Le basi del calcolo statistico equilibrio statistico di N particelle su n stati possibili: descrizione del sistema: individuare gli stati possibili (microstati), mediante i relativi numeri quantici calcolare l’energia Ei dell’i-esimo stato calcolare la degenerazione gi dell’i-esimo stato calcolare la probabilità di una certa partizione, cioè in quanti modi si possono disporre Ni particelle sugli n stati conservando l’energia totale a disposizione (probabilità di una certa partizione di stati) ipotesi: tutti i microstati accessibili sono egualmente probabili

Microstati e macrostati Esempio: microstati accessibili a particelle di massa m in una scatola cubica di lato L L i 1 2 3 5 4 6 E1 E2 E3 E5 E4 E6 N1 N2 N3 N5 N4 N6 mx my mz gi 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 3 1 3 1 3 1 1 2 2 2 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 numeri quantici: mx my mz livello energetico: Ei degenerazione : gi numero di occupazione: Ni

Livelli energetici Esempio: un “gas” di elettroni in un cubo di lato 10-6 m E1= Eo (1+1+1)=3Eo = 1,2  10-6 eV E2= Eo (4+1+1)=6Eo = 2,4  10-6 eV E3= Eo (4+4+1)=9Eo = 3,6  10-6 eV E4= Eo (9+1+1)=11Eo = 4,4  10-6 eV E5= Eo (4+4+4)=12Eo = 4,8  10-6 eV E6= Eo (9+4+1)=14Eo = 5,6  10-6 eV

conteggio statistico secondo Boltzmann Esempio: probabilità della partizione Wi= numero di modi in cui si possono disporre Ni particelle sul livello i 1 2 3 1 3 2 2 3 1 2 1 3 3 1 2 3 2 1 6 E1 E2 E3 E5 E4 E6 N6 1 3 6 N5 5 2 2 2 1 1 3 1 3 1 3 1 1 4 N4 si cerca il massimo di lnW con i vincoli sul numero totale N di particelle e l’energia totale E (massimo vincolato): 1 2 2 2 1 2 2 2 1 3 N3 N2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 N1 1 1 1 1 mx my mz gi i

Statistica di Boltzmann metodo dei “moltiplicatori di Lagrange” formula di Stirling: lnx! = x lnx - x  ha le dimensioni dell’inverso di una energia  =1/ kBT gi fattore di “spazio delle fasi” fBol (E,T) = e-E/kT funzione di distribuzione di Boltzmann

Statistica di Boltzmann Esempio: distribuzione sui livelli rotazionali di molecole HCl a T=300K Erot=Brot l(l+1) con Brot=1,3 meV kBT=26 meV; gl=2l+1 l gl Erot fBlz(Erot,T) gl fBlz (meV) 0 1 0 1 1 1 3 2,6 0,90 2,7 2 5 7,8 0,74 3,7 3 7 15,6 0,55 3,8 4 9 26 0,37 3,3 5 11 39 0,22 2,5 6 13 55 0,12 1,6 7 15 73 0,06 0,9 8 17 94 0,03 0,5 fBz funzione di partizione Z: (Z=20) funzione di partizione Z: (Z 20) probabilità di occupazione dello stato:

g nel caso di distribuzione “continua” di energia, ad esempio energia cinetica E=p2/2m gi  g(E) spazio delle fasi cella elementare dello spazio delle fasi: dx dy dz dpx dpy dpz = h3 numero di celle elementari con energia fra E ed E+dE: per l’elettrone (due stati di spin):

spazio delle fasi nella banda di energia per p>pxmax lo spazio delle fasi disponibile si riduce progressivamente fino a diventare un punto per p=pmax spazio delle fasi nella banda di energia pymax py pmax pxmax px in ciascuna banda, E si calcola a partire dal fondo della banda e g(E) va a zero alla cima della banda prima banda E1min terza banda seconda banda E1max E2min E2max E3min E3max g(E) g(E) Emax=10 eV g(E)

distribuzione di Boltzmann fBz g dNBz(E)/dE 300 K dNBz(E,T) = g(E) fBz(E,T) dE fBz g dNBz (E)/dE 100 K (la cima della banda capita a energie molto maggiori delle energie termiche)

