Elementi di Matematica Geometria analitica prof. Paolo Peranzoni

Due lingue La geometria analitica consiste essenzialmente nella sintesi fra geometria e algebra, mediante una traduzione dei problemi geometrici in algebrici e viceversa Come in ogni traduzione fra due lingue, è necessario conoscere il vocabolario e la grammatica delle lingue stesse Poiché gli elementi base della geometria sono i punti e dell’algebra i numeri, vedremo come tradurre gli uni negli altri

Coordinate cartesiane Ad ogni punto nel piano la geometria analitica associa una coppia (ordinata) di numeri, secondo un metodo estremamente semplice ed intuitivo I due numeri della coppia sono detti coordinate del punto: il primo è detto ascissa il secondo è detto ordinata

Assi cartesiani Le due rette orientate e graduate che servono da riferimento per la “traduzione” sono chiamate asse x (o delle ascisse) e asse y (o delle ordinate) I due assi cartesiani sono, di solito, fra loro perpendicolari Gli assi si incontrano, usualmente, in un punto chiamato origine

Grammatiche Le strutture fondamentali (“grammatica”) della geometria sono i luoghi geometrici Quelle dell’algebra sono le relazioni (equazioni e disequazioni) In generale, le figure geometriche (luoghi) si tradurranno mediante opportune equazioni

Equazione della retta Si può dimostrare che qualsiasi retta del piano cartesiano “si traduce in” (corrisponde a) un’equazione lineare (ossia di primo grado) in due variabili x e y, che rappresentano l’ascissa e l’ordinata dei suoi (infiniti) punti Tale equazione può assumere varie forme: canonica (o normale) esplicita segmentaria .....

Vari tipi di equazione L’equazione canonica (normale) della retta ha la forma: ax + by + c = 0 essendo a, b e c tre coefficienti reali L’equazione esplicita ha invece la forma y = mx + q e può essere ricavata dalla precedente se b  0 m si chiama coefficiente angolare (o pendenza) q si chiama intercetta sull’asse y (oppure ordinata all’origine)

Esempio La retta mostrata in figura ha equazione canonica 3x + 2y – 6 = 0 ed equazione esplicita Il coefficiente angolare negativo ( ) sta ad indicare che la retta scende da sinistra a destra

Retta per due punti Come si fa a determinare l’equazione di una retta? Come è noto, una retta è identificata conoscendone due punti La formula (che dimostreremo poi) è: dove x1, y1, x2, y2 sono rispettivamente le coordinate dei due punti noti

Esempio Troviamo l’equazione della retta mostrata in figura, conoscendo i due punti A(0, 3) e B(2, 0): , ossia , da cui , L’equazione esplicita è allora: , che corrisponde a quella riportata in precedenza

Casi particolari... La formula vista in precedenza funziona quasi sempre, tranne quando la retta è parallela ad uno degli assi In tal caso, infatti, l’uno o l’altro dei due denominatori diventa zero, cosa notoriamente vietata! L’equazione di una retta parallela all’asse x è semplicemente y = k, mentre quella di una parallela all’asse y è x = h

... casi particolari (seguito) La figura a lato mostra le rette di equazione x = –3 e y = 4 Analogamente, l’asse delle x (ascisse) ha equazione y = 0, mentre quello delle y ha equazione x = 0

Detto in altre parole... In conclusione, possiamo dire che: le coordinate di tutti gli infiniti punti di una retta sono soluzioni della sua equazione (ossia la verificano, la soddisfano) l’equazione di una retta ha per soluzioni (infinite) tutte e sole le coordinate dei suoi punti Si noti che una soluzione è costituita da una coppia di numeri (ascissa e ordinata)

La pendenza di un segmento  

La formula per la retta … Consideriamo una retta passante per i punti P1(x1, y1) e P2(x2, y2) Sappiamo che l’equazione generica di una retta è ax + by + c = 0 Sostituendo alle variabili le coordinate dei punti, otteniamo: , che, risolto col metodo di riduzione, dà , ossia

... seguito Sostituendo nell’equazione iniziale, si ottiene: da cui, moltiplicando ambo i membri per e dividendoli per b, si ottiene: ,

Parabole La parabola è una curva appartenente alla famiglia delle coniche Vedremo in seguito la sua definizione geometrica; ora vediamo soltanto la sua equazione cartesiana Una parabola con l’asse parallelo all’asse y (“verticale”) ha equazione normale (canonica): y = ax2 + bx + c

Qualche formula utile mentre il suo asse ha equazione: Il vertice di una parabola ha coordinate: mentre il suo asse ha equazione:

Concavità La concavità della parabola è rivolta verso l’alto (cioè la “bocca” guarda in alto) se a > 0, verso il basso se a < 0 Non può essere a = 0, perché altrimenti la parabola si ridurrebbe ad una retta! a > 0 a < 0

Esempio La parabola di equazione y = x2 – x – 2 ha vertice V(0,5; –2,25) ed asse di equazione x = 0,5 Volge la concavità verso l’alto Interseca gli assi in A(–1; 0), B(2; 0) e C(0; –2)

Intersezioni Come si fa a determinare le intersezioni di una parabola (o in generale di una curva) con gli assi cartesiani? Bisogna trovare i punti comuni alla curva e alla retta, cioè quei punti le cui coordinate soddisfano entrambe le equazioni Ciò significa, in pratica, risolvere il sistema delle due equazioni stesse Si ricordi che l’equazione dell’asse x è y = 0, mentre quella dell’asse y è x = 0

