Inclusione degli effetti quantistici nella meccanica statistica A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli La meccanica statistica è stata costruita secondo uno schema centrato sui seguenti elementi gli stati del microsistema sono suddivisi in famiglie di gj stati di energia j all’interno di tale suddivisione vengono collocati gli N microsistemi identici ma distinguibili e viene eseguito il conteggio dei microstati associati ad ogni macrostato in quale modo la meccanica quantica modifica questa impostazione? Cominciamo con l’assunto che i microsistemi siano identici ma distinguibili. se il microsistema soddisfa le leggi della meccanica classica tale assunzione è corretta infatti un corpuscolo macroscopico è pensato come distinguibile in quanto può essere marcato un corpuscolo microscopico è pensato come distinguibile perché è possibile prevedere con precisione arbitraria le posizioni assunte al passare del tempo (ovvero perché è possibile prevedere il moto) immaginiamo di osservare al tempo t due corpuscoli identici nelle posizioni P1 e P2 e di denominarli A e B rispettivamente. immaginiamo poi di osservare nuovamente al tempo t’ i due corpuscoli identici nelle posizioni P1’ e P2’. sapremo dire chi è A e chi è B solo se siamo in grado di descrivere il moto dei due corpuscoli identici tra t e t’ con sufficiente precisione. Cio che dobbiamo ora stabilire è in che modo la meccanica quantica modifica quanto abbiamo fatto fino ad ora. Per essere più precisi è utile richiamare lo schema della meccanica statistica fondato sui seguenti elementi: suddivisione dell’insieme degli stati del microsistema in gruppi gj di differente energia ej. Equiprobabilità dello stato di tutti i microsistemi (microstato). Conteggio degli stati trattando le particelle identiche come distinguibili. Cominciamo con l’ultimo aspetto e chiediamoci per quale motivo classicamente le particelle identiche sono pensate come distinguibili. Il motivo più banale è dato dal fatto che noi pensiamo sia sempre possibile marcare in qualche modo le particelle e quindi riconoscere individualmente in ogni istante successivo. Pensando in questo modo le particelle benchè identiche sotto il profilo meccanico (stessa massa etc.etc.) sono distinguibili. Certamente non è possibile marcare le particelle se queste sono oggetti microscopici delle dimensioni di un atomo. Anche in questo caso esiste la possibilità, almeno in linea di principio, di riconoscerle attraverso il loro moto. Nell’eseguire il conteggio dei microstati all’interno di un certo macrostato abbiamo assunto differenti stati derivanti dal solo scambio delle particelle abbiamo cioè assunto le particelle come distinguibili. Questo fatto è certamente giustificato all’interno della meccanica classica vediamo perche. Immaginiamo che all’istante t1 le particelle t’ P1’ P2’ A B t A B P1 P2 dato che se valgono le leggi newtoniane del moto queste possibilità sussistono sempre possiamo concludere che nell’ambito della meccanica classica le particelle identiche mantengono la loro identità e sono sempre distinguibili

A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli se viceversa il microsistema soddisfa le leggi della meccanica quantistica vale il principio di indeterminazione percio’ se ad un certo istante è definita la posizione della particella allora la sua quantità di moto risulta indefinita e con essa la sua posizione in un istante successivo è come se una particella potesse evolvere lungo una famiglia di moti differenti piuttosto che lungo un moto definito eseguendo le misure i diversi moti si manifestano come differenti esiti ciascuno con una certa probabilità da questo consegue che se immaginiamo di osservare al tempo t due corpuscoli identici nelle posizioni P1 e P2 e di denominarli A e B rispettivamente ed osserviamo nuovamente al tempo t’ i due corpuscoli identici nelle posizioni P1’ e P2’, non sapremo dire chi è A e chi è B perché i moti che arrivano in P1’ e P2’ possono avere origine sia da P1 che da P2. concludiamo allora che t’ P1’ P2’ t A B P1 P2 nell’ambito della meccanica quantistica le particelle identiche diventano indistinguibili in meccanica quantistica lo stato di sistema è descritto da un funzione complessa detta funzione d’onda di cui è osservabile il solo modulo quadrato per cui la grandezza osservabile associata ad un sistema di due particelle negli stati quantici generici s1 ed s2 vale, in funzione del generico insieme di variabili Q1 e Q2 che descrivono i due sistemi ( quali ad es. le posizioni spaziali ossia x1,y1,z1 per la prima particella e x2 y2 e z2 per la seconda )

A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli d’altra parte dato che le particelle identiche sono anche indistinguibili un loro scambio non può alterare le quantità osservabili per cui da cui otteniamo dunque la indistinguibilità delle particelle identiche comporta che queste debbano essere descritte da funzioni d’onda simmetriche o antisimmetriche rispetto allo scambio delle particelle immaginiamo che una coppia di particelle identiche ed indistinguibili sia descritta da una funzione d’onda antisimmetrica rispetto allo scambio Q1  Q2 e Q2  Q1 supponiamo ora che le due particelle si trovino anche nel medesimo stato S dato che le particelle sono indistinguibili e si trovano nello stesso stato dovrà essere anche da cui consegue che la funzione d’onda, essendo uguale a se stessa ed alla sua opposta non può che essere nulla giungiamo allora al principio di esclusione di Pauli due particelle identiche ed indistinguibili descritte da una funzione d’onda antisimmetrica non possono occupare il medesimo stato nessuna restrizione sulla occupazione degli stati opera nel caso di particelle identiche ed indistinguibili descritte da funzioni d’onda simmetriche

Stato di due particelle identiche A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Stato di due particelle identiche supponiamo per semplicita’ che le due particelle siano non interagenti quale sara’ la funzione d'onda di due particelle, a e b ? se le due particelle non sono identiche allora si ha che se le due particelle sono identiche, scambiando le due particelle la funzione d'onda deve restare invariata a meno di un fattore di fase, quindi dopo un secondo scambio che porta un altro fattore di fase, la funzione d'onda deve ritornare quella di prima, per cui si deve avere come prima. Quindi la funzione d'onda o resta invariata per scambio di due particelle (simmetrica) o cambia segno (antisimmetrica). queste condizioni sono soddisfatte automaticamente dalle funzioni d'onda della forma il segno + vale per bosoni, il segno - vale per fermioni la funzione d'onda di due fermioni, per e’ nulla quindi due fermioni identici non possono occupare la stessa posizione nello spazio

Riassumendo possiamo affermare che in meccanica quantistica A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli richiamando il fatto fondamentale che in meccanica quantica le particelle possiedono un momento angolare intrinseco , detto “ spin “, che può assumere i valori e richiamando il teorema spin-statistica, enunciato da Pauli e Fierz nel 1939, il quale afferma che sistemi di particelle identiche di spin intero sono descritti da funzioni d’onda simmetriche mentre sistemi di particelle identiche a spin semintero sono descritti da funzioni d’onda antisimmetriche giungiamo alla conclusione che le particelle a spin semintero sono descritte funzioni d’onda antisimmetriche e soddisfano il principio di esclusione mentre le particelle a spin intero sono descritte da funzioni d’onda simmetriche e non sono soggette ad alcuna restrizione. Riassumendo possiamo affermare che in meccanica quantistica le particelle identiche sono indistinguibili le particelle identiche con spin semintero (fermioni) non possono occupare lo stesso stato (principio di esclusione di Pauli) le particelle identiche con spin intero (bosoni) non sono soggette a restrizioni tenendo presente questi fatti e ricordando che posizione ed impulso sono soggetti alle limitazioni introdotte dal principio di indeterminazione possiamo costruire la meccanica statistica delle particelle quantistiche che dovrà essere usata in tutti quei casi in cui i microsistemi cessano di seguire le leggi newtoniane del moto.

