza reattiva volt-ampère reattivi (VAR) Potenza apparente Q = Im [ Pc ] Q = Im [ V I* ] 1 2 potenza reattiva Papp = V I 1 2 = Veff Ieff La potenza apparente è utilizzata per caratterizzare quei dispositivi in cui interessano i moduli di tensione e corrente, ma non la loro differenza di fase Q = Im [ V I* ] 1 2 = Im [ V e jj I e - jy ] 1 2 = V I sin (j – y ) 1 2 Q = V I sin f 1 2 = Veff Ieff sin f potenza apparente volt-ampère (VA)

Resistore + v(t) = R i(t) V = R I j = y V = R I V =R I Nel dominio del tempo V = R I v(t) = R i(t) V = R I j = y Nel dominio dei fasori V = R I t v(t), i(t) In un resistore, il modulo della tensione è pari al modulo della corrente moltiplicato per R Il vettore della tensione V e il vettore della corrente I sono in fase V =R I In un resistore, la fase della tensione è uguale alla fase della corrente Im Re I In regime permanente Re[ V e jw t ] = R Re[ I e jw t ] V e jj = R I e jy V Se si considerano i vettori rotanti associati a V e I , anche questi rimangono in fase per ogni t , essendo la frequenza la stessa V = R I j = y = Re[ R I e jw t ] essendo R reale

Andamento della potenza istantanea p(t) su un resistore + R V = R I Resistore (potenza) 1 2 Pa = Re [ V I* ] = Re [ R I I* ] = Potenza attiva f = 0 cos f = 1 = R I 2 = R Ieff 2 1 2 = G Veff 2 potenza attiva in Watt (W) Potenza reattiva 1 2 Q = Im [ V I* ] = Im [ R I I* ] = 0 Si ricordi che I I* è reale Si ricordi che I I* = | I |2 = I 2 t p(t) Andamento della potenza istantanea p(t) su un resistore Si ricordi che j = y e quindi f = j – y = 0 Pa

+ Induttore V = j w L I V = w L I j = y + p/2 V = j w L I v(t) = L d i(t) / d t L v(t) = L d i(t) / d t Nel dominio del tempo V = j w L I v(t) = L d i(t) / d t Nel dominio dei fasori V = j w L I V = w L I j = y + p/2 w L reattanza j w L impedenza t v(t), i(t) In un induttore, il fasore della tensione V è pari al fasore della corrente I moltiplicato per l’impedenza dell’induttore j w L In un induttore, il fasore della corrente I è in ritardo di fase di p/2 (90°) rispetto al fasore della tensione V V = j w L I In regime permanente Re[ V e jw t ] = L Re[ I e jw t ] = d d t V e jj = j w L I e jy In un induttore, la fase j della tensione è pari alla fase y della corrente più p / 2 Im Re j = e jp / 2 I p/2 In un induttore, il modulo della tensione V è pari al modulo della corrente I moltiplicato per la reattanza dell’induttore w L Considerando i vettori rotanti associati ai fasori di tensione e di corrente, tali vettori conservano la stessa differenza di fase al passare del tempo v i V = Re[L I e jw t ] d d t L è reale e I è costante V e jj = w L I e j (y +p /2) = Re[ j w L I e jw t ] In un punto di osservazione, si vede passare il vettore rotante di V e dopo 90° quello di I V = w L I ; j = y + p / 2 V = j w L I

Andamento della potenza istantanea p(t) su un induttore Induttore (potenza) + L V = j w L I 1 2 Pa = Re [ V I* ] = Re [ jwL I I* ] = 0 Potenza attiva Potenza reattiva 1 2 Q = Im [ V I* ] = Im [ jwL I I* ] = f = p /2 cos f = 0 = w L I 2 = w L Ieff 2 1 2 > 0 La potenza reattiva assorbita da un induttore non è mai negativa potenza reattiva in Volt-Ampère reattivi (VAR) Andamento della potenza istantanea p(t) su un induttore t p(t) Pa = 0