Esempio... Calcoliamo le intersezioni della parabola di equazione y = x2 – x – 2 con l’asse x (y = 0): ; ; La parabola interseca l’asse x in A(–1; 0) e B(2; 0)

... Esempio (seguito) Calcoliamo le intersezioni della parabola di equazione y = x2 – x – 2 con l’asse y (x = 0): ; La parabola interseca l’asse y in C(0; –2)

Disequazioni di secondo grado Le parabole possono aiutarci a risolvere le disequazioni di secondo grado Vogliamo risolvere la disequazione: Se chiamiamo y l’espressione a primo membro, la nostra disequazione equivale al sistema: Nel piano cartesiano, la prima equazione rappresenta una parabola; la seconda disequazione un semipiano

Disequazioni... (seguito) Il semipiano è quello che sta al di sotto dell’asse x (in grigio nel grafico) Si tratta del luogo geometrico dei punti che hanno ordinata negativa (y < 0) La parte comune (intersezione) alla parabola e al semipiano è l’arco di parabola AB

Soluzioni Dunque le soluzioni del sistema e quindi della disequazione sono i punti dell’arco AB, o meglio le loro ascisse: si tratta dei valori interni all’intervallo ]–1, 2[, cioè:

Un altro caso Vogliamo risolvere ora la disequazione: che equivale al sistema: In questo caso, il semipiano da considerare è quello che sta sopra all’asse x (compreso l’asse stesso): Non ci sono punti comuni fra la parabola e il semipiano! La disequazione non ha soluzioni (è impossibile)

... e ancora un altro Si voglia risolvere adesso la disequazione: che equivale al sistema: Il semipiano da considerare è ancora quello che sta sopra all’asse x (compreso l’asse stesso): Questa volta i punti comuni fra la parabola e il semipiano sono quelli dell’arco in zona grigia La disequazione ha per soluzioni i valori:

Che cosa guardare? Dagli esempi considerati possiamo capire che gli elementi importanti da analizzare sono: il segno di a (primo coefficiente della diseq.); esso determina infatti la concavità della parabola il discriminante della disequazione; il segno di , infatti, ci dice se vi sono intersezioni fra la parabola e l’asse x il verso (e il tipo, se con o senza =) della disuguaglianza; esso determina infatti quale semipiano dobbiamo considerare Dopo di che, basta disegnare il grafico e decidere!

Tangenti Come per la circonferenza, anche per la parabola vale la proprietà che da qualunque punto esterno alla conica è possibile condurre sempre due tangenti alla curva

Distanza fra due punti Per determinare la distanza fra due punti A e B, costruiamo un terzo punto C come mostrato in figura Per il Teorema di Pitagora, si ha che: Ma e Si ha dunque: Ma e :

Definizione di parabola Si definisce parabola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice Imponendo la condizione che sia , mediante la formula della distanza fra due punti si ottiene facilmente l’equazione della parabola

Circonferenza Anche la circonferenza è una curva appartenente alla famiglia delle coniche Abbiamo già visto la sua definizione: la circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro Come possiamo trovare la sua equazione canonica? Traducendo in linguaggio algebrico la sua definizione geometrica

Equazione della circonferenza Consideriamo la circonferenza di centro C(–1, 1) e raggio r = 2 La distanza di un generico punto P della circonferenza dal centro C è dunque pari a 2 Utilizzando la formula della distanza fra due punti otteniamo l’equazione: ossia : equazione canonica della circonferenza

Casi particolari 1 Dunque l’equazione canonica della circonferenza è del tipo: con a, b e c numeri reali qualsiasi Se c = 0, la circonferenza passa per l’origine degli assi cartesiani Infatti, l’equazione è soddisfatta dalle coordinate (0, 0) dell’origine

Casi particolari 2 Se invece a = 0, la circonferenza ha il centro sull’asse y e la sua equazione si riduce a Infatti, si può dimostrare che le coordinate del centro sono

Casi particolari 3 Analogamente, se b = 0, la circonferenza ha il centro sull’asse x e la sua equazione si riduce a Che cosa succederà se a = 0 e b = 0 ?

Casi particolari 4 Se a = 0 e b = 0, il centro starà su entrambi gli assi e dunque coinciderà con l’origine degli assi stessi L’equazione si riduce in questo caso a , ossia a E se risulta –c < 0 ? In tal caso l’equazione è impossibile e non rappresenta nulla!

Condizione di esistenza La circostanza appena esaminata ci fa porre una domanda: L’equazione canonica rappresenta sempre una circonferenza? La risposta è negativa: Tale equazione rappresenta una circonferenza se e solo se In caso contrario essa non rappresenta niente!

Qualche calcolo… Consideriamo una generica circonferenza di centro C(xC, yC) e raggio r La distanza di un generico punto P(x, y) della circonferenza dal centro C è dunque pari a r Utilizzando la formula della distanza fra due punti otteniamo l’equazione: , ossia , che diventa ponendo , e

… seguito … Abbiamo detto che l’equazione canonica rappresenta una circonferenza solo se Perché? Trasformiamo l’equazione come segue: e, tenendo presente le posizioni fatte in precedenza:

... finale Ma, in base alla posizione , si ricava che , Perciò l’equazione precedente diventa: Ossia l’equazione di una circonferenza di centro C(xC, yC) e raggio r Ma questo solo se , ossia se e quindi