Il conteggio dei microstati in meccanica statistica classica A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Il conteggio dei microstati in meccanica statistica classica i semplici scambi di particelle modificano il microstato ma non il macrostato m j … 1 gm gj … g1 o oo nm nj … n1 m j … 1 gm gj … g1 o oo nm nj … n1 N ! = numero delle permutazioni di N oggetti gli spostamenti delle particelle all’interno dello stesso livello energetico modificano il microstato ma non il macrostato m j … 1 gm gj … g1 o oo nm nj … n1 m j … 1 gm gj … g1 o oo nm nj … n1 gjnj e’ il numero delle “disposizioni con ripetizione” di nj oggetti estratti da un insieme di gj oggetti e dove ognuno degli nj oggetti puo’ essere considerato piu’ volte si noti che anche il fattore appena introdotto calcola come distinti i microstati ottenuti attraverso scambio delle particelle. si vede allora che tra i microstati calcolati con la formula gjnj compaiono anche microstati che differiscono per il semplice scambio delle particelle, che per il generico livello j sono nj ! d’altra parte con il termine N! sono già stati calcolati tutti i microstati ottenuti attraverso semplice scambio delle particelle per ottenere il giusto numero di microstati dobbiamo dividere per il fattore

Il conteggio dei microstati in meccanica statistica quantistica A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli Il calcolo dei microstati che cadono all’interno di un certo macrostato nel caso di particelle quantistiche deve essere fatto tenendo presente che tutte le particelle identiche sono indistinguibili le particelle con spin semintero sono soggette alla restrizione del principio di esclusione le particelle con spin intero non sono soggette ad alcuna restrizione NOTA: le particelle avranno lo stesso colore poichè sono indistinguibili tra loro NOTA: l’indistinguibilità comporta che lo scambio di particelle non porti a nuovi microstati, ossia manca il termine N! spin semintero (fermioni) spin intero (bosoni) m j … 1 gm gj … g1 o oo nm nj … n1 m j … 1 gm gj … g1 o oo nm nj … n1 vietato dal principio di esclusione permesso oo o o o fissato un certo livello energetico calcoliamo il numero di microstati nel caso in cui gj=3 ed nj=2 spin semintero (fermioni) spin intero (bosoni) o

A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli un modo alternativo per determinare la probabilita’ di questi stati nel caso le particelle siano bosoni identici, e’ quello di considerare il problema nel modo seguente : per l’i-esimo stato domandiamoci in quanti modi diversi possiamo assegnare ni particelle identiche a gi stati : immaginiamo le particelle distribuite a caso lungo una retta su cui siano ricavate delle partizioni. il problema e’ equivalente a calcolare in quanti modi diversi possiamo disporre ni particelle in gi caselle per es. se ni = 7 e gi = 5 cio’ significa che ci sono due particelle nel primo stato, una nel secondo , tre nel terzo, una nel quarto e nessuna nel quinto da notare che basta utilizzare gi –1 separatori per determinare tutti i modi possibili di disporre le ni particelle particelle se le palline e i separatori fossero distinguibili vi sarebbero (ni + gi -1) ! modi diversi di arrangiarli. dato pero’ che sia le particelle che le partizioni sono indistinguibili tra loro le ni permutazioni delle particelle e le gi -1 permutazioni dei separatori non vanno contate come distinte percio’ vi sono soltanto: modi diversi di assegnare le ni particelle all’i-esimo livello di degenerazione gi

A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli ad una data configurazione che abbia n1 particelle nel livello e1 con degenerazione g1 , n2 particelle nel livello e2 con degenerazione g2 etc., corrisponderanno stati distinti e la probabilita’ statistica sara’ data da : utilizzando l’ approssimazione di Stirling : per determinare i numeri di occupazione dei livelli energetici per un sistema di particelle bosoniche all’equilibrio procederemo a massimizzare la probabilita’ statistica utilizziamo il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per massimizzare, rispetto agli ni , la funzione: quindi imponiamo che dato che la variabile x in questo caso corrisponde agli ni differenziando ln W(ni) rispetto agli ni scompare il termine (gi-1)ln(gi-1) che non dipende da ni

come nel caso della statistica di Maxwell Boltzmann vale la : percio’ A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli ossia trascurando il –1, si ha : da cui ossia come nel caso della statistica di Maxwell Boltzmann vale la : percio’ mentre nel caso della statistica di Maxwell Boltzmann si aveva ossia inoltre da cui vai all’esercizio : gas di fotoni 