EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO

GEROLAMO CARDANO NICOLO’ TARTAGLIA

UN PO’ DI STORIA Molti testi risalenti al periodo babilonese antico(1900-1600 a.C.) mostrano che i babilonesi erano in grado di risolvere equazioni di primo, secondo e anche di terzo grado

Anche gli antichi greci avevano affrontato il problema della risoluzione delle equazioni di primo e secondo grado, ma sempre da un punto di vista geometrico. Le equazioni venivano impostate e risolte mediante una opportuna interpretazione geometrica

La storia del rinvenimento della formula risolutiva dell'equazione di terzo grado si sviluppa nella prima metà del 1500. Si può affermare che gli autori della formula risolutiva sono: : Scipione dal Ferro, il suo allievo Antonio Maria Fior, Niccolò Fontana, detto Tartaglia, e Gerolamo Cardano. Ognuno di essi ha contribuito alla risoluzione del problema.

La difficoltà storica di attribuire la paternità di una formula è legata alle motivazioni socio-economiche che spingevano questi matematici verso la ricerca scientifica. Colui che trovava una formula generale non la rendeva pubblica, ma si serviva di essa per risolvere i più svariati problemi che ad essa si riconducevano , ricavandone così maggiore gloria.

In quell’epoca i lettori di matematica avevano un incarico annuale ed erano pagati secondo la loro fama. Inoltre erano di uso comune le cosiddette “disfide “ in cui un matematico sottoponeva ad un altro una serie di problemi e lo sfidava a risolverli. Dai risultati di queste sfide dipendeva il rinnovo dell’incarico annuale.

Il 22 febbraio 1535 si tiene una sfida tra Tartaglia e Fior: ciascuno propone all'altro trenta problemi da risolvere nel più breve tempo possibile. Tartaglia risolve rapidamente i problemi di Fior, mentre quest'ultimo non riesce a risolverne nessuno. Tutti i problemi si risolvevano per mezzo di equazioni di terzo grado; quelli proposti da Fior potevano essere ricondotti tutti all'unico tipo che conosceva di equazione di terzo grado, la cui formula risolutiva gli era stata rivelata dal suo maestro Scipione dal Ferro. La schiacciante vittoria di Tartaglia dimostrava che questi aveva trovato un metodo per risolvere tutte le equazioni di terzo grado.

La notizia giunge a Cardano, medico, scienziato e astrologo dalla fama internazionale. Cardano cerca di convincere Tartaglia a rivelargli la formula. Dopo numerose insistenze Tartaglia cede richiedendo che la formula restasse segreta.

“Formula risolutiva” di Tartaglia Quando che 'l cubo con le cose appresso Se agguaglia a qualche numero discreto x3 + p x = q trovan dui altri differenti in esso. u - v = q

“Formula risolutiva” di Tartaglia Da poi terrai questo per consueto che 'l lor produtto, sempre sia eguale al terzo cubo delle cose netto u · v = (p/3)3 el residuo poi suo generale delli lor lati cubi ben sottratti varrà la tua cosa principale

Nel 1545, contravvenendo alla promessa verso Tartaglia, Cardano pubblica nell'Ars magna la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado. Invece di trattare la formula generale con il complesso linguaggio che ne sarebbe derivato, Cardano affronta un caso particolare, un esempio diremmo oggi, sottintendendo che il metodo si può applicare a qualsiasi caso.

IN GENERALE L’EQUAZIONE: SI RISOLVE CON LA FORMULA

RISOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE DEL TIPO : RISOLUZIONE DI UNA GENERICA EQUAZIONE CUBICA

Qualche decennio dopo, Ludovico Ferrari perviene alla risoluzione, con radicali quadratici e cubici, dell'equazione generale di 4° grado, riducendola al 3° grado. La conseguenza più importante delle scoperte delle formule risolutive per le equazioni di terzo e quarto grado fu il potente stimolo che esse diedero allo sviluppo dell’algebra in diverse direzioni.

Si fecero tentativi per risolvere l’equazione di quinto grado Furono presi in considerazione anche i numeri immaginari e complessi

EQUAZIONI DI GRADO MAGGIORE DI 2 EQUAZIONI BINOMIE EQUAZIONI TRINOMIE EQUAZIONI BIQUADRATICHE EQUAZIONI ABBASSABILI DI GRADO

EQUAZIONI BINOMIE n pari n dispari Un’equazione binomia di grado n è del tipo n pari n dispari

EQUAZIONI BINOMIE n dispari 1 soluzione reale e n-1 soluzioni non reali esempio

EQUAZIONI BINOMIE 2 soluzioni reali e n-2 soluzioni non reali n pari esempio

nessuna soluzione reale EQUAZIONI BINOMIE n pari nessuna soluzione reale esempio

EQUAZIONI TRINOMIE esempio

si pone l’equazione diventa un’equazione di secondo grado in t

Che risolta dà: Se Due soluzioni reali t1 e t2 distinte t1 = t2 coincidenti Nessuna soluzione reale

Dalle soluzioni t1 e t2 dell’equazione Otteniamo le soluzioni dell’equazione trinomia data risolvendo le equazioni binomie: esempio

EQUAZIONI BIQUADRATICHE Un’equazione trinomia di quarto grado si chiama equazione biquadratica esempio

EQUAZIONI ABBASSABILI DI GRADO Per risolvere una generica equazione di grado n è utile, se possibile , scomporre il polinomio associato in polinomi di primo o secondo grado e quindi risolvere la suddetta equazione applicando la legge di annullamento del prodotto esempio esempio

FINE A.Sacchi

Infatti ogniqualvolta le tre soluzioni di un’equazione di terzo grado erano reali e diverse da zero , la formula di Tartaglia-Cardano portava a radici quadrate di numeri negativi. Si sapeva che il risultato ultimo doveva essere reale ma questo non poteva essere raggiunto senza prendere in considerazione i numeri complessi.

Nel 1799 Paolo Ruffini e nel 1828 il norvegese Niels Abel, indipendentemente l'uno dall'altro, dimostrarono che per una equazione algebrica di grado superiore al 4° non è possibile esprimere le radici per mezzo di un numero finito di operazioni razionali e di estrazioni di radici.

Ludovico Ferrari (1522-1565) Matematico bolognese autore di importantissimi contributi alla teoria delle equazioni

E S M P I O

Si scompone il polinomio a primo membro Si applica la legge di annullamento del prodotto

E S M P I O

E S M P I O Nessuna soluzione reale

E S M P I O

Si scompone il polinomio a primo membro con la regola di Ruffini Si ottiene: Si applica la legge di annullamento del prodotto

Regola di Ruffini divisore +1 -3 +2 -2

Si scompone il polinomio a primo membro Si applica la legge di annullamento del prodotto

E S M P I O 1

E S M P I O 2

Dividiamo per a  0

In modo da eliminare il termine di secondo grado. Si sostituisce: In modo da eliminare il termine di secondo grado. A calcoli fatti si ottiene: