Limite di una successione Successione convergente PRIMA DOMANDA: Verso che valore si avvicinano i termini di una successione quando n assume valori molto grandi?
n a(n)=1/n 1 10 0,1 20 0,05 30 0,033333… 40 0,025 50 0,02 60 0,016666…. 70 0,014286 80 0,0125 90 0,011111….. 100 0,01 ….. ……
Grafico della successione a(n) N
Tutti quelli dall’indice 51 in poi! SECONDA DOMANDA: l’avvicinamento a zero, avrà mai termine? Es. prendiamo a50=….. Esistono termini più vicini a zero? Tutti quelli dall’indice 51 in poi! Prendiamo a1000=….. Esistono termini più vicini a zero? Tutti quelli dall’indice 1001 in poi!
Grafico della successione TERZA DOMANDA: Fisso una distanza “piccola” da zero; Quali sono i termini della successione che hanno una distanza ancora più piccola? = 0,025 n>40
Grafico della successione = 0,015 n>66
Grafico della successione = 0,01 n>100
SINTESI =0,025 |a(n) – 0 | < per ogni n > 40 =0,015 |a(n) – 0 | < per ogni n > 66 =0,01 |a(n) – 0 | < per ogni n > 100 Qualsiasi distanza (0.025, 0.015, 0.01…) dal limite (in questo caso 0) venga fissata , esiste sempre un indice (40, 66, 100 ….) tale che da quell’indice in poi tutti i termini della successione corrispondenti hanno una distanza dal limite minore della distanza fissata a piacere. Nota bene: l’indice (40, 66, 100 …) dipende dalla distanza che scelgo più scelgo una distanza piccola più l’indice si sposta avanti
Definizione di successione convergente: Una successione an converge ad un limite L se e solo se fissata una distanza piccola a piacere esiste un indice dipendente da tale che da quell’indice in poi tutti i termini della successione hanno distanza da limite più piccola di .