Statistiche quantistiche: indistinguibilità classica e quantistica x y z x1, y1, z1, px1, py1, pz1 x2, y2, z2, px2, py2, pz2 indistinguibilità classica: le due particelle sono identiche, lo stato in cui la particella “rossa” ha coordinate (x1, y1, z1, px1, py1, pz1 ) e la particella “verde” ha coordinate (x2, y2, z2, px2, py2, pz2 ) è equivalente allo stato con le particelle scambiate indistinguibilità quantistica: le due particelle sono identiche, lo stato in cui la particella di coordinate (x1, y1, z1) ha funzione d’onda n e la particella di coordinate (x2, y2, z2) ha funzione d’onda m e lo stato con le particelle scambiate vanno considerati entrambi e sommati o sottratti a seconda del tipo di particella x y z n(x1, y1, z1 ) m(x2, y2, z2 ) Fermioni: Bosoni:

indistinguibilità classica e quantistica In quanti modi si possono disporre 2 particelle identiche in 3 celle? Boltzmann Bose Fermi P Q R mx= 1 my= 1 mz= 2 mx= 1 my= 2 mz= 1 mx= 2 my= 1 P Q R mx= 1 my= 1 mz= 2 mx= 1 my= 2 mz= 1 mx= 2 my= 1 P Q R mx= 1 my= 1 mz= 2 mx= 1 my= 2 mz= 1 mx= 2 my= 1 a b b a a b b a a b b a ab per Boltzmann: indistinguibilità classica e quantistica 3 modi 6 modi

Statistica di Fermi - Dirac P Q R mx= 1 my= 2 mz= 3 mx= 1 my= 3 mz= 2 mx= 2 my= 1 mx= 2 my= 3 mz= 1 mx= 3 my= 2 mx=3 my= 1 S T U Ni particelle in gi celle:  Ni “celle piene”,  (gi-Ni ) “celle vuote”

Statistica di Fermi Dirac elettroni in una banda non piena g(E) fF(E,T) T = 0 K g(E) fF(E,T) T >> 0 K

l’integrale sull’energia di dN/dE è pari al numero totale N di elettroni: L’energia di Fermi a T=0 K: Esempio: il rame ha circa un elettrone libero per atomo, densità di circa 9 g/cm3 e numero di massa A=63

Energie di Fermi TF = EF /kB kB 910-5eV K-1 Energia media a 0 K:

Statistica di Bose - Einstein P Q R mx= 1 my= 2 mz= 3 mx= 1 my= 3 mz= 2 mx= 2 my= 1 mx= 2 my= 3 mz= 1 mx= 3 my= 2 mx=3 my= 1 S T U Ni particelle in gi celle:  in quanti modi si possono mettere gi-1 “separatori” fra le Ni particelle tutte le possibili permutazioni di Ni+gi-1 oggetti nel continuo: distribuzione di B.E. funzione di distribuzione di B.E.

Per i fotoni non c’è la conservazione del numero totale   = 0 gas di fotoni termine di spazio delle fasi per i fotoni: due stati di polarizzazione fBE g dnBE distribuzione in energia: spettro di “corpo nero”

confronto fra le statistiche di Bose e di Boltzmann distribuzione in energia secondo Bose (Planck): confronto fra le statistiche di Bose e di Boltzmann secondo Boltzmann (Wien): fBE g fBz dnBE dnBz legge di Wien dello “spostamento” legge di Wien: legge di Rayleigh-Jeans

confronto fra le statistiche di Bose e di Boltzmann spettro di corpo nero a 2000 K secondo Planck secondo Wien