Parte prima: Gli obiettivi della politica economica (SEGUE) Capitolo 4: Le scelte pubbliche: gli obiettivi secondo la funzione del benessere sociale Misure, regole, funzione del benessere sociale di Bergson-Samuelson e altri criteri Il teorema dell’impossibilità di Kenneth-Arrow La scelte pubbliche e gli obiettivi della politica economica

La funzione di benessere sociale z1, z2, .., zn W(z1, z2, .., zn) W: n Stati del mondo Per fare questo: rappresentazione delle preferenze individuali ipotesi sulla loro misura ipotesi sulla possibilità di effettuare confronti definire la regola di aggregazione W

La rappresentazione delle preferenze individuali Gli operatori di preferenza: preferenza stretta: xPy (x > y) indifferenza: xIy (x = y) preferenza debole: xRy (x  y) Proprietà di un ordinamento: 1) Forte completezza: per ogni (x, y) devo potere dire se xRy, yRx, xRy & yRx => xIy transitività: xRy & yRz => xRz 2) Debole quasi-transitività: xPy & yPz => xPz aciclicità: xPy & yPz => xRz

Ipotesi sulla misura delle preferenza Definizione di una funzione di utilità U(.) utilità cardinale: la misura ammette tutte le operazioni numeriche fondamentali U: n utilità ordinale: la misura ammette solamente valutazioni di maggiore, minore o uguale U(x)  U(y) sse xRy In termini algebrici: cardinale in scala assoluta: U(.) non ammette alcuna trasformazione cardinale in scala relativa: U’(x) = U(x) se U’(x) = kU(x), k > 0 cardinale: U’(x) = U(x) se U’(x) = kU(x) + h, k > 0 ordinale: U’(x) = U(x) se U’(x) = f(U(x)), f ’ > 0

Ipotesi sul confronto (interpersonale) delle preferenze confrontabilità piena (o assoluta): possiamo confrontare i livelli di utilità degli individui UA(.) vs UB(.) con vs = (>, < , =) confrontabilità parziale (o relativa): si possono confrontare solo gli incrementi di utilità ma non i livelli UA(.) vs UB(.) con vs = (>, < , =) inconfrontabilità: nessuna informazione sulle utilità di due individui è confrontabile UA(.) vs UB(.), UA(.) vs UB(.) ecc. con sv =(?)

Il senso della ricerca teorica I modelli che assumono le ipotesi più forti giungono a conclusioni che sono più deboli, mentre i modelli che assumono le ipotesi più deboli giungono a conclusioni che devono essere accreditate come più forti Il senso della ricerca è di indebolire le ipotesi per cercare conclusioni forti, le ipotesi più deboli sono le funzioni di utilità ordinali & l’inconfrontabilità interpersonale

Le regole di aggregazione delle preferenze Il criterio di Vilfredo Pareto Il criterio di Nicholas Kaldor La funzione di benessere sociale di Bergson-Samuelson La funzione di benessere sociale di Bernoulli-Nash La funzione di benessere sociale di Rawls Il teorema di Kenneth Arrow (impostazione assiomatica) Il teorema di Amartya Sen (impostazione assiomatica)

dPa , ePa b, f, c vs a con vs = (?) d vs e con vs = (?) Il criterio di Pareto I presupposti: individualismo etico; misura ordinale delle utilità; inconfrontabilità personale Enunciazione: debole: un insieme di persone migliora la propria soddisfazione mutando situazione se tutti gli individui hanno livelli più alti di utilità (cfr. la regola dell’unanimità in senso forte) forte: un insieme di persone migliora la propria soddisfazione mutando situazione se almeno un individuo sta meglio mentre nessuno sta peggio (cfr. la regola dell’unanimità in senso debole) UA NB: Il criterio consente solo un ordinamento parziale: dPa , ePa b, f, c vs a con vs = (?) d vs e con vs = (?) f d e b a c UB

