Analisi trivariata Lavorando con due variabili è possibile descrivere la relazione che fra queste esiste e formulare una congettura circa il tipo di legame che le unisce. Ciò che l’analisi bivariata non consente di fare è controllare la congettura identificata: non possiamo cioè formulare un giudizio di possibilità circa il legame che le due variabili possono avere con una terza variabile che potrebbe influenzare la natura del legame descritto. Può accadere infatti che sottogruppi all’interno della popolazione oggetto di studio non siano differenti soltanto per il diverso valore sulla variabile indipendente, ma siano aggregati eterogenei di individui e, in quanto tali, potenzialmente differenti per molteplici altri aspetti. L’analisi trivariata costituisce il caso più semplice e al tempo stesso il paradigma concettuale dell’analisi multivariata della dipendenza: consiste nell’indagare in merito alla “natura” del nesso di associazione o di indipendenza osservato tra due variabili, mediante l’introduzione nell’analisi di una terza variabile. Teoria e pratica della valutazione Laboratorio – Lezione XI L’analisi trivariata

Matrice varianze-covarianze In ambito al modello lineare standard, il passaggio da un modello bivariato ad uno trivariato si effettua tramite l’introduzione di due informazioni aggiuntive: la relazione di x con la terza variabile (z) e la relazione di y con la stessa terza variabile (z). In algebra matriciale, rispetto alla covarianza e con riferimento a variabili standardizzate, i due modelli sono così rappresentabili Modello Bivariato Modello Trivariato x y z 1 rxy rxz ryz x y 1 rxy La relazione “originaria” fra due variabili (x; y) è “controllata” attraverso l’introduzione di una “variabile di controllo” (z). Tale “controllo” è, come dicevamo, volto a indagare la “natura” del nesso di associazione (o, come vedremo fra poco, della mancata associazione, indipendenza) tra due variabili. Teoria e pratica della valutazione Laboratorio – Lezione XI L’analisi trivariata

… cenni di storia È possibile far risalire l’impiego di tale procedura logica e tecnico-operativa per il controllo della relazione fra variabili a Emile Durkheim ne Il Suicidio 1897 L’interpretazione (e la spiegazione) della relazione statistica è da attribuire ai lavori di P. F. Lazarsfeld (Interpretation od Statistical Relations as a Research Operation, 1955; Evidence and Inference in Social Research, 1958), cui è attribuibile anche l’introduzione del concetto di “controllo” della relazione. M. Rosenberg (The Language of Social Research, 1955), distingue fra 2 modi della spiegazione: analisi della covariazione e analisi delle variazioni. L’analisi della covariazione analizza la covariazione tra x e y alla luce di una terza variabile z (detta variabile di controllo); l’analisi delle variazioni considera la variazione di y (dipendente) in base a x e z (indipendenti). In sede di analisi tale distinzione è fondamentale in quanto un modello può essere soddisfacente dal punto di vista delle variazioni ma non da quello dell’analisi della covariazione. Teoria e pratica della valutazione Laboratorio – Lezione XI L’analisi trivariata

Analisi trivariata L’individuazione della terza variabile (z) non è, come si potrebbe erroneamente pensare, un problema afferente alla statistica ma è di ordine teorico: riguarda cioè la specificazione del modello di controllo. Il controllo effettivo sarà poi operato per mezzo della statistica. I tre modelli (teorici) atti a verificare la genuinità delle relazioni sono: spiegazione Interpretazione Specificazione, Teoria e pratica della valutazione Laboratorio – Lezione XI L’analisi trivariata

Modello della spiegazione Il modello della spiegazione è orientato a distinguere le relazioni vere (o genuine) da quelle spurie o false o apparenti. In questo modello la variabile di controllo (z) è antecedente rispetto alla x della relazione originaria Z x y In caso di presenza di covariazione fra due variabili (x; y) in assenza di causazione si ha un tipo di relazione denominata spuria: la covariazione fra le due variabili (x; y) è determinata da una terza variabile (z) che agisce contemporaneamente su x e su y determinandone una covariazione. Un esempio, ormai classico, di relazione spuria è la relazione fra il numero di pompe antincendio presenti sul luogo di un incendio e l’entità dei danni causati dall’incendio stesso. La covariazione fra le due variabili può essere spiegata introducendo una terza variabile: le dimensioni dell’incendio (z)

