Quantità di moto relativistica secondo la definizione classica la quantita’ di moto di un punto materiale di massa m0 e’ dove m0 e’ la massa del punto materiale fermo, o “massa a riposo” per determinare l’espressione della quantita’ di moto relativistica studieremo un fenomeno d’urto elastico tra due punti materiali per il quale assumeremo valide le leggi di conservazione della quantita’ di moto e dell’energia supporremo che la quantita’ di moto relativistica sia strettamente collegata alla definizione classica di quantita’ di moto ma postuleremo che la massa non sia una costante ma una qualche funzione della velocita’ supponiamo che l’urto avvenga nel piano xy

supponiamo di avere due particelle di massa identica e di uguale modulo della velocita’ in moto rettilineo uniforme lungo la stessa direzione ma in versi opposti ad un certo istante le due particelle collidono elasticamente prima dell’urto la quantita’ di moto totale e’ nulla se pretendiamo che quantita’ di moto totale si conservi dopo l’urto le direzioni del moto dovranno essere esattamente opposte l’una all’altra altrimenti non vi sarebbe conservazione della quantita’ di moto totale supporremo anche che qualunque 1 2 1 2 1 angolo di scattering q q 2 1 sia possibile il medesimo urto puo’ essere visto in un sistema ruotato di meta’ dell’ angolo di scattering 2

esistera’ un sistema S in moto relativo rispetto al primo e tale per cui si abbia inoltre esistera’ un sistema S’ in moto relativo rispetto al primo e tale per cui si abbia S S’ 1 x y 2 secondo le trasformazioni di Lorentz della velocita’ relazione che applicata alla particella 1 fornira’ dato che vx = 0 in S peraltro la componente y della velocita’ della particella 1 nel sistema S’ deve essere uguale a -v2y per cui si ha in generale quindi potremo supporre che dove abbiamo posto e ma la quantita’ di moto totale lungo l’asse y era nulla quindi percio’ ossia se la velocita’ v1 della prima particella fosse molto piccola, la sua quantita’ di moto dovrebbe ridivenire pari alla quantita’ di moto classica, ossia e questo implica che 3

al limite per v1 tendente a zero in conclusione

Dinamica Relativistica Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011

Dinamica Relativistica Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011 Energia m0c2 e’ l’ energia a riposo del corpo di massa m0 , necessaria per “costruirlo” generalizzando si può definire l’energia totale E di un corpo dotato di massa a riposo m0 :

Dinamica Relativistica Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011 Energia – Teorema delle Forze Vive per definizione di lavoro infinitesimo dove fisica newtoniana quindi teorema delle forze vive classico Lavoro relativistico teorema delle forze vive relativistico

Universo Quadridimensionale Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011 il modulo di un quadrivettore non dipende dal sistema di riferimento nello spaziotempo: è invariante per roto-traslazioni nello spaziotempo. formulazione alternativa che prescinde dai numeri immaginari: invariante relativistico

Universo Quadridimensionale Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011 quadrivettore evento: Parte temporale Parte spaziale Prodotto scalare: invariante per T. L. Possiamo pensare allo spazio fisico quadridimensionale come ad uno spazio in cui il prodotto scalare viene ottenuto sottraendo al prodotto delle componenti temporali i prodotti delle componenti spaziali. A questo spazio viene dato il nome di spazio di Minkowsky, in onore del matematico che per primo formalizzò la teoria di Einstein

Universo Quadridimensionale Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011 Separazione tra due eventi il suo modulo quadro, invariante di Lorentz, viene chiamato intervallo: Esiste un sistema di riferimento in cui i due eventi avvengono in istanti diversi ma nello stesso luogo: una persona può quindi assistere all'evento 1, e poi spostarsi in modo da essere presente anche all'evento 2. Si dice che i due eventi sono separati temporalmente: tra di essi può esistere un rapporto di causa ed effetto “intervallo di tipo tempo” Esiste un sistema di riferimento in cui i due eventi avvengono contemporaneamente a distanza d = sqrt(-s2): nessun viaggiatore, per quanto rapido, potrà essere presente contemporaneamente ai due eventi. I due eventi non possono essere collegati da un rapporto di causa-effetto “intervallo di tipo spazio” La distanza temporale tra di due eventi è pari al tempo necessario ad un fotone per percorrere la distanza spaziale tra i due eventi: quindi è possibile ad un fotone partire dal punto 1 all'istante t1 e giungere al punto 2 all'istante t2.

Universo Quadridimensionale Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011 Quadrivettori Un quadrivettore v è una qualunque quaterna di grandezze fisiche (v0; v1; v2; v3) che nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale all'altro si trasforma tramite una trasformazione di Lorentz. Chiamiamo v0 componente temporale del quadrivettore e v = (v1; v2; v3) componente spaziale. Dati due quadrivettori v e w, il prodotto scalare è invariante, ovvero assume lo stesso valore in ogni sistema di riferimento. Gruppo di Lorentz: è costituito da tutte le trasformazioni che lasciano invariato il prodotto scalare tra due quadrivettori. Le trasformazioni elementari che formano il gruppo sono date dai tre passaggi a sistemi di riferimento in moto lungo gli assi x; y; z, più le tre rotazioni intorno agli assi stessi: alle prime tre trasformazioni, dette anche trasformazioni di Lorentz proprie, viene dato il nome di spinte o boost. Una qualunque combinazione di queste sei trasformazioni appartiene al gruppo. Una qualsiasi trasformazione del gruppo può essere scritta come una rotazione, seguita da una spinta lungo l'asse x, seguita da una nuova rotazione.

Universo Quadridimensionale Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011 Cinematica Posizione: quadrivettore traiettoria di un punto: Intervallo corrispondente ad uno spostamento infinitesimo: nel sistema di riferimento del punto Dilatazione dei tempi Paradosso dei gemelli: un gemello parte dall’origine e vi ritorna dopo un tempo t1 misurato dal gemello sedentario. Per il viaggiatore è trascorso un tempo t1 che, rispetto al tempo misurato dal sedentario vale :

Universo Quadridimensionale Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011 Cinematica Velocità: a differenza del vettore posizione ordinario, la velocità ordinaria non è la parte spaziale di un quadrivettore! (si trasforma in modo diverso dalle T.L.) Si definisce la quadrivelocità come il rapporto (tra un quadrivettore e un quadriscalare): Accelerazione: in modo analogo si definisce la quadriaccelerazione, il cui legame con l’accelerazione è assai complicato:

Universo Quadridimensionale Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011 Dinamica abbiamo discusso impulso ed energia relativistici … … ma sono la parte spaziale e temporale del quadrivettore energia-impulso, ottenuto moltiplicando per m0 la quadrivelocità!

Universo Quadridimensionale Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011 Quadrimpulso se esistono portatori di energia/impulso privi di massa (m0 = 0), debbono avere velocità v = c

Universo Quadridimensionale Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011 Quadriforza Partiamo dalla derivata invariante Allora Verifica di consistenza: g /c volte la potenza sviluppata dalla forza

Cambi-Piccinini-Semprini-Zucchelli A.A. 2010-2011 Bibliografia D. Halliday, R. Resnick, J. Walker : Fondamenti di Fisica, Casa Editrice Ambrosiana. Capitolo Relatività. R.P. Feynman, R,B. Leighton, M. Sands : La Fisica di Feynman – Vol.1 Meccanica, radiazione, calore – Zanichelli. Capitoli 15, 16 e 17.

Backup Slides

Dinamica Relativistica Conservazione della Quantità di moto S 1 S’ 1 2 2

Quantità di moto relativistica secondo la definizione classica la quantita’ di moto di un punto materiale di massa m e’ per determinare l’espressione della quantita’ di moto relativistica studieremo un fenomeno d’urto elastico tra due punti materiali per il quale assumeremo valide le leggi di conservazione della quantita’ di moto e dell’energia supporremo che la quantita’ di moto relativistica sia strettamente collegata alla definizione classica di quantita’ di moto ma postuleremo che la massa non sia una costante ma una qualche funzione della velocita’ supponiamo che l’urto avvenga nel piano xz

supponiamo di avere due particelle di massa identica e di uguale modulo della velocita’ in moto rettilineo uniforme lungo la stessa direzione ma in versi opposti ad un certo istante le due particelle collidono elasticamente prima dell’urto la quantita’ di moto totale e’ nulla se pretendiamo che quantita’ di moto totale si conservi dopo l’urto le direzioni del moto dovranno essere esattamente opposte l’una all’altra altrimenti non vi sarebbe conservazione della quantita’ di moto totale supporremo anche che qualunque 1 2 1 2 1 angolo di scattering q q 2 1 sia possibile il medesimo urto puo’ essere visto in un sistema ruotato di meta’ dell’ angolo di scattering 2

esistera’ un sistema S in moto relativo rispetto al primo e tale per cui si abbia inoltre esistera’ un sistema S’ in moto relativo rispetto al primo e tale per cui si abbia S S’ 1 x y 2 secondo le trasformazioni di Lorentz della velocita’ relazione che applicata alla particella 1 fornira’ dato che vx = 0 in S peraltro la componente y della velocita’ della particella 1 nel sistema S’ deve essere uguale a -v2y per cui si ha in generale quindi potremo supporre che dove abbiamo posto e e dove e’ stato usato v al posto di u ma la quantita’ di moto totale lungo l’asse y era nulla portando la velocita’ della prima particella a zero 22

in conclusione