Disegno del modello di analisi dei dati sperimentali Lezione 1: Modelli Lineari Generalizzati e disegno degli esperimenti

Esempi di Modelli Lineari Generalizzati (GLM)

Regressione lineare Semplice:   Es:   Profondità alla quale un disco bianco non è più visibile in un lago y = Profondità alla scomparsa x = concentrazione d'azoto nell'acqua variabile dipendente β0 Intercept β1 Slope Il residuo ε esprime la deviazione tra il modello e l’osservazione eseguita variabile Indipendente

regression Polinomiale:   y = Profondità alla scomparsa x = concentrazione d'azoto nell'acqua

regressione Multipla :   Es:   y = Profondità alla scomparsa x1 = Concentrazione di N x2 = Concentrazione di P

analisi della varianza (ANOVA) Es:   y = Profondità alla scomparsa x1 = disco Blue x2 = disco verde x1= 0; x2 = 0 x1= 0; x2= 1 x1= 1; x2= 0

Analisi di covarianza (ANCOVA): Es:   y = Profondità alla scomparsa x1 = disco Blue x2 = disco verde x3 = Concentrazione di N

Nested analisi della varianza (Annidata):   y = Profondità alla scomparsa αi = effetto del i-mo lago β(i)j = effetto del j-ma misurazione nel i-mo lago

Che cosa non è un modello generale lineare ? y = β0(1+β1x) y = β0+cos(β1+β2x)

Altre tecniche coperte da questo corso: Analisi della varianza multivariata (MANOVA) Misurazioni ripetute Regressione Logistica

disegno sperimentale Esempi

disegno di studio randomizzato Gli effetti di p trattamenti (i.e. farmaci) sono comparati il numero totale di unità sperimentali (persone) è n Il trattamento i è somministrato a ni unità L’assegnazione dei trattamenti tra le unità sperimentali è casuale

Esempio di disegno randomizzato 4 farmaci (chiamato A, B, C, e D) sono testati (i.e. p=4) 12 persone sono disponibili (i.e. n = 12) ogni trattamento è dato a 3 persone (i.e. ni = 3 for i = 1,2,..,p) (i.e. disegno è bilanciato) Le persone sono assegnate ”random” ai trattamenti

farmaci A B C D Total y1A y2A y3A y1B y2B y3B y1C y2C y3C y1D y2D y3D Nota! Persone Differenti

Fonte Gradi di libetrtà stima di trattamenti ( ) Residui 1 p - 1 = 3 n-p = 8 Total n = 12

disegno a blocchi randomizzati tutti i trattamenti sono assegnati alle stesse unitàsperimentali i trattamenti sono assegnati a caso B C A D trattamenti (p = 4) blocchi (b = 3)

blocchi (b-1) trattamenti (p-1) trattamenti persone A B C D Average 1 2 3 blocchi (b-1) trattamenti (p-1)

disegno a blocchi randomizzati fonte Gradi di libetrtà stima di blocchi (persone) trattamenti (farmaci) Residuo 1 b - 1 = 2 p-1 = 3 n-[(b-1)+(p-1)+1] = 6 Total n = 12

disegno a blocchi doppi (quadrati-latini) Persone Sequence 1 2 3 4 B D A C Righe(a =4) Colonne (b = 4) Sequence (a-1) persone (b-1) farmaci (p-1)

disegno Latin-square fonte Gradi di libetrtà stima di Righe (sequences) blocchi (persone) trattamenti ( farmaci ) Residui 1 a-1 = 3 b - 1 = 3 p-1 = 3 n-[3(p-1)+1] = 6 Total n = p2 = 16

disegno fattoriale Sono usati quando gli Effetti combinati dovuti o più di fattori sono studiati simultaneamente. Come esempio, supponga che il fattore A sia un farmaco ed il fattore B sia la via di somministra-zione del farmaco Il fattore A accade in tre differenti livelli (chiamati farmaco A1, A2 e A3) Il fattore B accade in 4 differenti livelli (chiamati B1, B2, B3 e B4)

disegno fattoriale fattore B fattore A B1 B2 B3 B4 Average A1 y11 y12 effetto di A effetto di B Non interazione tra A e B