+ Condensatore I = j w C V I = w C V y = j + p/2 I = j w C V i(t) = C d v(t) / d t C + Condensatore i(t) = C d v(t) / d t Nel dominio del tempo I = j w C V i(t) = C d v(t) / d t Nel dominio dei fasori I = j w C V I = w C V y = j + p/2 w C suscettanza j w C ammettenza I = j w C V In un condensatore, il fasore della corrente I è in anticipo di fase di p/2 (90°) rispetto al fasore della tensione V In un condensatore, il fasore della corrente I è pari al fasore della tensione V moltiplicato per l’ammettenza del condensatore j w C t v(t), i(t) In regime permanente Re[ I e jw t ] = C Re[ V e jw t ] = d d t I e jy = j w C V e jj Im Re In un condensatore, la fase y della corrente è pari alla fase j della tensione più p / 2 I p/2 I e jy = w C V e j (j +p /2) j = e jp / 2 In un condensatore, il modulo della corrente I è pari al modulo della tensione V moltiplicato per la suscettanza del condensatore w C Considerando i vettori rotanti associati ai fasori di tensione e di corrente, tali vettori conservano la stessa differenza di fase al passare del tempo i v V C è reale e V è costante = Re[C V e jw t ] d d t = Re[ jw C V e jw t ] In un punto di osservazione, si vede passare il vettore rotante di I e dopo 90° quello di V I = w C V ; y = j + p / 2 I = j w C V

Condensatore: potenza I = j w C V + Condensatore: potenza Potenza attiva 1 2 Pa = Re [ V I* ] = Re [- jwC V V* ] = 0 Potenza reattiva 1 2 Q = Im [ V I* ] = Im [- jwC V V* ] = Si ricordi che I* = - j w C V* f = - p /2 cos f = 0 < 0 La potenza reattiva assorbita da un condensatore non è mai positiva = - w C V 2 = - w C Veff 2 1 2 potenza reattiva in Volt-Ampère reattivi (VAR) Andamento della potenza istantanea p(t) su un condensatore t p(t) Pa = 0

Dualità in regime permanente Le formule in regime permanente degli induttori e dei condensatori si possono ricavare in base al principio di dualità, eccetto quelle relative alla potenza reattiva ( Q = ½ Im [V I*] non è invariante rispetto allo scambio di V e I ) Esempio: V = j w L I è duale rispetto a I = j w C V Equivalenze corr. cont. w = 0 freq. infinita w = Impedenza Ammettenza Reattanza Suscettanza Induttore Condensatore Im [ I / V ] Im [ V / I ] Y = I / V Z = V / I definizione A frequenza f = w / 2 p = 0 , le tensioni e le correnti sono costanti e si dice che il regime di funzionamento è in corrente continua (c.c.). j w L 1 / j w C Z = j w L circuito aperto In alcune applicazioni, si considera il caso di una frequenza molto elevata, che si può indicare come regime di frequenza infinita f = w / 2 p = corto circuito w L - 1 / w C Z = 1 / j w C 1 / j w L j w C circuito aperto corto circuito I regimi in corrente continua (c.c.) e di frequenza infinita sono duali. - 1 / w L w C

Induttore reale I + IL RS RS I + VL IR VL V V RP L I IR d IL Im Re IL I VL + IL RS I V + VL V IR I IR d QL = tg d La scelta di un valore arbitrario per IL non è una limitazione. Im Re Induttore ideale per RS RP Si assegni un valore arbitrario a IL VL I V VL = j w L IL IR = VL / RP Il nuovo diagramma differisce dal precedente per un fattore di scala e una rotazione. I rapporti fra le ampiezze e le differenze delle fasi sono rimaste invariate (in particolare l’angolo d ) d I = IL + IR V = VL + RS I IL Si definisce fattore di merito dell’induttore per l’induttore ideale

Condensatore reale I + IC IR IC IR V I R C d V Im Re V I V + IC IR IR IC I d QC = tg d Condensatore ideale per R Si assegni un valore arbitrario a V IC = j w C V IR = V / R I = IC + IR Si definisce fattore di merito del condensatore per il condensatore ideale

Connessioni elementari Esempio In regime permanente si ha V = Z I + V I A B C ZCB = j w L RP / (j w L + RP ) Z impedenza RS L RP Y =1 / Z I = Y V ZAB = ZCB + RS = Y ammettenza = j w L RP / (j w L + RP ) + RS impedenza in Ohm (W) ammettenza in Mho (W -1) + V I1 I2 Connessioni elementari L’impedenza è un numero complesso che, moltiplicato per il fasore della corrente, permette di ottenere il fasore della tensione + V1 V2 I Serie Z1 Z2 Parallelo Y1 Y2 Y = Y1 + Y2 I1 = Y1 V ; I2 = Y2 V Z = Z1 + Z2 L’ammettenza è un numero complesso che, moltiplicato per il fasore della tensione, permette di ottenere il fasore della corrente V1 = Z1 I ; V2 = Z2 I I1 + I2 = (Y1 + Y2 ) V V1 + V2 = (Z1 + Z2 ) I 1/Y = 1/ Y1 + 1/ Y2 1/Z = 1/ Z1 + 1/ Z2 Questo è un vantaggio del metodo dei fasori. Nel dominio del tempo non esistono operatori moltiplicativi che permettono di passare da v(t) a i(t), o viceversa, eccetto che per bipoli senza memoria. Z = Z1 + Z2 Y = Y1 + Y2 Y = Y1 + Y2 Y = Y1 Y2 / (Y1+ Y2 ) Z = Z1 Z2 / (Z1+ Z2 ) Z = Z1 + Z2 Y = Y1 Y2 / (Y1+ Y2 ) Z = Z1 Z2 / (Z1+ Z2 )

Potenza (impedenza, ammettenza) Potenza attiva in funzione di Z Y Potenza attiva in funzione di Y + Z I V Pa = Re [ V I* ] 1 2 V = Z I I = Y V Pa = Re [ V I* ] 1 2 Pa = Re [ Z I I* ] = 1 2 Pa = Re [ Y* V V* ] = 1 2 1 2 = Re [ Z ] I2 = Re [ Z ] Ieff 2 1 2 = Re [ Y ] V 2 = Re [ Y ] Veff 2 Si ricordi che I* = Y* V* Potenza reattiva in funzione di Y Potenza reattiva in funzione di Z Q = Im [ V I* ] 1 2 V = Z I I = Y V Q = Im [ V I* ] 1 2 Q = Im [Y* V V* ] = 1 2 Q = Im [ Z I I* ] = 1 2 Re[Y*] = Re[Y ] 1 2 = Im [ Z ] I2 = Im [ Z ] Ieff 2 Im[Y*] = -Im[Y] 1 2 = - Im [ Y ] V 2 = - Im [ Y ] Veff 2

Rifasamento + Impianti di distribuzione dell’energia elettrica Vg Rg V AB B A I Carico A B C Rg tiene conto della resistenza interna del generatore reale e di quella della linea di alimentazione. I carichi sono generalmente schematizzabili con un resistore in serie a un induttore parassita La potenza utile erogata ai morsetti AB è la potenza attiva. Occorre fare in modo che VAB e I siano il più possibile in fase (cos f = 1, al generatore). Ciò si ottiene con il rifasamento dei carichi. Carico Im Re I V + f Pa = Veff Ieff cos f L R Q = Veff Ieff sin f V VL cos f < 1 VR

Si è ottenuto cos f = 1 Il circuito è rifasato Rifasamento + V R Si assegni un valore arbitrario alla tensione V R Im Re corrente tensione V Rg + V L + Si determini la capacità C in modo da rifasare il circuito Vg + Rg L R C + V C Risulta V C // I g ; V g // I g Se V C // I g allora anche V g // I g V g e I g non sono parallele Ig I C I I = V R / R Si è ottenuto cos f = 1 Il circuito è rifasato cos f < 1 : il circuito non è rifasato Im Re corrente tensione V R V L V C I Il rifasamento rende minimo il modulo Ig V L = jwL I V g V Rg ortogonale a V C direzione di I C f V C = V R + V L I g I C minimo I C = jwC V C Direzione di I g : Direzione di I C : I Ig V g direzione di V C parallela a V C I g = I + I C V Rg I g V C V L V Rg = Rg I g I C V g = V Rg + V C I

Calcolo della capacità C Calcolo della capacità C Rifasamento L R C A B Vg + Rg Ig V Rg Calcolo della capacità C Metodo analitico Si consideri il bipolo visto dai morsetti AB L R C I I C + V C V R V L Im Re I A B Per il calcolo di C sono state usate solo grandezze del bipolo a destra dei morsetti AB V R V L V C ZAB Il bipolo è rifasato quando l’impedenza ZAB (o l’ammettenza YAB ) è puramente reale I C Calcolo della capacità C Metodo grafico : si calcoli YAB = 1 / ZAB Si considerino solo i moduli delle grandezze YAB = j w C + 1 / (R + jwL) I C = w C V C = j w C + (R - jwL) / (R2 + w2L2) C = I C / (w V C ) = 0 per C = L / (R2 + w2L2) Im [YAB ] = w C - wL / (R2 + w2L2) VC = IC (R2 +w2L2) /wL VC = I R2 + w2L2 VC = VR2 + VL2 ; VL = wL I C = L / (R2 + w2L2) In questo caso si ha YAB = R / (R2 + w2L2) ; ZAB = (R2 + w2L2) / R I = IC R2 + w2L2 /wL I /IC = VC /VL = I R2 + w2L2 / wLI Il bipolo rifasato è equivalente a un resistore Re = (R2 + w2L2) / R