Il criterio di Kaldor (principio della compensazione) UB Il passaggio da a ad e: UB < 0 & UA > 0 è irresolubile per Pareto a e UA Enunciazione: si introduce l’ipotesi di un indennizzo da A verso B(T), se il vantaggio di A è così grande che può risarcire B e rimanere con un vantaggio netto, allora ePa. UB + TUB = 0 & UA - TUA > 0 ePa NB: il principio dell’indennizzo è un criterio “intellettuale” che non risolve problemi “distributivi”

La funzione di Bergson-Samuelson Principio di utilità (utilitarismo di Bergson): gli stati del mondo x,y .. (definiti su n variabili zi) vengono valutati per l’utilità che inducono nei soggetti, Ui(z1, z2, .., zn) con U:n W = W(U1 ; U2 ; ... ; UN), W:N W(U1(x), U2(x) ... ; UN(x)) > W(U1(y), U2(y) ... ; UN(y)) sse xPy Funzione di benessere sociale rispetto della condizione W/Ui  0 Principio della somma: che può essere semplice: W = U1 + U2 + … + U3 = i=1N Ui ponderata: W = a1U1 + a2U2 + ... + aNUN   = i=1N  aiUi , ai  0 NB: Chi sceglie ai  0? Se il dittatore è benevolente ai = 1

La funzione di Samuelson comporta la comparazione interpersonale delle utilità Esempio: il gioco delle 6 mele x = {(6,0) (5,1) (4,2) (3,3) (2,4) (1,5) (0,6)} con x = (qA , qB ) W = UA(x) + UB(x) quindi W = UA(qA) + UB(qB ) con   qA + qB  = 6 max W ==> dW/dqA  = dUA/dqA  + dUB/dqB  dqB/dqA  = 0 ma dqB/dqA = - 1 ===> dUA/dqA  - dUB/dqB = 0 Il problema può essere risolto solo tramite una comparazione delle utilità di A & B. NB: La regola di aggregazione della funzione di benessere sociale è una regola debole poiché implica delle ipotesi forti sulla misura e sul confronto delle utilità

Altre funzioni di benessere sociale La funzione Bernoulli-Nash propone il principio del prodotto, che può essere: semplice: W = U1  U2  ...  UN   = i=1N Ui ponderato: W = i=1N (Ui)ai Esempio: max W => (dUA/dqA):UA - (dUB/dqB):UB = 0 comporta un confronto delle utilità, in senso relativo NB: Chi sceglie ai  0? La funzione di Rawls la valutazione di uno stato sociale dipende solo dal benessere dell’individuo che si trova nella situazione peggiore W (U1; U2; ... ; UN) = min (Ui) NB: La visione del mondo è quella del più sfortunato

L’impostazione assiomatica (Arrow & Sen) Sia X = (x1, x2, .., xn) l’insieme degli stati del mondo, con n  3 Sia C una collettività di N individui, con N  2 Sia Ri un ordinamento di preferenza per l’individuo i.mo Si dice profilo di preferenza ogni N-pla [R1, R2, …, RN] Una regola di scelta collettiva (RSC) è una relazione funzionale funzionale che specifica una, e soltanto una, relazione di preferenza sociale R per ogni profilo di preferenza, ossia per ogni insieme di ordinamenti individuali ==> R = F([Ri]) Una funzione del benessere sociale (FBS ) è una regola di scelta collettiva RSC il cui codominio è ristretto alle R che generano degli ordinamenti Una funzione di decisione sociale (FDS) è una regola di scelta collettiva RSC il cui codominio è ristretto  alle R che generano una funzione di scelta. di cui