esperimento fattoriale senza interazione tempo di Sopravvivenza a 15oC e 50% UR: 17 giorni tempo di Sopravvivenza a 25oC e 50% UR: 8 giorni tempo di Sopravvivenza a 15oC e 80% UR: 19 giorni Qual’è il tempo di Sopravvivenza atteso a 25oC e 80% UR? Un aumento in temperature da 15oC a 25oC at 50% UR decresce il tempo di Sopravvivenza di 9 giorni Un aumento in UR da 50% ad 80% a 15oC accresce il tempo di Sopravvivenza di 2 giorni Un aumento in temperatura da 15oC a 25oC e un aumento in UR da 50% a 80% fa attendere una variazione del tempo di Sopravvivenza di –9+2 = -7 giorni

esperimento fattoriale senza interazione 25 20 80 % RH 50 % UR 15 Survival time (days) 10 5 10 15 20 25 30 Temperature ( o C)

esperimento fattoriale senza interazione 25 20 80 % RH 50 % UR 15 Survival time (days) 10 5 10 15 20 25 30 Temperature ( o C)

esperimento fattoriale senza interazione 10 15 20 25 30 Temperature ( o C) 5 Survival time (days) 50 % UR 80 % UR

esperimento fattoriale senza interazione 10 15 20 25 30 Temperature ( o C) 5 Survival time (days) 50 % UR 80 % UR

esperimento fattoriale senza interazione

esperimento fattoriale con interazione

disegno fattoriale s fattore B fattore A B1 B2 B3 B4 Average A1 y11 effetto di A effetto di B Interazioni tra A e B

disegno fattoriale a due-way con interazione, ma senza replicazione fonte Gradi di libetrtà stima di fattore A (drug) fattore B (somministrazione) Interazioni tra A e B Residui 1 a-1 = 2 b - 1 = 3 (a-1)(b-1) = 6 n- ab = 0 Total n = ab = 12

disegno fattoriale a due-vie senza repliche fonte Gradi di libetrtà stima di fattore A (drug) fattore B (somministrazione) Residui 1 a-1 = 2 b - 1 = 3 n- a-b+1 = 6 Total n = ab = 12 In assenza di repliche, è necessario assumere l’assenza di interazione tra fattori!

disegno fattoriale a due-vie con repliche fonte Gradi di libetrtà stima di fattore A (drug) fattore B (somministrazione) Interazioni tra A e B Residui 1 a-1 b - 1 (a-1)(b-1) ab( r-1) Total n = rab

disegno fattoriale a due-vie con interazione (r = 2) fonte Gradi di libetrtà stima di fattore A (drug) fattore B (somministrazione) Interazioni tra A e B Residui 1 a-1 = 2 b – 1 = 3 (a-1)(b-1) = 6 ab( r-1) = 12 Total n = rab = 24

disegno fattoriale a tre-vie fattore B fattore C fattore A 10 Main Effetti 31 due-way interazioni 30 Three-way interazioni

disegno fattoriale a Tre-vie fonte Gradi di libetrtà stima di fattore A fattore B fattore C Interazioni tra A e B Interazioni tra A e C Interazioni tra B e C Interazioni tra A, B e C Residui 1 a-1 = 2 b – 1 = 5 c-1 = 3 (a-1)(b-1) = 10 (a-1)(c-1) = 6 (b-1)(c-1) = 15 (a-1)(b-1)(c-1) = 30 abc( r-1) = 0 Total n = rabc = 72

perchè più di due livelli di un fattore dovrebbero essere usati in un disegno fattoriale ?

due-livelli di un fattore

Tre-livelli fattore qualitativo Low Medium High

Tre-livelli fattore quantitative

Perchè in un un disegno fattoriale devono essere usati non molti livelli di ogni fattore ?

Perchè ogni livello di ogni fattore accresce il numero di unità sperimentali da usare per esempio, un esperimento a cinque fattori con quattro livelli per fattore da origine a 45 = 1024 differenti combinazioni se non tutte le combinazioni sono applicate in un esperimento, il disegno è partialmente fattoriale