Modello della spiegazione x y In caso di una relazione spuria l’azione della variabile z può essere eliminata attraverso due procedure: controllo e depurazione. Il controllo si effettua analizzando la relazione tra x e y in sub-campioni della popolazione iniziale in cui z è tenuto costante. La depurazione si effettua invece per via matematica: note le covariazioni tra x, y e z si calcola quello che sarebbe il coefficiente di correlazione tra x e y se non ci fosse l’effetto di z. Un caso particolare della relazione spuria è quello in cui le variabili sono indicatori di uno stesso concetto: convenzionalismo ed etnocentrismo possono essere indicatori della personalità autoritaria. Teoria e pratica della valutazione Laboratorio – Lezione XI L’analisi trivariata

Modello dell’interpretazione Una seconda situazione di controllo della covariazione tra due variabili è orientata a distinguere relazioni dirette da relazioni mediate o indirette. In questo modello la variabile z è susseguente rispetto a x e antecedente rispetto ad y della relazione originaria. Z è dunque una variabile interveniente. x Z y In questo caso non si può dire che non esista relazione causale tra x e y, ma tale rapporto è “mediato” da una terza variabile. La relazione tra x e y è dunque solo una relazione apparente, presente solo quando manca z. Una variabile funziona come mediatore quando variazioni nei livelli del predittore (x) si associano a variazioni nel presunto mediatore (z); variazioni nel mediatore (z) si associano in modo significativo a variazioni nella variabile dipendente (y), quando le due covariazioni (xy e yz) sono controllate, la relazione tra x e y da significativa diventa non significativa (tendente a zero). Teoria e pratica della valutazione Laboratorio – Lezione XI L’analisi trivariata

Modello della specificazione Il modello della specificazione è orientato a scoprire, individuare, specificare le condizioni alle quali la relazione originaria (xy) si mostra più o meno marcata, ossia cambia a seconda del valore assunto da una terza variabili. In questo modello dunque la relazione originale non si annulla (nel caso in cui fosse presente) né compare (nel caso in cui fosse assente). La variabile con controllo (z) anche in questo caso è interveniente rispetto alla relazione originaria ma in senso completamente diverso da quello in cui lo è nel modello di interpretazione Z x y Teoria e pratica della valutazione Laboratorio – Lezione XI L’analisi trivariata

Analisi trivariata L’analisi trivariata può essere utile per mettere in evidenza variabili occultatrici e dunque svelare relazioni occulte o soppresse ma anche per segnalare rapporti di causalità multipla. A tale scopo il modello dell’interpretazione può essere utilizzato al fine di individuare più variabili “mediatrici” che piuttosto che annullare del tutto la relazione originaria tra x e y la facciano diminuire in modo consistente. Sostanzialmente introdurre una terza variabile equivale a spiegare la relazione o l’assenza della stesa tra due variabili. Per effettuare un “controllo” occorre manipolare la variabile indipendente (x) e osservare il comportamento della variabile dipendente (y) a seguito della manipolazione, ossia della variazione di x. Una concezione così pura è applicabile solo alle scienze fisiche e, in maniera molto più complessa, alle scienze sociali. Per tale motivo il controllo in questa disciplina assume tre diversi significati: Teoria e pratica della valutazione Laboratorio – Lezione XI L’analisi trivariata

( X Y) = [ XY; ZI]  [ XY; ZII]  [X Z]  [Y Z] Analisi trivariata Manipolazione, più vicina all’esperimento classico di laboratorio che prevede la suddivisione dei soggetti in gruppi simili e la somministrazione dello stimolo ad uno dei due gruppi; Depurazione, detrazione dal fenomeno oggetto di studio da quella parte che si suppone essere l’effetto di certi antecedenti (residuo del fenomeno J.S. Mill 1843), presuppone linearità; Stratificazione: impone l’utilizzo di una variabile categoriale come variabile di controllo. ( X Y) = [ XY; ZI]  [ XY; ZII]  [X Z]  [Y Z] Covarianza = relazioni parziali relazioni marginali Teoria e pratica della valutazione Laboratorio – Lezione XI L’analisi trivariata