Gli assiomi di Arrow: Condizione T di completezza della relazione binaria di preferenza sociale debole R (xRy  o  yRx  oppure entrambe) e di transitività di R (xRy  e  yRz allora xRz) Condizione U del dominio universale: il dominio della funzione f deve comprendere tutti gli ordinamenti individuali possibili; la società dovrebbe darsi una struttura normata per risolvere tutte le possibili controversie Condizione P del principio di Pareto debole o dell’unanimità: se ciascun individuo preferisce strettamente x ad y, allora anche la società deve preferire x ad y Condizione I dell’indipendenza dalle alternative irrilevanti: la scelta sociale tra ogni coppia di alternative deve dipendere dagli ordinamenti individuali su quelle due alternative soltanto, e non anche dagli ordinamenti individuali sulle altre alternative. Questo assioma è stato imposto da Arrow  soprattutto per un'esigenza di “economia” di informazioni Condizione D di non-dittatorialità: non deve esserci alcun individuo la cui preferenza stretta su ogni coppia di alternative sia sistematicamente rispecchiata nella relazione sociale di preferenza stretta.

Teorema dell’impossibilità di Arrow: prima versione: Non esiste alcuna funzione del benessere sociale (FBS) che soddisfi le condizioni T, U, P, I, D seconda versione: Qualunque funzione del benessere sociale (FBS)  che soddisfi le condizioni  T, U, P, I  pone un agente nelle condizioni di essere un dittatore. Bet:vPyPxPu Bet v Q2 u Q1 y Neutralità uPv => xPy y w x x x z Q4 u Q3 v xPu & uPv & vPy => xPy Alef: xPuPvPy Alef è il dittatore Alef unanimità

L’indebolimento degli assiomi di Arrow:poiché il teorema di Arrow è vero, non è possibile scappare da esso se non rigettando o indebolendo alcuni assiomi. I più discussi: condizione U (eccessiva, poiché non tutte le situazioni sono ugualmente probabili); condizione I (eccessiva, poiché troppo restrittiva); condizione T (si propongono indebolimenti, quasi-transitività, aciclicità). Altra strada: richiedere che la RSC sia una FDS (non una FBS) Teorema della possibilità di Sen: Per un insieme di stati sociali finito, esiste una funzione di decisione sociale (FDS) che soddisfa le condizioni U, I, P, D  e la transitività della sola relazione di preferenza sociale stretta P. Inoltre, un teorema più generale che ritorna all’ideologia di un’oligarchia (caso più generale della dittatura): Teorema di  Gibbard: Ogni funzione di decisione sociale (FDS) che genera una R quasi transitiva e che  soddisfa le rimanenti condizioni di Arrow, deve essere oligarchica.

Teorema dell’impossibilità di Sen: gli assiomi di Sen: Aciclicità ==> FDS Condizione P di unanimità: se ogni individuo preferisce l'alternativa  x  all'alternativa y, allora la società deve preferire x  ad y Condizione U di dominio non ristretto: ogni insieme logicamente possibile di ordinamenti individuali è incluso nel dominio della regola di scelta collettiva (RSC) Condizione L del liberalismo: per ogni individuo i, esiste almeno una coppia di alternative (x, y) in X tale che, se questo individuo preferisce x a y, allora la la società deve preferire x a  y, e se questo individuo preferisce y a x, allora la la società deve preferire y a x Teorema dell'impossibilità di Sen: non esiste alcuna funzione di decisione sociale (FDS), che possa soddisfare simultaneamente le condizioni  P, U  e L

Dimostrazione: Alef: z P x P y Bet: x P y P z Un solo volume: Amante di Lady Chatterly, Alef il puritano, Bet il libertino x: Alef legge il libro y: Bet legge il libro z: nessuno legge il libro Alef: z P x P y Bet: x P y P z Principio liberale (L) : ogni individuo è libero di leggere ciò che vuole Dimostrazione: z P x per il principio liberale (L) applicato ad Alef y P z per il principio liberale (L) applicato a Bet x P y per la condizione di unanimità (P) x P y & y P z ==> x P z ma il principio liberale è in contraddizione con il principio di Pareto

UN COROLLARIO: la scelta sociale può essere “coerente” (non ciclica) se un principio morale (ideologia) verrà imposto per tutta la collettività se prevale l’integralismo di Alef : z P x per la collettività z P x & x P y ==> z P y la società pone all’indice il libro impedendo la lettura a Bet se prevale l’ideologia lasciva di Bet: y P z per la collettività x P y & y P z ==> x P z la società costringe Alef a leggere il libro

Dalle scelte pubbliche agli obiettivi funzione X v  X C(v) corrispondenza OBIETTIVI FISSI Agenda fissa (v = X) OBIETTIVI FLESSIBILI Agenda variabile

Esempio: burro Q = 20 Lq , quindi Lq = 20-2 Q2 esercito E = Le Lq + Le = 100 possibilità di produzione (curva di trasformazione): E = 100 - 20-2 Q2 = T(Q) A) Agenda fissa v* = (E,Q) | E  T(Q) ==> obiettivo fisso C(v*) B) Agenda variabile v  X = (E,Q)  E  Em e Q  Qm  ==> obiettivo flessibile W = F(E, Q) E E T F: 2 W P = max W Q W° C(v*) Q

I teoremi “fondamentali” del dittatore benevolente A) L’ottimo sociale del mercato di concorrenza perfetta W° = a1R + a2 , con a1 , a2 > 0  = Profitto del produttore R = Rendita del consumatore W = q f(x) dx - pq + (pq - C(q)) con  = a2 /a1 0 max W ===> dW/dq = 0 cioè p = C’ + f ’q (1 - )/  = 1 ==> p = C’  > 1 ==> p > C’  < 1 ==> p < C’    ==> p + f’q = C’ , Rma= C’ NB: il teorema dell’efficienza della concorrenza perfetta è sostenuto dall’ipotesi del dittatore benevolente

A) e B) dimostrano che l’ideologia è determinante! B) L’ottimo sociale del sistema economia-ambiente W° = a1B(q) - a2C(q) B= beneficio privato del consumo di q C = esternalità pubblica del consumo di q W = B(q) - C(q) max W ==> dW/dq = 0 ==> B’(q) = C’(q)  = 1 ==> B’(q*) = C’(q*), q* = livello ottimo del consumo sociale  > 1 ==> B’ < C’, q < q*  < 1 ==> B’ > C’ , q > q* NB: Il teorema del consumo ottimo del sistema economico-ambientale è sostenuto dall’ipotesi del dittatore benevolente A) e B) dimostrano che l’ideologia è determinante!

lineare: W(x) = q0 + i=1n qi xi Le (più usate) funzioni di preferenza sociale x = x1 , x2, …, xn W: n   lineare: W(x) = q0 + i=1n qi xi quadratica generale: W(x) = q0 + i=1n qi xi + i=1n j=1n qij xi xj quadratica particolare: W(x) = q0 + i=1n qi xi + ½ i=1n qii xi2 cubica particolare: W(x) = q0 + i=1n qi xi + ½ i=1n qii xi2 + 1/3 i=1n rii xi3 esponenziale: W(x) = q0 + i=1n e qixi logaritmica: W(x) = q0 + i=1n qi log xi integrale, ecc. W(x) = q0 + q’x + x’Qx q0  0 qi, qii, qij ponderazioni della politica eclettiche

Esempio: P = ½(v - v*)2 + ½(u - u*)2 , valori desiderati (u*, v*) Le funzioni di perdita: P(x) = (x - x*)’Q (x - x*) x* valori dello state of bliss Esempio: P = ½(v - v*)2 + ½(u - u*)2 , valori desiderati (u*, v*) v State of bliss v* S v* u u* u* u** NB: le funzioni di preferenza possono essere obiettivi flessibili di massimo (benessere, profitti) o di minimo (costi sociali); le funzioni di perdita sono sempre obiettivi flessibili di minimo

? obiettivo Uomo economico Funzioni di utilità Uomo politico Funzioni di preferenza ? A) perché i politici non sempre sono capaci di esplicitarle B) perché non hanno quasi mai convenienza da esplicitarle dell'economia politica Metodi 1) metodo diretto ==> intervista “fittizia”, desunta dai programmi 2) metodo indiretto ==> “indotta” dalle azioni (funzione di reazione) Problema duale della politica economica