Elementi di Matematica Potenze e logaritmi prof. Paolo Peranzoni

Esponenti interi positivi Le potenze ad esponente intero positivo si definiscono come moltiplicazioni ripetute Ad esempio, 35 = 3·3·3·3·3 (cinque volte) Per definizione, si pone 31 = 3 Dunque, an (con nN [senza zero!]) è definita qualunque sia il numero reale a

Esponenti interi relativi Se vogliamo estendere la definizione di potenza anche ad esponenti interi negativi o nulli, dobbiamo cambiare definizione e imporre qualche restrizione Per definizione, si pone a0 =1, qualunque sia a Inoltre, si pone , con nN Ma, per poter fare questo, si deve porre Perché?

Perché non nullo? La condizione si rende necessaria perché altrimenti l’espressione non avrebbe senso (non si può dividere per zero!) Ma perché dare proprio quelle definizioni? Perché continuino a valere le proprietà formali delle potenze, anche con gli esponenti negativi e nulli

Proprietà formali Le proprietà formali delle potenze sono:

Per quali esponenti? Le proprietà precedentemente elencate si dimostrano facilmente se nella seconda, n > m nella quarta, Se vogliamo farle valere anche per esponenti interi relativi (n, m  Z), è necessario dare le definizioni precedenti, che però richiedono la restrizione

Esponenti razionali Se vogliamo estendere il concetto di potenza anche ad esponenti razionali (m, n  Z), mantenendo sempre valide le proprietà formali, si deve definire: In compenso, però, si deve porre a > 0! Infatti, ad esempio, non esisterebbe, dovendo valere

Se si tira la coperta da un lato... Si può dunque ampliare l’insieme dei possibili esponenti, ma si deve al tempo stesso restringere quello delle possibili basi! Con un metodo un po’ più complesso, che comporta l’uso delle sezioni e/o delle classi contigue, si può estendere l’insieme degli esponenti anche ai numeri reali sempre a patto, però, che la base sia positiva!

La funzione esponenziale Possiamo dunque considerare la funzione , con , purché sia, come già ripetuto più volte, Per definizione, il valore della funzione esponenziale (e quindi di y) è sempre positivo Vediamo ora che aspetto ha il grafico di questa funzione

Grafici Il grafico della funzione esponenziale si presenta come in figura: se si ha il grafico in rosso se invece , si ha il grafico in blù

La funzione inversa Dato che la funzione esponenziale è sempre decrescente (se ) oppure sempre crescente (se ), si capisce facilmente che essa è biiettiva e quindi invertibile Una funzione sempre decrescente o sempre crescente viene detta monotòna Qual è la funzione inversa dell’esponenziale? Si chiama funzione logaritmica

La funzione logaritmica La funzione esponenziale associa ad ogni numero reale x il valore della potenza ax, che verrà chiamato y La funzione inversa associa allora ad ogni valore di y l’esponente x che dobbiamo mettere alla base a affinché la potenza ax abbia il valore y Tale funzione inversa viene chiamata, come abbiamo già detto, funzione logaritmica

Definizione di logaritmo Si definisce dunque logaritmo in base a di un certo numero y (e si indica con ) l’esponente che bisogna mettere alla base a affinché la potenza ax abbia il valore y Naturalmente il numero y deve essere positivo, visto che ax può avere solo quel segno Anche la base a deve essere positiva e, inoltre, deve essere Perché?

Non in base 1! Come si presenta la funzione esponenziale in base 1? Essa è costante, dato che , qualunque sia x Il suo grafico, in questo caso, è una retta paral- lela all’asse x: non è più una funzione biiettiva e quindi non è invertibile!

Ancora grafici Il grafico della funzione logaritmica si presenta come mostrato in figura: se si ha il grafico in rosso se invece , si ha il grafico in blù Si noti che , qualunque sia la base a

Proprietà dei logaritmi Dalle proprietà formali delle potenze derivano altrettante proprietà dei logaritmi: (con x, y > 0) (con x > 0) (con x > 0, nN)

Le basi più comuni Le basi più utilizzate per i logaritmi sono: la base 10 (dato che il nostro sistema di numerazione è in base 10); si chiamano logaritmi volgari o di Briggs la base e (numero di Nepero, irrazionale trascendente con valore approssimato ); si chiamano logaritmi naturali la base 2; sono utilizzati soprattutto in informatica

Cambiamento di base C’è un’ultima formula da conoscere riguardo ai logaritmi: quella del cambiamento di base Sulle calcolatrici, infatti, troviamo solo i logaritmi decimali (log) e quelli naturali (ln); se ci serve il logaritmo in un’altra base, come si fa? La formula è: Caso particolare: