LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI: Fino ad ora abbiamo visto come determinare l’errore di una grandezza misurata direttamente. Spesso però capita che il valore della grandezza che si vuole determinare non è misurabile, ma deve essere ricavato a partire da misure di altre grandezze ad essa correlate Esempio: Concentrazione di una soluzione: Noto l’errore dm sulla massa di soluto pesato e l’errore dV sul volume di soluzione, come si ricava l’errore sulla concentrazione dc? NON E’ BANALMENTE:

LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI: Fino ad ora abbiamo visto come determinare l’errore di una grandezza misurata direttamente. Spesso però capita che il valore della grandezza che si vuole determinare non è misurabile, ma deve essere ricavato a partire da misure di altre grandezze ad essa correlate Esempio: Concentrazione di una soluzione: Noto l’errore dm sulla massa di soluto pesato e l’errore dV sul volume di soluzione, come si ricava l’errore sulla concentrazione dc? La relazione che lega le tre variabili c, m e V, è una relazione di tipo funzionale (la grandezza concentrazione è espressa in funzione delle altre due): c = f(m, V) Generalizziamo e consideriamo una generica funzione f di N variabili x1, x2, …xN : Noti gli errori dxi sulle singole variabili, come si ricava l’errore su y?

PARENTESI: LE DERIVATE PARZIALI Data una generica funzione y = f(x) avrete già visto cosa è e come si calcola la derivata della funzione rispetto alla sua variabile Esempi:

PARENTESI: LE DERIVATE PARZIALI Data una generica funzione y = f(x) avrete già visto cosa è e come si calcola la derivata della funzione rispetto alla sua variabile Esempi:

PARENTESI: LE DERIVATE PARZIALI Data una generica funzione y = f(x) avrete già visto cosa è e come si calcola la derivata della funzione rispetto alla sua variabile Esempi:

PARENTESI: LE DERIVATE PARZIALI Data una generica funzione y = f(x) avrete già visto cosa è e come si calcola la derivata della funzione rispetto alla sua variabile Esempi:

PARENTESI: LE DERIVATE PARZIALI Data una generica funzione y = f(x) avrete già visto cosa è e come si calcola la derivata della funzione rispetto alla sua variabile Esempi:

PARENTESI: LE DERIVATE PARZIALI Data una generica funzione y = f(x) avrete già visto cosa è e come si calcola la derivata della funzione rispetto alla sua variabile Esempi: Nelle funzioni ad una sola variabile del tipo y = f(x) la derivata non può che essere fatta rispetto all’unica variabile x. Nel caso in cui si ha a che fare con una funzione a più variabili del tipo y = f(x1, x2, x3,…xN), la derivata può essere eseguita rispetto ad ognuna delle singole variabili xi considerando le altre variabili come costanti.

PARENTESI: LE DERIVATE PARZIALI Considerando una funzione a due variabili y = f(x1, x2), la derivata parziale di f rispetto ad x2 si indica come: Esempi:

LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI: Data una generica funzione a più variabili (tra loro indipendenti) y = f(x1, x2, x3,…xN), si può dimostrare che l’errore sulla grandezza derivata è dato da: Espressione che può essere anche riscritta come: Ci sono casi particolari in cui questa formula generale è semplificata

LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI: Si consideri il trapezio in figura. Ricavare l’area ed il suo errore Esempio:

LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI: SOMMA (E DIFFERENZA): Consideriamo per semplicità una funzione a due variabili del tipo: Calcolando le derivate parziali si ottiene: Sostituendo i valori nella formula generale si ha: Somma in quadratura degli errori assoluti (moltiplicati per i rispettivi coefficienti):

LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI: SOMMA (E DIFFERENZA): Esempio: Consideriamo la media di N misure e calcoliamo l’errore sulla media : L’errore sulle singole variabili xi sappiamo essere la deviazione standard Sx Ritroviamo l’espressione della deviazione standard della media già introdotta

LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI: PRODOTTO (E RAPPORTO): Consideriamo sempre una funzione a due variabili del tipo: Calcolando le derivate parziali si ottiene: Sostituendo i valori nella formula generale si ha: Questo risultato può essere meglio espresso considerando l’errore relativo:

LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI: PRODOTTO (E RAPPORTO): Somma in quadratura degli errori relativi (moltiplicati per i rispettivi esponenti):

LA PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI: PRODOTTO (E RAPPORTO): Esempio: Ritornando all’esempio del calcolo dell’errore sulla concentrazione, abbiamo ora tutti gli elementi necessari : Concentrazione di una soluzione: Noto l’errore dm sulla massa di soluto pesato e l’errore dV sul volume di soluzione, come si ricava l’errore sulla concentrazione dc?